1
1
+
+ =
k k
k
P β
β
Parameter β
dapat diestimasi dengan
∑
∞ =
=
1
1
k k
kn n
β
Distribusi geometric memiliki mean dan varians sebagai berikut:
Mean: p
X E
β
=
Varians:
2
p X
V
β
=
2.3.2 Distribusi Severitas Kerugian Operasional
Distribusi severitas kerugian operasional sangat perlu diketahui agar dalam pemodelan kerugian risiko operasional dapat mempergunakan parameter data yang tepat. Pada
penentuan jenis distribusi severitas kerugian, pendekatan yang dilakukan adalah memilih kelompok umum dari distribusi probabilitas dan kemudian menetapkan nilai
parameter yang paling cocok dengan data severitas kerugian yang diobservasi. Distribusi severitas kerugian operasional dapat dikelompokkan dalam distribusi
normal, distribusi lognormal, distribusi eksponensial, distribusi Pareto dan distribusi gamma.
2.3.2.1 Distribusi Normal
Distribusi normal kerugian banyak terjadi pada risiko pasar dan risiko kredit.
Distribusi normal atas suatu kerugian memiliki karakteristik parameter mean
µ
dan standard deviasi
σ
. Probabilitas fungsi densitas distribusi normal dinyatakan dengan:
Universitas Sumatera Utara
∞ ∞
− −
= x
x x
f -
untuk ,
2 1
exp 2
1
2 2
2
µ σ
πσ
Jika µ
=0 dan σ
=1 maka distribusinya disebut distribusi normal standard. Distribusi normal standard mempunyai bentuk umum sebagai genta yang simetris
disekitar nilai meannya. Hal ini berarti bahwa distribusi normal mempunyai karakteristik nilai skewness sama dengan nol dan nilai median serta modusnya sama
dengan nilai meannya. Parameter µ
dan σ
dapat diestimasi dengan rumus momen kesatu dan kedua sebagai berikut:
n X
n i
i
∑
=
=
1
µ
n X
X
n i
i
∑
=
− =
1 2
σ
2.3.2.2 Distribusi Lognormal
Distribusi normal sangat bermanfaat untuk mengantisipasi kerugian risiko pasar
karena karakteristik kerugian pasar dapat terdistribusi secara normal. Namun distribusi kerugian operasional tidak cocok dengan distribusi normal yang bersifat simetris.
Distribusi lognormal mempunyai bentuk yang tidak simetris dan merupakan salah satu bentuk distribusi severitas yang cocok untuk kerugian operasional.
Suatu data kerugian operasional dikatakan terdistribusikan secara lognormal, jika logaritma natural dari data kerugian tersebut terdistribusi secara normal.
Probabilitas fungsi densitas dari variabel
x
dapat dirumuskan dengan:
− −
=
σ σ
π σ
2 log
exp 2
1
2
x x
x f
Universitas Sumatera Utara
Dengan: σ
= parameter scale x = variabel random
Distribusi lognormal mempunyai mean dan varians sebagai berikut: Mean:
2
2
σ µ
+
= e
X E
Varians: 1
2 2
2
− =
+ σ
σ µ
e e
X V
2.3.2.3 Distribusi Eksponensial
Distribusi eksponensial menjelaskan probabilita waktu menunggu diantara kejadian dalam distribusi Poisson. Sebagai contoh adalah jika rata-rata jumlah pemalsuan kartu
kredit adalah dua per bulan atau λ
= 2, maka waktu terjadinya pemalsuan kartu kredit dijelaskan dengan distribusi eksponensial. Fungsi densitas eksponensisal dari suatu
variabel random kerugian eksponensial dirumuskan sebagai berikut:
dan untuk
,
1
− −
=
−
λ θ
λ θ
λ
x x
e x
f
Distribusi eksponensial juga dapat digunakan untuk menjelaskan tingkat kegagalan atau failure rate, dimana failure rate dalam distribusi eksponensial adalah
bersifat konstan dan selalu sama dengan
λ
. Besarnya failure rate dapat ditentukan dengan persamaan sebagai berikut:
λ λ
λ
λ λ
= =
− =
− −
x x
e e
t F
t f
t 1
Distribusi eksponensial mempunyai nilai mean dan varians sebagai berikut: Mean:
λ
1 =
X E
Varians:
2
1
λ
= X
V
Universitas Sumatera Utara
2.3.2.4 Distribusi Pareto