BAB V TRANSFORMASI LAPLACE
5.1 Transformasi Laplace
Definisi Misalkan Ft suatu fungsi t dan t 0, maka transformasi Laplace dari Ft dinotasikan
dengan L{Ft} yang didefinisikan oleh: L {Ft} =
`
dt t
F e
st
= fs Karena L{Ft} adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga
maka L{Ft} =
`
dt t
F e
st
=
p
st p
dt t
F e
Lim
Transformasi Laplace dari Ft dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada.
Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya Wt, Gt, Yt dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf kecil yang
bersangkutan sehingga L{Wt} = ws, L{Gt} = gs, L{Yt} = ys dan seterusnya.
Teorema Jika Ft adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap interval 0
t N dan eksponensial berorde untuk t N, maka transformasi Laplace fs ada untuk
setiap s Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa fungsi
sederhana.
Transformasi Laplace-
1
Nomor Ft
L{Ft} = fs 1.
1
, 1
s
s 0 2.
T
, 1
2
s
s 0 3.
t
2
3
2 s
, s 0 4.
t
n
n = 0,1,2,3,….
1
n
s n
, s 0 5.
e
at
, 1
a s
s 0 6.
sin at
,
2 2
a s
a
s 0 7.
cos at
,
2 2
a s
s
s 0 8.
sinh at
,
2 2
a s
a
s
a
9. cosh at
,
2 2
a s
s
s
a
Untuk memahamkan bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh transformasi Laplace suatu fungsi.
Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut: 1. Ft = 1
L {Ft} = L{1} =
1 dt
e
st
=
p
st p
dt e
Lim
=
p st
p
e s
1 lim
=
1 1
lim se
se
p
Transformasi Laplace-
2
=
s 1
2. Ft = t L{Ft} =
st
e
t dt
=
p
st p
tdt e
lim
=
1 .
lim
st p
p
e d
s t
=
dt e
te s
p st
st p
lim 1
=
p st
st p
e s
te s
1 lim
1
=
s s
1 1
o
=
2
1 s
3. Ft = e
at
L{Ft} =
dt e
e
at st
=
dt e
Lim
p t
a s
p
=
p t
a s
p
e a
s lim
1
=
1 1
lim 1
a s
a s
p
e e
a s
=
a s
1
Transformasi Laplace-
3
4. Ft = sin at L{Ft} =
dt e
st
at sin
=
p
st p
at d
a e
Lim cos
1
=
p st
st p
e atd
a e
at a
Lim cos
1 .
cos 1
=
p p
st st
p
dt e
at a
s e
at a
Lim .
cos .
cos 1
=
p st
st p
at d
a e
a s
e at
a Lim
sin 1
. .
cos 1
=
p p
st st
st p
e d
at at
e a
s e
at a
Lim
2
. sin
sin .
cos 1
=
p p
st st
st p
se at
at e
a s
e at
a Lim
2
. sin
sin .
cos 1
=
p p
st st
st p
se at
a s
at e
a s
e at
a Lim
2 2
2
. sin
sin .
cos 1
=
p st
st p
e at
a s
e at
a s
a a
Lim
2 2
2 2
. sin
. cos
1
=
st st
e a
at s
e a
at s
a a
. sin
. .
cos
2 2
2 2
=
1
2 2
2
a
s a
a
=
a s
a a
1
2 2
2
=
2 2
s a
a
Transformasi Laplace-
4
5. Ft = cos at L{Ft} =
dt e
st
at cos
=
p
st p
at d
a e
Lim sin
1
=
p st
st p
e atd
a e
at a
Lim sin
1 .
sin 1
=
p p
st st
p
dt e
at a
s e
at a
Lim .
sin .
sin 1
=
p st
st p
at d
a e
a s
e at
a Lim
cos 1
. .
sin 1
=
p p
st st
st p
e d
at at
e a
s e
at a
Lim
2
. cos
cos .
sin 1
=
p p
st st
st p
dt se
at at
e a
s e
at a
Lim
2
. cos
cos .
sin 1
=
p p
st st
st p
e at
a s
at e
a s
e at
a Lim
2 2
2
. cos
cos .
sin 1
=
p st
st p
e at
a s
e at
a a
s a
Lim
2 2
2 2
. cos
. sin
1
=
st st
e a
at s
e a
at a
s a
. cos
. .
sin
2 2
2 2
=
2 2
2 2
a s
a s
a
=
2 2
2 2
a s
a s
a
=
2 2
a s
a
Transformasi Laplace-
5
5.2 Syarat cukup Transformasi Laplace ada
Kategori