9
untuk setiap � ∈ ℝ. Karena
′
� = �
��
�
−1
��
�
dan
′′
� = �
��
�
−1
��
�
+ �
��
�
−1
��
� 2
maka =
′
0 = � 2.6 dan
�
2
=
′′
0 − = � + �
2
− �
2
= � 2.7
Hasil tersebut memperlihatkan bahwa pada distribusi Poisson mempunyai ciri khas bahwa mean dan variansinya
�
2
memiliki nilai yang sama dengan parameternya �.
2.3 Independent Mixture Models
Pada distribusi Poisson dengan fungsi massa peluang � � = �
−�
�
�
� memiliki sifat khas bahwa nilai variansi sama dengan nilai mean persamaan 2.6 dan
2.7. Akan tetapi ketika nilai variansi sampel
2
lebih besar dari rata-rata sampelnya � maka akan mengakibatkan overdispersi relatif pada distribusi Poisson dan
ketidaktepatan distribusi sebagai model. Salah satu metode dalam mengatasi pengamatan overdispersi yaitu dengan mengunakan Mixture Model model
campuran[5].
10
Mixture Models dirancang untuk mengakomodasi heterogenitas yang tidak teramati unobserved pada populasi, dimana populasi dimungkinkan terdiri dari
kelompok-kelompok yang tidak teramati[5]. Sebagai contoh misalkan � adalah
distribusi banyaknya bungkus rokok yang dibeli oleh pelanggan di supermarket. Para pelanggan tersebut dapat dibagi menjadi beberapa kelompok, misalkan dibagi
menjadi dua kelompok yaitu perokok pasif dan perokok aktif. Jika banyaknya bungkus rokok yang dibeli oleh masing-masing kelompok pelanggan berdistribusi
Poisson, maka distribusi � belum tentu berdistribusi Poisson dan memungkinkan
terjadinya overdispersi relatif pada distribusi tersebut. Anggaplah masing-masing kelompok berdistibusi Poisson memiliki rata-rata
�
1
dengan peluang �
1
dan �
2
dengan peluang �
2
= 1 −�
1
, dimana dalam menentukan nilai rata-rata tersebut didasarkan pada beberapa mekanisme acak lain yang disebut
“proses parameter”. Jika proses parameter dimana serangkaian variabel acaknya saling bebas independent
dan banyaknya juga saling bebas maka proses tersebut disebut “mixture independen”
independent mixture[5]. Secara umum, distribusi campuran yang saling bebas independent mixture
distribution terdiri dari sejumlah bilangankomponen yang berhingga komponen
dan distribusi pencampuran yang dipilih dari komponen tersebut. Misalkan �
1
, … , �
adalah peluang pada masing-masing komponen dan misalkan
� 1 , … , � adalah peluang fungsi densitas masing-masing komponen tersebut. Misalkan
�
11
menyatakan variabel acak yang memiliki disribusi campuran. Peluang fungsi densitas � didefinisikan sebagai[5]:
� � = �
�
�
�
�
�=1
2.8
Sehingga, untuk kasus diskrit, peluang fungsi densitas � adalah[5]:
Pr � = � = Pr � = � = � Pr = �
�=1
2.9
Misalkan
�
adalah komponen variabel acak dengan peluang fungsi densitas � � .
Nilai harapan distribusi campuran X didefinisikan sebagai[5]: E
� = Pr = � E � = �
�=1
= �
�
E
� �=1
2.10
Secara umum, nilai harapan untuk distribusi campuran X dengan moment
adalah[5]: E
� = �
�
E
� �=1
, ∈ ℕ 2.11
dimana nilai variansi campuran untuk kasus dua komponen adalah: Var
� = �
1
Var
1
+ �
2
Var
2
+ �
1
�
2
E
1
− E
2 2
2.12
2.4 Rantai Markov A. Pengantar Stokastik
