6
Berdasarkan kaidah penggandaan umum, jika dalam suatu percobaan kejadian- kejadian
1
,
2
,
3
, … dapat terjadi, maka[1]:
�
1
∩
2
∩
3
∩ … ∩ =
� �
2 1
�
3 1
∩
2
… �
1
∩
2
∩ … ∩
−1
2.3
B. Variabel Acak
Misal � adalah sebuah percobaan dangan ruang sampel . Peubah acak atau
variabel acak didefinisikan sebagai sebuah fungsi � yang memetakan setiap anggota
∈ dengan sebuah bilangan real � [2].
Jika dalam ruang sampel mengandung titik sampel yang berhingga banyaknya atau suatu deretan anggota yang banyaknya sama dengan banyaknya bilangan bulat
terhitung, maka variabel acak yang didefinisikan pada ruang sampel tersebut adalah variabel acak diskrit[2].
2.2 Distribusi Poisson
Percobaan yang menghasilkan nilai-nilai bagi suatu peubah acak �, dimana
banyaknya hasil percobaan terjadi selama selang waktu tertentu atau pada daerah
tertentu, disebut dengan percobaan Poisson[1]. Selang waktu yang dimaksud
misalkan: semenit, sehari, seminggu, sebulan, setahun, dan sebagainya. Sedangkan daerah tertentu yang dimaksud misalkan: suatu luasan, volume, bagian bahan dan
sebagainya. Dalam contoh kasus misalkan: a.
Banyaknya dering telepon per jam di kantor,
7
b. banyaknya kecelakaan mobil per hari di jalan tol,
c. banyaknya nasabah yang mengantri di bank dalam waktu satu jam,
d. banyaknya tikus sawah per hektar,
e. banyaknya bakteri dalam satu tetes air,
f. banyaknya kesalahan ketik per halaman dan sebagainya.
Karakteristik percobaan Poisson adalah sebagai berikut[1]: 1.
Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada
selang waktu atau daerah lain yang terpisah. 2.
Peluang terjadinya suatu hasil percobaan selama selang waktu yang singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang
waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut, dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu atau daerah
tersebut. 3.
Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat atau daerah yang kecil dapat diabaikan.
Bilangan � yang menyatakan banyaknya hasil percobaan dalam suatu percobaan
Poisson disebut peubah acak Poisson, dan sebaran peluangnya disebut dengan distribusi Poisson
[1]. Distribusi Poisson pertama kali ditemukan oleh S.D. Poisson 1781
–1840, seorang ahli matematika berkebangsaan Perancis. Distribusi Poisson
8
disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi, dimana melibatkan jumlah percobaan yang besar dengan peluang sukses
� sangat kecil[3]. Variabel acak
� dikatakan berdistribusi Poisson dengan parameter � 0, dinotasikan
� ~ Poisson�, jika � mempunyai fungsi massa peluang PMF[4]: � � =
�
−�
�
�
�
, � = 0, 1, 2, …
0 , � lainnya.
2.4
Persamaan 2.4 memenuhi syarat-syarat PMF dikarenakan[4]: i
� � ≥ 0 karena � 0 ii
Total peluangnya adalah 1 dikarenakan: � �
�
= �
−�
�
�
�
∞ �=0
= �
−�
�
�
�
∞ �=0
= �
−�
�
�
= 1 Variable acak berdistribusi Poisson umumnya digunakan untuk menyatakan
banyaknya peristiwa yang terjadi dalam satu satuan waktu, misalnya banyaknya kecelakaan mobil per hari di jalan tol selama bulan Oktober, banyaknya mobil yang
lewat selama 10 menit di suatu ruas jalan, banyaknya antrian nasabah bank dalam waktu satu jam, dan sebagainya. Distribusi Poisson mempunyai Fungsi Pembangkit
Momen MGF[4]: � = � �
��
= �
��
� �
∞ �=0
= �
��
�
�
�
−�
�
∞ �=0
= �
−�
��
� �
�
∞ �=0
= �
−�
�
��
�
= �
��
�
−1
2.5
9
untuk setiap � ∈ ℝ. Karena
′
� = �
��
�
−1
��
�
dan
′′
� = �
��
�
−1
��
�
+ �
��
�
−1
��
� 2
maka =
′
0 = � 2.6 dan
�
2
=
′′
0 − = � + �
2
− �
2
= � 2.7
Hasil tersebut memperlihatkan bahwa pada distribusi Poisson mempunyai ciri khas bahwa mean dan variansinya
�
2
memiliki nilai yang sama dengan parameternya �.
2.3 Independent Mixture Models
