40
tersembunyi, yaitu = 2,3,4. Penulis hanya memodelkan hingga keadaan
tersembunyi = 4 dikarenakan data tidak memadai untuk keadaan tersembunyi
≥ 5. Metode yang digunakan adalah metode PHMMs Poisson Hidden Markov Models dengan estimasi Algoritma EM Expectation Maximisation Algorithm.
Berikut ini adalah langkah-langkah yang dilakukan beserta hasil pengolahannya untuk mendapatkan ketiga model estimasi banyaknya gempa bumi tersebut serta
penentuan model yang terbaik.
A. Penentuan Parameter Input
Pada tahap ini adalah menghitung nilai � = �
1
, … , � , yaitu parameter
rata-rata banyaknya gempa bumi per-15 hari, dengan peluang awal kejadiannya � = �
1
,
… , � dan matriks peluang transisi keadaan tersembunyi � berukuran
× . Langkah awal dalam mencari parameter-parameter tersebut adalah
membuat tabel distribusi frekuensi dari data banyaknya gempa bumi Tabel 4.2, dengan jumlah kelas pada tabel distribusi frekuensi tersebut ditentukan oleh
banyaknya keadaan tersembunyi yang diberikan. Pada peneliti ini, peneliti mengambil nilai range 0 sampai 11 banyaknya gempa bumi untuk pembagian
interval masing-masing kelas secara seragam. Sebagai contoh model dengan =2, misalkan jika diberikan 2 keadaan tersembunyi dengan rata-rata banyaknya
gempa bumi � = �
1
, �
2
, maka terdapat 2 kelas dengan panjang interval masing- masing kelasnya:
� =
range banyaknya kelas
=
12 2
= 6
41
Berdasarkan nilai � di atas, ruang sampel banyaknya gempa bumi yang ada pada
keadaan tersembunyi 1 adalah {0,1,2,3,4,5} dan sisanya masuk pada keadaan tersembunyi 2. Langkah selanjutnya adalah memasukkan data pada Tabel 4.2 ke
masing-masing kelompok keadaan tersembunyi berdasarkan ruang sampelnya, sehingga diperoleh nilai parameter
� = λ
1
, λ
2
. Parameter � = �
1
, �
2
, yaitu peluang awal pada keadaan tersembunyi 1 dan keadaan tersembunyi 2, diperoleh
dengan menghitung jumlah frekuensi pada masing-masing kelompok keadaan tersembunyi dan kemudian frekuensi dari masing-masing kelompok tersebut
dibagi dengan frekuensi keseluruhan keadaan tersembunyi. Hasil perhitungan parameter
� dan � untuk kasus 2 keadaan tersembunyi disajikan pada Tabel 4.4 berikut:
Tabel 4.4
Hasil Perhitunggan Parameter � dan Parameter �
pada 2 Keadaan Tersembunyi
15 HARI KE-
BANYAKNYA GEMPA
≥ 5 SK KEADAAN
TERSEMBUNYI BANYAKNYA GEMPA
KEADAAN TERSEMBUNYI 1
BANYAKNYA GEMPA KEADAAN
TERSEMBUNYI 2 1
3
1
3 -
2 2
1
2 -
3 1
1
1 -
4 4
1
4 -
5 2
1
2 -
6 6
2
- 6
...... ......
......
...... ......
139
1
- 140
1
1
1 -
141 2
1
2 -
141 133
8
�
1,699248 7,625
�
133141 = 0,943262 1338 = 0,056738
Berdasarkan Tabel 4.4, diperoleh nilai � = 1,699248 , 7,625 dan nilai
� = 0,943262 , 0,056738. Artinya, dalam periode waktu 15 hari, keadaan
42
tersembunyi 1 memiliki nilai rata-rata banyaknya gempa sebesar 1,699248 kejadian dengan peluang awal kejadiannya sebesar 0,943262 dan 7,625 adalah
rata-rata kejadian pada keadaan tersembunyi 2 dengan peluang awal sebesar 0,056738.
Nilai parameter �, yaitu matriks peluang transisi keadaan tersembunyi,
dimana elemen-elemen pada matriks tersebut diperoleh dengan cara menghitung frekuensi pada masing-masing kemungkinan perpindahan keadaan tersembunyi
yang kemudian dibagi dengan jumlah total masing-masing baris keadaan tersembunyi. Pada kasus 2 keadaan tersembunyi, terdapat empat kemungkinan
perpindahan keadaan tersembunyi yang ditunjukkan pada Tabel 4.5 berikut:
Tabel 4.5
Peluang pada 2 Keadaan Tersembunyi �
�
1 2
1 125
132 7
132 2
7 8
1 8
sehingga diperoleh matriks peluang transisi pada 2 keadaan tersembunyi sebagai berikut:
1 2 � =
1 2
0,94697 0,05303
0,875 0,125
Berdasarkan matriks peluang transisi di atas dapat diartikan, jika periode ini berada pada keadaan tersembunyi 1, maka peluang 15 hari yang akan datang
berada pada keadaan tersembunyi 1 adalah 0 ,946970. Jika periode ini berada pada
43
keadaan tersembunyi 1, maka peluang 15 hari yang akan datang berada pada keadaan tersembunyi 2 adalah 0
,05303 dan seterusnya.
Proses perhitungan parameter �, �, dan �, dimana diberikan keadaaan
tersembunyi = 3 dan
= 4 dilakukan dengan cara yang sama. Berikut adalah tabel lengkap hasil dari proses perhitungan parameter
�, �, dan � dengan
keadaaan tersembunyi = 2,3,4, serta Gambar 4.4 yang merupakan hasil dari
pengelompokan masing-masing keadaan tersembunyi:
Tabel 4.6 Parameter Input
�, �, dan � pada masing-masing PHMM
Model �
� �
�
1 2
3 4
= 2 1
1,699248 0,943262
0,94697 0,05303
- -
2
7,625 0,056738
0,875 0,125
- -
= 3 1
1,336207 0,822695
0,826087 0,156522 0,017391 -
2
4,73913 0,163121
0,826087 0,173913 -
3
11,5 0,014184
0,5 0,5
-
= 4 1
0,924731 0,659575
0,68478 0,26087
0,03261 0,02174
2
3,5 0,283688
0,625 0,325
0,05
3
6,333333 0,042553
0,66667 0,33333
4
11,5 0,014184
0,5 0,5
Gambar 4.4a Hasil Pengelompokan Data Banyaknya Gempa Bumi
pada 2 Keadaan Tersembunyi
44
Gambar 4.4b Hasil Pengelompokan Data Banyaknya Gempa Bumi
pada 3 Keadaan Tersembunyi
Gambar 4.4c Hasil Pengelompokan Data Banyaknya Gempa Bumi
pada 4 Keadaan Tersembunyi
B. Penaksiran Parameter-parameter PHMMs dengan Algorima EM
