5.2 Syarat cukup Transformasi Laplace ada
Jika Ft adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang berhingga 0
N t
dan eksponensial berorde untuk t N, maka transformasi Laplacenya fs ada untuk semua s .
Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah CUKUP untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi
Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.
5.3 Sifat-sifat Transformasi Laplace
Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, diantaranya adalah
a Sifat linear
Jika c
1
dan c
2
adalah sebarang konstanta, sedangkan F
1
t
dan F
2
t
adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace masing-masing
1
s f
dan
2
s f
, maka: L{c
1 1
t F
+c
2
t F
} = c
1 1
s f
+ c
2
s f
Bukti: L{c
1 1
t F
+c
2
t F
} =
2 2
1 1
} {
dt t
F c
t F
c e
st
=
2 1
1 1
dt t
F c
e dt
t F
c e
st st
=
2 2
1 1
dt t
F e
c dt
t F
e c
st p
st
=
2 2
1 1
s f
c s
f c
Contoh 1. L{5t-3} = L{5t} – L{3}
Transformasi Laplace-
6
= 5 L{t} – 3 L{1} = 5
s s
1 3
1
2
=
s s
3 5
2
2. L{6 sin 2t – 5 cos 2t} = L{6 sin 2t} – L{5 cos 2t} = 6 L{sin 2t} – 5 L{cos 2t}
= 6
4 5
4 2
2 2
s
s s
=
4 5
12
2
s s
L{t
2 2
1
} = L{t
}1 2
2 4
t
= L{
}1 {
} 2{
}
2 4
L t
L t
= L{t
}
4
+ 2 L{
}
2
t
+ L{1}
=
s s
s 1
2 2
4
1 2
1 4
=
s s
s 1
4 24
3 5
3. L{4e
} 2
cos 2
4 sin
3 6
2 5
t t
t
t
= L{4e
} 2
cos 2
{ }
4 sin
3{ }
6{ }
2 5
t L
t L
t L
t
= 4L{e
} 2
{cos 2
} 4
{sin 3
} {6
}
2 5
t L
t L
t
t
= 4
4 2
4 4
3 2
6 5
1
2 2
3
s s
s s
s
Transformasi Laplace-
7
=
4 2
16 12
12 5
4
2 2
3
s s
s s
s
Dengan menggunakan sifat linear, tentukan transformasi Laplace fungsí berikut. 1. Ft = 2t
2
+ e
t
2. Ft = 6sin 2t – cos 2t 3. Ft = sin t – cos t
2
4. Ft = cosh 3t – ½ sinh t 5. Ft = 2t + 2
3
6. Ft = sin t – 3
3
b Sifat translasi atau pergeseran pertama
Jika L{Ft} = fs maka L{e
} t
F
at
= fs-a Bukti
Karena L{Ft} =
dt t
F e
st
= fs, maka
L{e
} t
F
at
=
dt t
F e
e
at st
=
p t
a s
dt t
F e
= fs-a Contoh:
1. Tentukan L{ e
-3t
Ft}, jika L{Ft} = fs Menurut sifat 2 di atas, L{e
} t
F
at
= fs-a Maka L{e
-3t
Ft} = fs--3
Transformasi Laplace-
8
= fs+3 2. Tentukan L { e
2t
Ft}, jika L{Ft} = fsa Menurut sifat 2 di atas, L{e
} t
F
at
= fs-a Maka L{e
2t
Ft} = fs-2a = f
2 a
a s
3. Tentukan L{e
} 2
cos t
t
.
Karena L{cos 2t} =
4
2
s
s
= fs, maka
L{e
} 2
cos t
t
= fs+1
=
4 1
1
2
s
s
4. Tentukan L{e
} 6
sin 5
6 cos
3
2
t t
t
Menurut sifat linear,
L{e
} 6
sin 5
6 cos
3
2
t t
t
= L{e
6sin5 {}
6cos3
2 2
t eLt
t t
}
= 3L{e
} 6
sin {
5 }
6 cos
2 2
t e
L t
t t
}
Karena L{cos 6t} =
36
2
s
s
= fs, dan L{sin 6t} =
36 6
2
s
= fs maka menurut sifat translasi
3L{e
2 3
}6 cos
2
sf t
t
Transformasi Laplace-
9
= 3
36 2
2
2
s
s
, dan
5L{e
} 6
sin
2
t
t
= 5fs+2
= 5
36 2
6
2
s
, sehingga
L{e
} 6
sin 5
6 cos
3
2
t t
t
= 3
36 2
2
2
s
s
- 5
36 2
6
2
s
=
40 4
24 3
2
s
s s
Soal Tentukan transformasi Laplace fungsi
1 Ft = e
t
t 2
sin
2 Ft = 1+te
3 t
3 Ft = e
2 cosh
5 2
sinh 3
t t
t
4 Ft = t+2
t
e
2
5 Ft = e
3 cosh
2 sinh
2
t t
t
6 Ft = e
2 1
t
t
c. Sifat translasi atau pergeseran kedua
Kategori