3.3.1 Distribusi Maxima – Generalized Extreme Value
Dalam suatu data kerugian operasional dapat ditentukan bahwa besarnya limit dari block maxima atau dinyatakan sebagai Mn dengan jumlah subsampel sebesar n block
dapat diberikan dengan teori Fisher, Tippet dan Gnedenko. Teori Fisher, Tippet dan Gnedenko sama analoginya dengan teori Central Limit Theorem yang menyatakan
bahwa distribusi dari jumlah variabel random adalah distribusi normal.
Teori Fisher, Tippet dan Gnedenko menyatakan bahwa dari suatu sampel observasi yang didistribusikan secara independen dan identik atas suatu distribusi
probabilitas yang tidak diketahui. Jika jumlah sampel n ditambah hingga infinite, maka nilai standardisasi terbesar dalam suatu interval waktu akan menjadi salah satu
dari distribusi berikut:
a. Distribusi tipe Gumbel
:
− −
=
σ µ
x x
f exp
exp
b. Distribusi tipe Frechet
:
=
≥
−
−
−
µ µ
σ µ
α
exp x
x x
x f
c. Distribusi tipe Weibull
:
=
≤
−
µ µ
σ µ
α
- exp
x x
x
x f
Dengan:
µ
= parameter location
σ
= parameter scale
α
= parameter shapetail index
Dengan demikian, teori Fisher, Tippet dan Gnedenko menunjukkan bahwa distribusi sampel yang besar dari suatu seri nilai maksimum yang distandardisasi akan
menyatu menjadi salah satu dari distribusi tipe Gumbel, Frechet atau Weibull. Distribusi tipe Gumbel, Frechet atau Weibull yang dihasilkan dari teori Fisher, Tippet
Universitas Sumatera Utara
dan Gnedenko ini didasarkan pada distribusi frekuensi yang sangat rendah. Maka distribusi tersebut hanya untuk ukuran sampel yang besar bukan untuk sampel ukuran
kecil.
Distribusi extreme value tipe Gumbel, Frechet
atau Weibull
dapat digeneralisasi dalam distribusi nilai ekstrim umum atau dikenal sebagai von Misses
extreme value distribution yang dikenal sebagai distribusi Generalized Extreme Value GEV dengan probabilitas kumulatif fungsi distribusi sebagai berikut:
, jika
, 1
exp
1
− ≠
− +
− =
−
σ µ
ξ ξ
σ µ
ξ
ξ
x x
x F
Dengan: µ
= parameter location σ
= parameter scale ξ
= parameter shapetail index x = variabel random
Distribusi GEV merupakan distribusi Gumbel, Frechet dan Weibull. Jika ξ
=0 distribusinya adalah Gumbel,
ξ 0 distribusinya adalah Frechet dan
ξ distribusinya adalah Weibull. Dalam bentuk distribusi kepadatan peluang probability
density function - pdf Generalized Extreme Value dijelaskan sebagai berikut:
x t
e x
t x
f
− +
=
1
1
ξ
σ
dengan
=
≠
−
+
=
−
− −
jika ,
1
jika ,
1
ξ σ
µ ξ
ξ
ξ
σ µ
x
e
x
x t
Sedangkan bentuk mean, varians, skewness dan kurtosis dari Generalized Extreme Value adalah sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
1
g X
E ξ
σ ξ
σ µ
+ −
=
2 1
2 2
2
g g
X V
− =
ξ σ
2 3
2 1
2 3
1 2
1 3
2 3
g g
g g
g g
X skewness
− +
− =
2 2
1 2
4 1
2 1
2 3
1 4
3 6
4 g
g g
g g
g g
g X
excess kurtosis
− −
+ −
=
Dengan: g
k
=
Γ
1 − k
ξ
k = 1,2,3,4
Γ
z = fungsi Gamma di mana
∫
∞ −
−
= Γ
1
dt e
t z
t z
Bentuk mean, varians, skewness dan kurtosis dari Generalized Extreme Value dapat ditentukan dengan bentuk lain sebagai berikut:
n x
x
i
∑
=
1
2
− −
=
∑
n x
x x
V
i 3
2 1
∑
− −
− =
s x
x n
n n
x skewness
i
3 2
1 3
3 2
1 1
2 4
− −
− −
− −
− −
+ =
∑
n n
n s
x x
n n
n n
n x
excess kurtosis
i
Dari distribusi GEV sebelumnya, besarnya Value at Risk VaR dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
ξ
ξ σ
µ
−
− −
− =
p OpsVaR
ln 1
Dengan: OpsVaR = Operasional Value at Risk
µ = parameter location
σ = parameter scale
ξ
= parameter shape
p = tingkat kepercayaan
3.3.2 Distribusi Peak Over Threshold – Generalized Pareto Distribution