= 3
36 2
2
2
s
s
, dan
5L{e
} 6
sin
2
t
t
= 5fs+2
= 5
36 2
6
2
s
, sehingga
L{e
} 6
sin 5
6 cos
3
2
t t
t
= 3
36 2
2
2
s
s
- 5
36 2
6
2
s
=
40 4
24 3
2
s
s s
Soal Tentukan transformasi Laplace fungsi
1 Ft = e
t
t 2
sin
2 Ft = 1+te
3 t
3 Ft = e
2 cosh
5 2
sinh 3
t t
t
4 Ft = t+2
t
e
2
5 Ft = e
3 cosh
2 sinh
2
t t
t
6 Ft = e
2 1
t
t
c. Sifat translasi atau pergeseran kedua
Jika L{Ft} = fs dan Gt =
a t
a t
a t
F ,0
,
maka
L{Gt} = e
s f
as
Bukti
Transformasi Laplace-
10
L{Gt} =
dt t
G e
st
=
a a
st st
dt t
G e
dt t
G e
=
a a
st st
dt a
t F
e dt
e
=
a st
dt a
t F
e
Misal u = t-a maka t = u+a dan du = dt, sehingga
a st
dt a
t F
e
=
du u
F e
a u
s
= e
du u
F e
su as
= e
s f
as
Contoh
Carilah L{Ft} jika Ft =
3 2
,0 3
2 ,
3 2
cos
t t
t
Menurut definisi transformasi Laplace L{Ft} =
dt t
F e
st
=
dt t
e dt
e
st st
3 2
cos
3 2
3 2
=
3
2
cos udu e
u s
= e
udu e
su s
cos
3 2
Transformasi Laplace-
11
=
1
2 3
2
s se
s
d. Sifat pengubahan skala
Jika L{Ft} = fs, maka L{Fat} =
a s
f a
1
Karena L{Ft} =
dt t
F e
st
maka
L{Fat} =
dt at
F e
st
Misal u = at, du = a dt atau dt =
a du
Sehinga L{Fat} =
dt at
F e
st
=
a du
u F
e
a s
u
=
du u
F e
a
a s
u
1
=
a s
f a
1
Contoh: 1. Jika L{Ft} =
3
2 6
s
= fs
maka L{F3t} =
3 3
1 s
f
=
3
2 3
6 3
1
s
=
3
6 9
. 6
s
Transformasi Laplace-
12
Soal:
1. Carilah L{Ft}, jika Ft =
1
0, 1
, 1
2
t t
t
2. Jika L{Ft} =
1 1
2 1
2 2
s s
s s
, carilah L{F2t}
3. Jika L{Ft} =
,
1
s e
s
carilah L{e
} 3t
F
t
e. Transformasi Laplace dari turunan-turunan
Jika L{Ft} = fs maka L{F’t} = sfs – F0 Karena Karena L{Ft} =
dt t
F e
st
= fs, maka
L{F’t} =
dt t
F e
st
=
t dF
e
st
=
p st
st
e d
t F
t F
e
= -F0 + s
st
e
Ftdt = sfs – F0
Jika L{F’t} = sfs – F0 maka L{F’’t} = s
2
s F
sF s
f
Bukti
Transformasi Laplace-
13
L{F”t} =
dt t
F e
st
=
t F
d e
st
=
st
st
e d
t F
t F
e
=
dt e
t F
s t
F e
st st
=
] [
F s
sf s
t F
e
st
= s
2
F sF
s f
Dengan cara yang sama diperoleh L{F’’’t} =
dt t
F e
st
=
t F
d e
st
=
st
st
e d
t F
t F
e
=
dt t
F e
s t
F e
st st
= e
s t
F
st
st
st
e d
t F
t F
e
= s
2 3
F sF
F s
s f
Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika L{Ft} = fs
maka
Transformasi Laplace-
14
L{F
} t
n
= s
...
1 2
2 1
n n
n n
n
F sF
F s
F s
s f
Contoh soal Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turuan, tunjukkan bahwa
L{sin at} =
2 2
a s
a
= fs Misal Ft = sin at diperoleh F’t = a cos at, F’’t = -a
at sin
2
Sehingga L{sin at} = -
2
1 a
L{F’’t}. Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turunan diperoleh
L{sin at}=
2
1 a
s
2
F sF
s f
=
a s
a s
a s
a 1
2 2
2 2
=
a
a s
as a
2 2
2 2
1
=
2 2
3 2
2 2
1 a
s a
as as
a
=
2 2
a s
a
f. Tansformasi Laplace dari integral-integral
