Analisis Regresi Nonlinier Dengan Model Kuadratik

ANALISIS REGRESI NONLINIER DENGAN MODEL

KUADRATIK

SKRIPSI

EFRIDA YANTI TARIGAN

060823041

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2009

ANALISIS REGRESI NONLINIER DENGAN MODEL

KUADRATIK

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar sarjana Sains

EFRIDA YANTI TARIGAN

060823041

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

PERSETUJUAN

Judul : ANALISIS REGRESI NONLINIER DENGAN MODEL

KUADRATIK

Kategori : SKRIPSI

Nama : EFRIDA YANTI TARIGAN

NIM : 060823041

Program Studi : SARJANA (S1) EKSTENSI STATISTIKA Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Diluluskan di

Medan, 2009 Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si Dra. Rahmawati Pane M.Si

NIP 130 810 774 NIP 131 474 682

Diketahui / Disetujui Oleh

Departemen Matematika FMIPA USU

Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP. 131796149

PERNYATAAN

ANALISI REGRESI NONLINIER DENGAN MODEL KUADRATIK

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2009

Efrida Yanti Tarigan 060823041

PENGHARGAAN

Puji dan syukur saya panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan sebaik-baiknya.

Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Ibu Dra. Rahmawati Pane, M.Si dan Bapak Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah mengarahkan saya serta telah meluangkan waktu, tenaga, pikiran, dan bantuannya sehingga skripsi saya ini dapat selesai tepat waktu.

Saya juga mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Eddy Marlianto, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU, Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Ketua Departemen Matematika, Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si selaku Sekretaris Departemen Matematika di FMIPA USU, Bapak Drs. Marwan Harahap M.Eng selaku koordinator Ekstensi Matematika di FMIPA USU. Bapak Drs. Haluddin Panjaitan dan Bapak Drs. Ramli Barus, M.Si selaku dosen penguji. Dan staf pengajar Matematika di FMIPA USU beserta pegawai Administrasi.

Saya juga mengucapakan terima kasih kepada kedua orang tua saya yang tercinta yang telah sabar dan tetap memberikan bantuan moril, materil dan dorongan yang sangat saya perlukan. Akhirnya saya juga mengucapkan terima kasih kepada teman-teman kuliah saya yang telah selesai tetapi selalu memotivasi saya untuk tetap semangat hingga terselesaikannya skripsi ini. Dan juga tak lupa buat rekan-rekan kerja dan pimpinan saya di PT.ITC Finance yang telah memberikan dispensasi waktu untuk menyelesaikan skripsi ini. Semoga segala bentuk bantuan yang telah diberikan mendapat balasan dari Tuhan Yang Maha Esa.

Sebagai seorang mahasiswa, saya menyadari bahwa masih banyak terdapat kekurangan ataupun kesilapan dalam menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan demi perbaikan tulisan ini.

Medan, Juni 2009 Penulis,

Efrida Yanti Tarigan

ABSTRAK

Regresi Nonlinier adalah regresi yang memuat parameter nonlinier, artinya jika parameter tersebut diturunkan terhadap parameter itu sendiri maka hasil turunannya masih mengandung parameter itu sendiri. Penaksiran regresi dilakukan untuk menentukan taksiran parameter regresi. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menaksir parameter model regresi nonlinier adalah metode kuadrat terkecil dimana secara konseptual sama dengan metode kuadrat terkecil pada model regresi linier. Skripsi ini bertujuan untuk melinierkan persamaan regresi nonlinier model kuadratik dengan menggunakan metode kuadrat terkecil.

ABSTRACT

Nonlinear Regression is regression that contain nonlinear parameter, it means that if the parameter is derivated to parameter itself, hence the result of it is derivative still contain that parameter. Regression estimation is done to determine estimator of regression parameter. One of the method that used to estimate nonlinear regression model parameter is nonlinear least square where conceptually it’s equal to least square method at linear regression model. The skripsi purpose to be linear equation of nonlinear regression quadratic models with least square method.

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Bab 1 Pendahuluan 1

1.1. Latar Belakang 1

1.2. Perumusan Masalah 3

1.3. Pembatasan Masalah 4

1.4. Tujuan Penelitian 4

1.5. Metodologi Penelitian 4

1.6. Tinjauan Pustaka 5

1.7. Kontribusi Penelitian 6

Bab 2 Landasan Teori 7

2.1. Regresi Nonlinier Model Kuadratik 7 2.2. Metode Kuadrat Terkecil 7

2.3. Pendugaan Parameter 8

2.4. Menghitung Determinan 10

2.5. Turunan Parsial 11

2.6. Analisa Varians 11

2.7. Inferensia Tentang Parameter Regresi 13

Bab 3 Pembahasan 14 3.1. Menentukan Model Regresi Nonlinier 14

3.2. Perumusan Matriks Umum untuk Kuadrat Terkecil Linier 15 3.3. Persamaan dan Model Regresi 16 3.4. Uji Parameter Regresi Kuadratik 21 3.5. Uji Selang Kepercayaan Parameter Regresi Nonlinier Model Kuadratik 22

3.6. Contoh Kasus 22

3.7. Mencocokkan Model Terhadap Data 28 3.8. Menaksir Maksimum atau Minimum pada sebuah fungsi Regresi Kuadratik 29

Bab 4 Kesimpulan dan Saran 31 Daftar Pustaka 32

ABSTRAK

Regresi Nonlinier adalah regresi yang memuat parameter nonlinier, artinya jika parameter tersebut diturunkan terhadap parameter itu sendiri maka hasil turunannya masih mengandung parameter itu sendiri. Penaksiran regresi dilakukan untuk menentukan taksiran parameter regresi. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menaksir parameter model regresi nonlinier adalah metode kuadrat terkecil dimana secara konseptual sama dengan metode kuadrat terkecil pada model regresi linier. Skripsi ini bertujuan untuk melinierkan persamaan regresi nonlinier model kuadratik dengan menggunakan metode kuadrat terkecil.

ABSTRACT

Nonlinear Regression is regression that contain nonlinear parameter, it means that if the parameter is derivated to parameter itself, hence the result of it is derivative still contain that parameter. Regression estimation is done to determine estimator of regression parameter. One of the method that used to estimate nonlinear regression model parameter is nonlinear least square where conceptually it’s equal to least square method at linear regression model. The skripsi purpose to be linear equation of nonlinear regression quadratic models with least square method.

Bab 1

PENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang

Banyak penelitian yang bertujuan mencari dasar-dasar untuk mengadakan prediksi suatu variabel dari informasi-informasi yang diperoleh dari variablel tersebut. Misalnya, apakah keadaan cuaca dapat diramalkan dari suhu, tekanan udara, kelembaban udara dan kecepatan angin; Apakah prestasi pemain sepak bola dapat diprediksikan dari keahliannya dan umur pemain tersebut; dan lain sebagainya. Maka diperlukan metoda untuk dapat memecahkan semua masalah yang ada untuk memudahkan dalam pengambilan keputusan. Salah satu metoda untuk memprediksi adalah regresi.

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering melihat suatu peristiwa atau keadaan yang sering terjadi akibat peristiwa atau keadaan yang lain. Untuk mengetahui hubungan antara kejadian tersebut, terutama untuk menulusuri pola hubungan yang modelnya belum diketahui maka analisis regresi dapat dijadikan alat untuk membantu menganalisa hubungan tersebut.

Dalam Analisis regresi dikenal dua macam variabel atau peubah yaitu variabel bebas (independent variable) adalah suatu variabel yang nilainya telah diketahui dan variabel tidak bebas (dependent variable) adalah variabel yang nilainya belum diketahui dan yang akan diramalkan. Suatu variabel dapat diramalkan dari variabel lain apabila antara variabel yang diramalkan (dependent variabel) dengan variabel yang nilainya diketahui (independent variabel) terdapat hubungan atau korelasi yang signifikan. Korelasi antara variabel bebas dengan variabel tidak bebas dapat dilukiskan dalam suatu garis. Garis ini yang disebut garis regresi. Garis regresi mungkin merupakan garis lurus (linier) yang disebut regresi linier.

Χ + =

Υˆ a b

Regresi linier dapat di bedakan menjadi dua bagian, yaitu regresi linier sederhana dan regresi linier berganda. Regresi linier sederhana mengamati pengaruh satu variabel bebas (independent variable) terhadap variabel tidak bebas (dependent variable). Secara matematis regresi linier sederhana dapat dituliskan dalam bentuk persamaan sebagai berikut:

Dengan :

Υˆ = variabel yang diramalkan (dependent variable) Χ= Variabel yang diketahui (Independent variable) a = besarnya nilai Υˆ pada saat nilai X = 0

b = besarnya perubahan nilai Υˆ apabila nilai X bertambah satu satuan, yang disebut koefisien regresi.

Untuk mencari nilai-nilai koefisien regresi b atau nilai a kita dapat menggunakan metode kuadrat terkecil.

Sedangkan kalau regresi linier berganda mengamati pengaruh lebih dari satu variabel bebas (Independent variable) terhadap variabel tidak bebas (dependent variable), minimal ada dua buah variabel bebas. Secara matematis dapat dituliskan dalam bentuk persamaan sebagai berikut:

n n

b b

b b

a+ Χ + Χ + Χ + + Χ =

Υˆ 1 1 2 2 3 3 

Dengan :

Υˆ = variabel yang diramalkan (dependent variable)

n

Χ Χ Χ

Χ₁, ₂, ₃,, = variabel yang diketahui (Independent variable)

n

b b b

b₁, ₂, ₃,, = koefisien regresi

Untuk mencari nilai-nilai b₁,b₂,b₃,,b_n dapat menggunakan beberapa cara, yaitu : dengan n persamaan normal, eliminasi gauss dan determinan.

Garis regresi mungkin juga merupakan garis lengkung yang disebut regresi nonlinier. Apabila hubungan fungsi antara variabel bebas X dan variabel tidak bebas Y bersifat non linier, maksudnya jika data asli Xi dan Yi ditebarkan pada diagram tebar (scater diagram) tidak mengikuti garis lurus tetapi mengikuti suatu bentuk kurva

tertentu, maka analisis regresi yang cocok untuk menerangkan hubungan antara X dan Y tersebut adalah analisis regresi non linier. Pada dasarnya regresi non linier yang memiliki parameter yang bersifat linier dapat diduga dengan menggunakan metode kuadrat terkecil dengan jalan mentransformasikan ke dalam bentuk linier, dimana data asli dari variabel X atau Y atau kedua-duanya X dan Y ditransformasikan ke dalam bentuk tertentu yang apabila data ditansformasi itu ditebarkan pada diagram tebar (scatter diagram) akan memperlihatkan hubungan yang mendekati garis lurus.

Pada tulisan ini akan di jelaskan cara menganalisa data yang berbentuk regresi nonlinier model kuadratik. Regresi nonlinier menggunakan observasi data dengan model fungsi dimana parameter-parameternya terdapat dalam daerah fungsi penduga atau funsi harapan nonlinier. Regresi nonlinier ini digunakan apabila dalam suatu kasus tidak tersedianya informasi yang pasti tentang bentuk hubungan antara peubah respon dan peubah bebas. Secara umum model nonlinier dapat ditulis sebagai berikut :

ε θ θ θ ζ ζ

ζ +

=

Υ f( ₁, ₂, . . . ,_k; ₁, ₂, . . ._p)

Dengan

Υ= Peubah respons ζ = Peubah bebas θ= Parameter ε= Galat

Regresi non linier model kuadratik merupakan hubungan antara dua peubah yang terdiri dari variabel dependen dan variabel independen sehingga akan diperoleh suatu kurva yang membentuk garis lengkung menaik atau menurun. Dari uraian di atas penulis memilih judul tulisan : “Analisis Regresi Non Linier Dengan Model

Kuadratik”.

1.2.Identifikasi Masalah

Masalah yang akan di bahas dalam penelitian ini adalah bagaimana menyelesaikan suatu persoalan atau kasus yang tidak dapat lagi diselesaikan dalam model linier. Maksudnya suatu masalah yang hipotesis kelinierannya telah di tolak, maka kita perlu

memperbaikinya dengan regresi non linier, dan untuk mengetahui sejauh mana aplikasi analisis regresi nonlinier dengan menggunakan model kuadratik. Bentuk Model Kuadratik dengan parameter sebagai berikut :

2 2 1

0+ Χi+ Χi

=

Υ β β β dengan parameternya adalah β

1.3.Pembatasan Masalah

Ruang lingkup dalam tulisan ini dibatasi pada penaksiran koefisen regreni nonlinier model kuadratik dengan munggunakan metode kuadrat terkecil dan menyelesaikan contoh kasus nonlinier model kuadratik.

1.4. Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui cara dan langkah-langkah menyelesaikan persoalan atau kasus regresi nonlinier model kuadratik.

1.5. Metodologi Peneletian

Dalam Penelitian ini penulis melakukan studi literatur dengan meneliti buku-buku yang membahas mengenai regresi nonlinier dan metode kuadrat terkecil pada kasus model nonlinier. Adapun langkah-langkah penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Membentuk model kuadratik

2. Menaksir koefisien regresi nonlinier model kuadratik dengan menggunakan metode kuadrat terkecil

3. Menguji model kuadratik

4. Menyelesaikan contoh kasus nonlinier model kuadratik.

ku u

u

u,ζ1 ,ζ2 ,...,ζ

Υ

u p k u

u u

u

=

f

ζ

ζ

ζ

θ

θ

θ

+

ε

Υ

(

,

₂

, . . . ,

;

₁

,

₂

, . . .

)

Menurut Gallant,A. Ronald.1942, Secara umum model nonlinier dapat ditulis sebagai berikut :

ε θ θ θ ζ ζ

ζ +

=

Υ f( ₁, ₂, . . . ,_k; ₁, ₂, . . ._p)

Dengan

Y = Peubah respons =

ζ Peubah bebas θ = Parameter ε = Galat

Dilambangkan dengan =

ζ ( ζ1,ζ2, . . . ,ζk )

θ = ( θ1,θ2, . . . ,θk)

Dapat diringkas ε θ

ζ +

=

Υ f( , ) Atau

E(Y) = f(ζ,θ)

Jika diasumsikan bahwa E(ε)=0. Artinya galat-galatnya tidak berkorelasi, dan bahwa V a r(ε =) σ2 dan ε ~Ν(0,Ισ2), yang berarti galat-galatnya saling bebas satu sama lain.

Bila n data amatannya berbentuk :

Untuk u = 1,2,…,n, dapat dituliskan bentuknya ke dalam model alternatifnya

Dengan

ε

uadalah galat ke-u, u = 1, 2, …, n. Ini dapat di ringkas menjadi u

u u = f ζ θ +ε

Υ ( , ) Dengan

) , . . . , ,

( 1u 2u k u

u ζ ζ ζ

ζ = . Asumsi kenormalan dan kebebasan galat dengan demikian dapat dituliskan menjadi ~ ( , )

2

σ

biasanya 0 adalah vektor nol dan I adalah matriks identitas, keduanya berukuran yang sesuai. Jumlah kuadrat galat untuk model nonlinier didefinisikan sebagai

( )

{

}

2

1

, )

(

∑

= Υ −

= n

u

u u f

S θ ζ θ _{(Draper et al,1996)} dengan :

           

Υ Υ Υ = Υ

n 

2 1

( )

( )

( )

( )



     

     =

θ ζ

θ ζ

θ ζ θ

, , ,

2 1

n

f f f f



            =

n

ε ε ε ε



2 1

sehingga didapat jumlah kuadrat galatnya

( )

[

( )

]

2

1

,

∑

₌ Υ − = n

u

u u f

S Sθ E ζ θ _{(Gallant,1942)}

1.7. Kontribusi Penelitian

Hasil Penelitian ini adalah mengetahui bagaimana cara mendapatkan penyelesaian suatu persoalan atau kasus regresi nonlinier dengan menggunakan model kuadratik.

Bab 2

LANDASAN TEORI

2.1. Regresi Nonlinier Model Kuadratik

Regresi nonlinier Model Kuadratik adalah model regresi yang parameternya adalah nonlinier artinya apabila diturunkan terhadap parameternya sendiri maka hasil yang didapat masih mengandung parameter. Model regresi kuadratik itu adalah sebagai berikut: Υ_i =β₀ +β₁Χ_i +β₂Χ_i2 +ε_i

Dengan : Χ_iadalah variabel penjelas

Υ_i adalah variabel terikat

β₀ adalah parameter pertama β₁adalah parameter kedua ε_i adalah galat / penyimpangan

2.2. Metode Kuadrat Terkecil

Metode kuadrat terkecil dipakai untuk menentukan bentuk regresi apakah persamaanya linier atau nonlinier. Cara ini berpangkal pada kenyataan bahwa jumlah pangkat dua (kuadrat) dari pada jarak antara titik - titik dengan garis regresi yang sedang dicari harus sekecil mungkin. Metode kuadrat terkecil atau sering disebut dengan metode OLS (Ordinary Least Square) yang diperkenalkan oleh Carl Friedrich gauss, seorang matematikawan Jerman. Penaksir – penaksir yang dihasilkan berdasarkan metode kuadrat terkecil adalah bersifat takbias dan konsisten. Didalam kenyataannya, salah satu penaksir tak bias linear memiliki varians yang minimum, sehingga disebut penaksir tak bias linear terbaik (Best Linear Unbiasad Estimator / BLUE ). Sifat ini merupakan dasar dari dalil Gauss - Markov theorem), Sebagai berikut:

Dalil Gauss Markov : Berdasarkan sejumlah asumsi tertentu pendugaan berdasarkan metode kuadrat terkecil akan menghasilkan penduga takbias linear terbaik (Best Linear Unbiasad Estimator / BLUE ), dengan koefisien regresi memiliki varians minimum.

Estimasi regresi dilakukan untuk menentukan estimator parameter regresi. Salah satu metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter model regresi nonlinier adalah kuadrat terkecil nonlinier dimana secara konseptual sama dengan metode kuadrat terkecil pada model regresi linier.

2.3. Pendugaan Parameter

Untuk menyelesaikan suatu masalah nonlinier, metode yang seringkali ditempuh dan ternyata berhasil adalah menuliskan persamaan normal secara terinci dan mengembangkan suatu tekhnik iteratif yang digunakan untuk memperoleh taksiran parameter diantaranya adalah: Metode linearisasi (metode deret taylor), Stepest Descent, dan Jalan Tengah Marquadrt. Metode–metode ini dapat diselesaikan dengan menggunakan program komputer.

Metode linearisasi (atau metode deret taylor) menggunakan hasil–hasil kuadrat terkecil pada model yang ditentukan dalam beberapa tahap. Misalkan model yang ditentukan berbentuk Y_u = f

( )

ξ,θ +ε_u. dengan θ10,θ20,θp0 adalah nilai-nilai awal

bagi parameter–parameter θ0,θ1,θp. Nilai–nilai awal itu merupakan taksiran kasar

belaka atau mungkin pula merupakan nilai–nilai dugaan awal berdasarkan informasi yang tersedia. (Misalnya perkiraan berdasarkan informasi yang diperoleh dari perhitungan lain yang serupa atau yang diperkirakan benar oleh peneliti berdasarkan pengalaman dan pengetahuannya). Nilai–nilai awal itu diharapkan akan diperbaiki dalam proses iterasi yang selanjutnya dilakukan penguraian deret Taylor bagi

( )

ξ,θ

f disekitar titik θ₀ =

(

θ₁₀,θ₂₀,θ_p0

)

' dan membatasi penguraian sampai turunan pertama. Dapat dikatakan bahwa, bila θ dekat pada θ₀maka,

( ) (

)

(

)

(

0

)

1 0 0 , ,

, _{i i}

i u P i u u f f

f θ θ

θ θ ξ θ ξ θ ξ θ θ −       ∂ ∂ + = = =

∑

Bila ditetapkan

(

0

)

0 ,θ ξu u f f = 0 0 i i i θ θ

β = −

( )

0 , 0 θ θ θ θ ξ =       ∂ ∂ = i u iu f Z

Maka bentuknya menjadi

∑

₌ + = − p i u iu i u

u f Z

Y

1 0 0 0 β ε

Dengan kata lain persamaan diatas sudah berbentuk linier. Sekarang penulis dapat menaksir parameter-parameter i ,i 1,2, ,p

0

 =

β dengan cara menerapkan teori kuadrat terkecil.

Dengan :

{

Z p n

}

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z iu pn n n pu u u p p × =                    

= 0,

0 0 2 0 1 0 0 2 0 1 0 2 0 22 0 12 0 1 0 21 0 11 0                        = 0 0 2 0 1 0 p b b b b  dan 0 0 0 0 2 2 0 1 1

0 Y f

f Y f Y f Y f Y y n n u u − =                     − − − − =  

Misalnya, dengan notasi yang sudah jelas maksudnya, maka taksiran bagi

(

0 0

)

2 0 1

0 β ,β , ,βp

β =  diberikan oleh b₀ =

( )

Z₀'Z₀ −1Z₀'

(

Y − f0

)

2.4. Menghitung Determinan

Salah satu cara untuk menghitung determinan matriks A yang disingkat dengan Α adalah dengan menggunakan aturan cramer. Dengan bentuk sebagai berikut :

32 31

22 21

12 11 33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a

a a

a a a a a

a a a

a a a = Α

=

(

a₁₁a₂₂a₃₃ +a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂

) (

− a₁₃a₂₂a₃₁ +a₁₁a₂₃a₃₂ +a₁₂a₂₁a₃₃

)

2.4.1. Minor dan Kofaktor Suatu Determinan

Andaikan diketahui suatu determinan dari suatu matriks tingkat n. Jika elemen-elemen dari baris ke-i dan kolom ke-j dikeluarkan, maka akan terdapat suatu determinan dari matriks tingkat n-1, yang disebut minor pertama dari matriks A atau determinan A. Yang ditulis dengan Μ_ij dan juga dikatakan minor dari elemen a_ij. Harga dari minor ditulis dengan

( )

ij

ij

Μ

−1 . Yang disebut kofaktor dan disingkat dengan Κij dari

elemen a_ij. Maka Κ_ij =

( )

−1i+jΜ_ij. Contoh:

Minor dari

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a = Α

Misalkan :

33 32

23 22 11

a a

a a = Μ

33 31

23 21 12

a a

a a = Μ

32 31

22 21 13

a a

a a = Μ

Dengan Kofaktornya : Κ₁₁ =

( )

−11+1Μ₁₁ = Μ₁₁

( )

12 12

2 1

12 = −1 Μ =−Μ

Κ +

( )

1 3

1 Μ = Μ

− =

Maka : Α =a11Μ11 −a12 Μ12 +a13Μ13 13

13 12 12 11

11Κ + Κ + Κ

=a a a

Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa harga determinan suatu matriks A tingkat n sama dengan jumlah hasil ganda setiap elemen suatu baris atau kolom dari

Α dengan kofaktor-kofaktor yang bersesuaian. Jadi : Α =a1jΚ1j +a2jΚ2j ++anjΚnj

2.5. Turunan Parsial

Misalkan z= f

( )

x,y fungsi 2 variabel yang terdefenisi disekitar titik

( )

x,y . Turunan parsial dari f terhadap x adalah turunan z terhadap x dan y tetap konstan

Turunan parsial z= f

( )

x,y terhadap x ditulis:

( ) ( )

x y f x y f

x z

x ∂ , = ,

∂ =

∂∂ didefenisikan sebagai berikut:

( )

( )

(

) ( )

h

y x f y h x f y

x f y x f

x x h

, ,

lim ,

,

0

− + =

=

∂∂ →

Turunan parsial z= f

( )

x,y terhadap y ditulis:

( ) ( )

x y f x y f

y z

y ∂ , = ,

∂ =

∂∂ didefenisikan sebagai berikut:

( )

( )

f

(

x y k_k

) ( )

f x y

y x f y x f

y y k

, ,

lim ,

,

0

− + =

=

∂∂ →

2.6. Analisa Varians

Analisa Varians adalah suatu metode untuk menguraikan varians total menjadi komponen-komponen yang mengukur berbagai sumber varians. Didalam analisa ini diasumsikan bahwa sampel acak yang dipilih berasal dari populasi yang normal dengan varians yang sama. Kecuali bila sampelnya besar, asumsi tentang distribusi normal tidak diperlukan lagi.

Pada pengujian dengan analisa varians, maka dengan mudah akan diketahui apakah terdapat perbedaan yang signifikan atau tidak dari beberapa nilai rata- rata sampel yang diselidiki, yang pada akhirnya diperoleh suatu keyakinan menerima hipotesis nol atau menerima hipotesis alternatifnya.

Untuk menguji ada atau tidaknya perbedaan nilai rata – rata sampel, maka perlulah menguji validitas hipotesis nol dengan memanfaatkan seluruh data yang ada.

o

Η : µ₁ =µ₂ =µ₃µ_t yang menyatakan bahwa beberapa nilai rata – rata sampel memiliki nilai parameter populasi yang sama. Bila asumsi ini dipenuhi, maka rata-rata populasi untuk berbagai macam sampel berasal dari satu macam populasi atau dari populasi yang sama.

o

Η : µ1 ≠µ2 ≠ µ3µt yang menyatakan bahwa setidaknya ada nilai rata – rata

sampel yang diperoleh dari populasi tertentu memiliki rata rata yang berbeda untuk suatu i≠ j. Dengan demikian menurut hipotesis alternatifnya, perbedaan antara beberapa sampel sangat signifikan.

Prosedur selanjutnya adalah mengetahui besarnya varians populasi σ2_{. Untuk}

mengetahui varians populasi ini dilakukan pendugaan besarnya varians antar kelompok dan varians dalam sampel .Bila data sebanyak r kelompok dan tiap-tiap kelompok mempunyai µ ukuran sampel, maka uji statistik distribusi F merupakan rasio:

2 2

p x

S nS sampel dalam

Varians

kelompok antar

Varians

F = =

Bila perbedaan kedua varians S_x2 danS2_p sangat kecil atau mendekati satu, kemungkinan hipotesis nol diterima. Sebaliknya bila nilai F terlalu besar, kecenderungan hipotesis nol akan ditolak sehinga ada kemungkinanµ₁ ≠µ₂ ≠≠µ_nsampel, berarti acak yang dipilih bukan berasal dari populasi yang sama sehingga kemungkinan besar hipotesis alternatifnya yang diterima.

2.7. Inferensia Tentang Parameter Regresi

Matriks Varians Kovarians :

( )

( )

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

) (

)

( )

             = n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b b 2 1 0 1 1 2 0 1 0 1 0 0 2 2 , , , , , , σ σ σ σ σ

σσ σ σ

σ      

Yang diberikan oleh:

( )

2

( )

1

2 = ′ −

X X

b σ

σ

Taksiran Matriks Varians Kovarians :

( )

( ) (

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

) (

)

( )

             = n n n n n b s b b s b b s b b s b s b b s b b s b b s b s b s 2 1 0 1 1 2 0 1 0 1 0 0 2 2 , , , , , ,      

Yang diberikan oleh:

( )

( )

1

2 −

× b =MSE X′X

Bab 3

PEMBAHASAN

3.1. Menentukan Model Regresi Nonlinier

Bentuk Regresi Nonlinier Model Kuadratik adalah sebagai berikut:

2 2 1

0 i i

i x x

Y =β +β +β

Jumlah kuadrat galat dari model kuadratik tersebut adalah:

2 2 1

0 i i

i x x

Y

S = −β +β +β

Penaksiran kuadrat terkecil dari β adalah meminimumkan jumlah kuadrat galat dari parameter β yaituβˆ, dimana

{

( )

}

2 1

ˆ , ˆ

∑

= −

= n

i

i f

Y

SSEβ ξ β

Dengan f

( )

ξ,βˆ =β₀ +β₁x_i +β₂x_i2

Untuk menghitung jumlah kuadrat galat dapat juga dilakukan dengan menggunakan matrik sebagai berikut:

( )

βˆ

[

_{Y f}

( )

βˆ

]

[

_{Y f}

( )

βˆ

]

SSE = − ′ − dimana

( ) ( ) ( ) ( )

[

]

[

]

' 2

1 '

2

1, ˆ, , ˆ, , ˆ , , ,

ˆ

n n danY Y Y Y

f f

f

f β = ξ β ξ β  ξ β = 

Menurut persamaan normal yaitu

{

( )

}

(

)

θ θ

β β ξ β

ξ

ˆ 1

, ˆ

,

=

= 

 

 

∂ ∂ −

∑

i u n

u

u u

f f

Y maka

terlebih dahulu penulis diferensialkan dari SSE

( )

β terhadap parameternya masing-masing dan disamakan dengan nol. Setiap persamaan normalnya akan diberikan sebagai berikut :

( )

_{

_{( )}

_{} ( )}

0 ˆ

, ,

2 ˆ

ˆ

1

=     

  

∂ ∂ −

− = ∂

∂

_∑

− j

i n

i

i i j

f f

Y SSE

θ θ ξ θ

ξ

θ θ Dan selanjutnya dilakukan penaksiran

parameter model nonlinernya dengan menggunakan kuadrat terkecil.

3.2. Perumusan Matriks Umum untuk Kuadrat Terkecil Linier

Ada tiga jenis regresi yaitu Linear sederhana, polynomial, dan linear ganda. ketiga regresi tersebut berasal dari model kuadrat terkecil linear umum berikut ini:

e z a z

a z a z a z a

y= 0 0 + 1 1+ 2 2 + 3 3 ++ m m +

Dengan z₀,z₁,z_m merupakan m + 1 fungsi yang berbeda. Dapat dilihat dengan mudah bagaiman regresi linear sederhana dan berganda berada didalam model ini, Yaitu z0 =1,z1 = x1 z2 =x2,z_m =x_m. Lebih lanjut, regresi polynomial juga termasuk di dalam model ini , jika z merupakan fungsi monomial sederhana seperti pada z₀ =1,z₁ = x₁ z₂ = x2,z_m =x_m. Istilah linear hanya mengacu pada ketergantungan model terhadap parameternya yaitu nilai a. Sebagaimana regresi polynomial, maka fungsi – fungsi nya itu sendiri dapat sama sekali tak linear.

Persamaannya dapat dinyatakan dalam notasi matriks sebagai berikut:

[ ] [ ][ ] [ ]

Υ = Z Α + Ε

Dengan

[ ]

Ζ merupakan matriks dari nilai nilai variabel bebas yang ditinjau,

[ ]

      

     = Ζ

mn n

n

m m

z z

z

z z

z

z z

z

    

 

1 0

2 12

02

1 11

01

Dimana m merupakan jumlah variabel didalam model dan n merupakan jumlah data. Vektor kolom

[ ]

Υ berisi nilai variabel tak bebas yang ditinjau.

[ ] [

Υ T = y₁, y₂ y_n

]

'

Vektor kolom {A} adalah berisi koefisien

[ ] [

1, 2 m

]

'

T

a a a

A = 

Dan vektor kolom

[ ]

Ε berisi residu

[ ] [

1, 2 n

]

'

T

e e

e 

= Ε

Jumlah kuadrat dari bagian sisanya untuk model ini dapat didefinisikan sebagai berikut

∑

_{= } −

∑

_{= } = n

i

m j

ji j i

r y a z

S

1

2 0

Besaran ini dapat dibuat minimum dengan menggunakan turunan parsial terhadap masing- masing koefisiennya dan selanjutnya menetapkan persamaan yang dihasilkan sama dengan nol. Hasil dari proses ini akan berupa persamaan biasa yang dapat dinyatakan secara ringkas dalam matriks sebagai berikut.

[ ] [ ][ ]

Ζ T Ζ Α

=

[ ] [ ]

Ζ T Υ

[ ]

Y =

[ ] [ ][ ]

[ ]

T T

Ζ Α Ζ Ζ

[ ]

Y =

[ ][ ]

Z A

Dan juga dapat dihasilkan

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Α = ΖT Z −1 ΖT Υ

3.3. Persamaan dan Model Regresi

Kuadrat Terkecil ini digunakan untuk melakukan regresi dan atau pencocokan kurva yang diharapkan dapat membentuk persamaan matematis tertentu. Secara empiris, persamaan - persamaan matematis tertentu yang sering digunakan di antaranya adalah: (a). Persamaan ‘garis lurus’ (linier): y = a x + b

(b). Persamaan parabolis (kuadratis): y= px2 +qx+r (c). Persamaan polynomial secara umum:

1 1

2 3 2 1

−

− _{+ +}

+ + + +

= n

n k

kx c x

c x

c x c c

y  

(d). Persamaan eksponensial: y=aebx2+cx+d (e). Persamaan asimptotis:

d cx

bx ax y

++ = 2 Dan masih banyak model yang lainnya

3.3.1 Model Kuadratik

Persamaan kuadratik atau persamaan kuadrat mempunyai bentuk umum yang dapat dituliskan sebagai berikut:

i i i

i x x

Y =β₀ +β₁ +β₂ 2 +ε

Regresi yang dimaksudkan disini adalah pencarian harga tetapan β0,β1,β2.

Persamaan yang menyatakan galat terdistribusi dari persamaan nonlinier tersebut dinyatakan sebagai berikut:

(

)

∑

₌ − − −

= n

i

i i

i x x

Y S

1

2 2 2 1 0 β β

β

Persyaratan yang dapat dipenuhi untuk dapat menghitung β0,β1,β2 adalah

minimisasi turunan persamaan diatas terhadap parameterβ0,β1,β2 sehingga terbentuk

persamaan sebagai berikut:

( )

( )

( )

0

0 0

2 1 0

= =

= =

= =

β β β

d dS c

d dS b

d dS a

Tahapan penurunan (a, b dan c) diatas terhadap β0,β1,β2adalah sebagai

( )

(

)

0 1 2 2 2 1 0 0 = − − −

∑

₌n

i

i i

i x x

Y d

d

a β β β

β yang membentuk persamaan sebagai berikut: 2

(

)

( )

1 0

1

2 2 1

0 − − − =

−

∑

₌n

i

i i

i x x

Y β β β

2

(

)

0

1

2 2 1

0 − − =

− −

∑

= n i i i

i x x

Y β β β

(

)

0

1

2 2 1

0 − − =

−

∑

₌n

i

i i

i x x

Y β β β

2 1 2 1 1 1 0 1 i n i i n i n i n i

i x x

Y

∑

∑

∑

∑

₌ = ₌ β + ₌ β + ₌ β

∑

∑

∑

= = = = + + n i i n i i n i

i N x x

Y 1 2 2 1 1 0 1 β β β ………(1)

( )

(

)

0

1 2 2 2 1 0 1 = − − −

∑

₌n

i

i i

i x x

Y d

d

b β β β

β yang membentuk persamaan sebagai berikut:

2

(

)

( )

0

1

2 2 1

0 − − − =

−

∑

₌n

i

i i i

i x x x

Y β β β

(

)

0

1

2 2 1

0 − − =

− −

∑

= n i i i i

i Y x x

x β β β

(

)

0

1

3 2 2 1

0 − − =

−

∑

₌n

i

i i

i i

ix x x x

Y β β β

∑

∑

∑

∑

= = = = = + + n i i n i i n i i i n i

ix x x x

Y 1 3 2 1 2 1 1 0 1 β β β

∑

∑

∑

∑

= = = = = + + n i i n i i n i i n i i

iY x x x

x 1 3 2 1 2 1 1 0 1 β β

β ………..………... (2)

( )

(

)

0

1 2 2 2 1 0 2 = − − −

∑

₌n

i

i i

i x x

Y d

d

c β β β

β yang membentuk persamaan sebagai berikut:

(

)( )

0

1

2 2 2 1

0 − − − =

−

∑

₌n

i

i i i

i x x x

Y β β β

(

)

0

1

2 2 1 0

2 − − − =

−

∑

= n i i i i

i Y x x

(

)

0 1 4 2 3 1 2 0

2 − − − =

∑

₌n i

i i

i i

ix x x x

Y β β β

∑

∑

∑

∑

= = = = = + + n i i n i i n i i i n i

ix x x x

Y 1 4 2 1 3 1 1 2 0 2 1 β β β

∑

∑

∑

∑

= = = = = + + n i i n i i n i i n i i

iY x x x

x 1 4 2 1 3 1 1 2 0 1

2 β β β

………..……… (3)

Seperti halnya pada regresi persaman linier, ketiga persamaan tersebut juga membentuk suatu sistem persaman linier dengan order 3 yang dapat disusun ulang sebagai berikut:           =                    

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

Y x xY Y x x x x x x x x N 2 2 1 0 4 3 2 3 2 2 ββ β

Solusi persamaan diatas dapat dilakukan 2 cara yaitu analitis dan numeris. Berikut adalah cara yang dilakukan dengan metode analitis yaitu dengan menggunakan aturan cramer untuk mencari parameter-parameter β₀,β₁danβ₂

Misalkan :           =

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

4 3 2 3 2 2 x x x x x x x x N A           =

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

4 3 2 3 2 2 1 x x Y x x x xY x x Y A           =

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

4 2 2 3 2 2 x Y x x x xY x x Y N A           =

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

Y x x x xY x x Y x N A 2 3 2 2 3

A A det ) ( det ₁ 0 = β                     =

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

4 3 2 3 2 2 4 3 2 3 2 2 0 det det x x x x x x x x N x x Y x x x xY x x Y β A A det ) ( det ₂ 1 = β                     =

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

4 3 2 3 2 2 4 2 2 3 2 1 det det x x x x x x x x N x Y x x x xY x x Y N β A A det ) ( det ₃ 2 = β                     =

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

4 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 det det x x x x x x x x N Y x x x xY x x Y x N β

Selanjutnya estimasi dari setiap parameter didistribusikan kedalam persamaan normal dan menghitung galat setiap data yang diamati.

Persamaan normalnya menjadi

i i i i b bx b x

3.4. Uji Parameter Regresi Kuadratik

Sebelum melakukan Uji parameter Regresi Kuadratik yang harus dilakukan adalah menguji modelnya terlebih dahulu untuk mengetahui apakah sudah tepat hubungan nonlinier dengan model kuadratik yaitu sebagai berikut:

Langkah 1 Menguji Hipotesis

( )

( )

2

2 2 1 0 1

2 2 2 1 0 0

: :

x x Y

E H

x x Y

E H

β β β

β β β

+ + ≠

+ + =

Langkah 2 Menentukan taraf signifikan dan derajat kebebasan dari model tersebut. Untuk model ini diambil taraf signifikannya 0,05 dan derajat kebebasanya adalah df1 =

( )

r−1 df2 =r

( )

n−1

Langkah 3 Daerah penerimaan adalah : F_hitung ≤ F_tabel Daerah penolakan adalah : F_hitung ≥F_tabel Langkah 4 Pengujian Statistik F0 =

MSPE MSLF

Langkah 5 Kesimpulan yang dapat diperoleh dari perhitungan tersebut.

Langkah selanjutnya adalah menguji koefisien regresi dari model regresi tersebut yaitu dengan cara sebagai berikut:

Uji parameter yang dilakukan disini adalah uji parameter terhadap Variabel penjelasnya yang kuadratiknya saja yaitu terhadapβ₂

Langkah 1 Menguji Hipotesis 0

:

0 :

2 1

2 0

≠ = ββ

H H

Dengan hipotesis nolnya adalah bahwa tidak ada hubungan kuadratik terhadap variabel penjelasnya.Hipotesis tandingannya adalah menyatakan bahwa ada hubungan kuadratik dengan variabel penjelasnya.

Langkah 2 Menentukan taraf signifikan dan derajat kebebasan dari model tersebut. Untuk model ini diambil taraf signifikannya 0,05 dan derajat kebebasanya

Langkah 3 Daerah penerimaan adalah : t_hitung ≤t_tabel Daerah penolakan adalah : thitung >ttabel

Langkah 4 Pengujian Statistik t0 =

( )

2

2

b s

b

Langkah 5 Kesimpulan yang dapat diperoleh dari perhitungan tersebut.

3.5. Uji Selang Kepercayaan Parameter Regresi Nonlinier Model Kuadratik

Analisis selanjutnya yang dilakukan adalah untuk mengetahui selang kepercayaan parameter regresi yaitu dengan cara sebagai berikut:

Langkah 1 menentukan nilai dari t (tabel) yaitu t(1- 0,05/2 ;n – p) = ( 0,975 ; n-3) Langkah 2 menentukan nilai dari setiap parameter yang terlebih dahulu ditaksir

dengan menggunakan metode OLS dan menentukan nilai dari

( )

b1 s

( )

b2

s dan

Langkah 3 menetukan batas interval dari setiap parameter regresi model kuadratik tersebut yaitu:

) ( ) 3 ; 975 , 0 ( )

( ) 3 ; 975 , 0 (

) ( ) 3 ; 975 , 0 ( )

( ) 3 ; 975 , 0 (

2 2

2 2 2

1 1

1 1 1

b s n t

b b

s n t

b

b s n t

b b

s n t

b

− +

≤ ≤ −

−

− +

≤ ≤ −

−

β β

3.6.Contoh Kasus

Seorang Pegawai café kopi ingin mengetahui seberapa besar hubungan diantara pemakaian dispenser dalam penjualan kopi dengan banyaknya penjualan kopi tersebut.

Tabel 3.1

Data untuk penjualan kopi di cafeteria

Cafetaria Jumlah dispenser (Xi)

Penjualan kopi (Yi)

1 0 508,1

2 0 498,4

3 1 568,2

4 1 577,3

5 2 651,7

6 2 657,0

7 3 713,4

8 3 697,5

9 4 755,3

10 4 758,9

11 5 787,6

12 5 792,1

13 6 841,4

14 6 831,8

( Sumber: buku Applied linear Statistical Models hal: 300 – 320 )

(Neter, Jhon and Wasserman,William. 1985)

Penyelesaian:

Didalam contoh ini diketahui variabel terikatnya adalah penjualan kopi dan variabel penjelasnya adalah jumlah dispenser. Didalam analisa Regresi Nonlinier Model Kuadratik Variabel penjelasnya yang dipakai hanya satu tetapi pada parameter yang lainnya variabel penjelasnya itu sudah berpangkat dua atau bermodel kuadratik.Untuk menyelesaikan contoh diatas terlebih dahulu data tersebut dibuatkan kedalam bentuk matriks untuk mempermudah pengerjaan. Selanjutnya untuk menghitung seberapa besar pengaruh yang ada dalam model tersebut dapat dikerjakan dengan menggunakan SPSS dengan aplikasi terhadap regresi nonlinier model kuadratik.

Langkah pertama Menuliskan model kuadratik tersebut yaitu: Y_i =β₀ +β₁x_i +β₂x_i2 +ε_i

Data untuk penjualan kopi di capetaria dibuatkan dalam matriks                                             − − − − − − =                                             = 9 3 1 9 3 1 4 2 1 4 2 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 4 2 1 4 2 1 9 3 1 9 3 1 8 , 831 4 , 841 1 , 792 6 , 787 9 , 758 3 , 755 5 , 697 4 , 713 0 , 657 7 , 651 3 , 577 2 , 568 4 , 498 1 , 508 2 X Y x x

Langkah 2 Mencari taksiran dari parameter darimodel regresi nonlinier kuadratik tersebut, dengan manual dapat diselesaikan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil. Untuk mempermudah penyelesaiiannya dapat diselesaikan dengan menggunakan program computer yaitu SPSS, karena dengan manual dengan banyak data yang ada akan memperlama penganalisaan data. Hasil dari SPSS tersebut adalah sebagai berikut:

Tabel 3.2

Hasil dari regresi untuk penjualan kopi

Koefisien regresi taksiran koefisien regresi taksiran standard deviasi t 0

β 705,477 3,208 219,91

1

β 54,893 1,050 52,28

2

Tabel 3.3

Analisa variansi untuk penjualan kopi

Jenis variasi SS df MS

Regresi 171,773 2 85,887

x 168,741 1 168,741

x

x2 3,033 1 3,033

Error 679 11 61,7

Total 172,453 13 -

Matriks dari s2(b)

     

    −

−

3675 , 0 0 4702 , 1

0 1026

, 1 0

4702 , 1 0

2912 , 10

Dari perhitungan regresi diatas didapat persamaan taksiran untuk persamaan Regresi Nonlininier Model Kuadratik, yaitu sebagai berikut:

2

25 , 4 89 , 54 47 . 705

ˆ _{x x}

Y = + −

Langkah 3 Uji Regresi model kuadratik, yaitu sebagai berikut: a) Menguji Hipotesis

( )

( )

0 1 2 2

1

2 2 1 0 0

: :

x x Y

E H

x x Y

E H

β β ββ + β + β ≠

+ + =

b) Menentukan taraf signifikan dan derajat kebebasan dari model tersebut.

Untuk model ini diambil taraf signifikannya 0,05 dan derajat kebebasanya adalah F(0.95;4,7)=4,12

c) Daerah penerimaan adalah : Fhitung ≤ Ftabel

d) Pengujian Statistik F0 =

MSPE MSLF

(

)

(

508,1 503,25

)

2

(

831,8 836,6

)

2 292

2 1

= −

+ + −

=

− =

∑

=



SSPE

maka Y

Y SSPE

n i

i

Untuk x=−3,Y₂ =572,75 danseterusnyasampai x=3,danY₁₄

Dengan derajat bebas untuk SSPE =(14-7) = 7 maka akan didapat MSPE = SSPE / 7 =292 / 7 =41,7

Diperoleh galatnya sebagi berikut: SSLF = SSE – SSPE = 679 – 292 =387

Untuk derajat bebas dari SSLF didapat ( 7-3 ) = 4 karena disini ada tiga parameter yang ditaksir maka harus dikurangi dengan 3, sehingga didapat MSLF sebagai berikut: 96,8

4 387

4 = =

= SSLF MSLF

F0 =

MSPE MSLF

= 2,32 7

, 41

8 , 96

=

e) karena F hitung lebih kecil dari pada F tabel yaitu (2,32<4,12) maka hipotesis diterima yang berarti model tersebut adalah model regresi nonlinier model kuadratik.

Langkah 4 Menguji koefisien regresi dari model regresi tersebut yaitu dengan cara sebagai berikut. Uji parameter yang dilakukan disini adalah uji parameter terhadap Variabel penjelasnya yang kuadratiknya saja yaitu terhadapβ2

a) Menguji Hipotesis 0 :

0 :

2 1

2 0

≠ = ββ

H H

Dengan hipotesis nolnya adalah bahwa tidak ada hubungan kuadratik terhadap variabel penjelas. Hipotesis tandingannya adalah menyatakan bahwa ada hubungan kuadratik dengan variabel penjelasnya.

b) Menentukan taraf signifikan dan derajat kebebasan dari model tersebut. Untuk model ini diambil taraf signifikannya 0,05 dan derajat kebebasanya yaitu t ( 0,975 ; 11 ) = 2,201

c) Daerah penerimaan adalah : t_hitung ≤t_tabel Daerah penolakan adalah : t_hitung >t_tabel

d) Pengujian Statistik thitung=

( )

2

2

b s

b

thitung=

( )

2

2

b s

b

= 7,012

606 , 0

249 , 4

− = −

e) Karena t hitung lebih besar dari t tabel atau (7,012 > 2,201) maka kesimpulan yang dapat diperoleh dari perhitungan tersebut adalah hipotesis nol ditolak yang berarti tidak ada lagi pengaruh model kuadratik tersebut.

Langkah 5 Analisis selanjutnya yang dilakukan adalah untuk mengetahui selang kepercayaan parameter regresi yaitu dengan cara sebagai berikut: a) menentukan nilai dari t (tabel) yaitu t(1- 0,10/2 ;n – p) = ( 0,975 ; 14-3)

( 0,975 ; 11) = 2,201

b) menentukan nilai dari setiap parameter yang terlebih dahulu ditaksir dengan menggunakan metode OLS dan menentukan nilai dari

( )

b1 s

( )

b2

s dan

606 , 0 ) ( 249

, 4

050 , 1 ) ( 893

, 54

2 2

1 1

= −

=

= =

b s b

b s b

c) menetukan batas interval dari setiap parameter regresi model kuadratik tersebut yaitu:

) ( ) 3 ; 975 , 0 ( ) ( ) 3 ; 975 , 0 ( ) ( ) 3 ; 975 , 0 ( ) ( ) 3 ; 975 , 0 ( 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 b s n t b b s n t b b s n t b b s n t b − + ≤ ≤ − − − + ≤ ≤ − − β β 92 , 2 58 , 5 ) 606 , 0 ( 201 , 2 249 , 4 ) 606 , 0 ( 201 , 2 249 , 4 20 , 57 58 , 52 ) 050 , 1 ( 201 , 2 ) 050 , 1 ( 201 , 2 893 , 54 2 2 1 1 1 − ≤ ≤ − + − ≤ ≤ − − ≤ ≤ + ≤ ≤ − ββ ββ b

3.7. Mencocokkan Model Terhadap Data Dari Penjualan Kopi Pada Data di atas (Tabel 3.1)

Karena x= X −X maka :

2 2 2 1 1 2 2 1 0 0 2 b b X b b b X b X b b b = ′ = − ′ + − = ′

Karena contoh data dari penjualan kopi tersebut memperolehX =3 maka dapat diperoleh persamaan baru untuk persamaan regresi non linier model kuadratik adalah sebagai berikut:

) 249 , 4 ( 387 , 80 ) 3 )( 249 , 4 ( 2 893 , 54 554 , 502 ) 3 )( 249 , 4 ( ) 3 ( 893 , 54 474 , 705 2 1 2 0 − = ′ = − − = ′ = − + − = ′ b b b

Sehingga persamaannya menjadi:

2 249 , 4 387 , 80 554 , 502

ˆ _{X X}

Y = + −

Dari Persamaan taksiran diatas, dapat dicocokkan kedalam data sebagai berikut: Untuk x = 0 didapat Yˆ =502,554+80,387

( )

0 −4,249

( )

0 2 =502,554

Untuk x = 1 didapat Yˆ=502,554+80,387

( )

1 −4,249

( )

12 =578,692

Untuk x = 2 didapat Yˆ =502,554+80,387

( )

2 −4,249

( )

2 2 =646,332

Untuk x = 3 didapat Yˆ =502,554+80,387

( )

3 −4,249

( )

3 2 =705,474

Untuk x = 5 didapat Yˆ =502,554+80,387

( )

5 −4,249

( )

5 2 =798,264 Untuk x = 6 didapat Yˆ=502,554+80,387

( )

6 −4,249

( )

6 2 =831,912

3.8. Menaksir Maksimum atau Minimum pada sebuah fungsi Regresi Kuadratik

Didalam regresi model kuadratik perlu dicari titik maksimum dan minimum dari model fungsi regresi kuadratik yaitu dengan cara sebagai berikut:

2 2 1 0

ˆ _{b b x b x}

Y = + +

dx d dx

Y d

= ˆ

2 2 1 0 bx b x

b + + = b₁+2b₂x=0

2 1

2b b xm =−

Disubsitusi kedalam persamaan regresi maka didapat

2 2 1 0

2 2

1 2 2

1 1 0

4

2 2

ˆ

b b b

b b b b

b b b Y

− =

    − +     − + =

Maksimum (minimum) pada x_m:

2 1

2b b x_m =−

Didalam Variabel X titik maksimum (minimum) pada X _m

2 1

2b b X Xm= −

Taksiran dari X adalah: _m

2 2 1 0

4 ˆ

b b b Y_m= −

m

Pada contoh data penjualan kopi kita dapat persamaan setelah dicocokkan terhadap data itu adalah

2

25 , 4 89 , 54 47 , 705

ˆ _{X X}

Y = + −

Didapat:

9 ) 25 . 4 ( 2

89 . 54

3 =

− − =

m

X

Taksiran persamaan regresi kuadratik itu menjadi:

885 )

9 ( 25 , 4 ) 9 ( 89 , 54 47 , 705

ˆ = + − 2 =

Y

Bab 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. KESIMPULAN

Regresi Nonlinier Model Kuadratik adalah salah satu model regresi yang apabila diturunkan terhadap parameternya sendiri masih mengandung parameter tersebut. Salah satu metode untuk menaksir parameter dalam regresi nonlinier adalah dengan menggunakan metode kuadrat terkecil. Dari contoh data yang diketahui, ternyata terbukti bahwa metode kuadrat terkecil dapat melinierkan data yang persamaannya nonlinier.

4.2. SARAN

Pada tulisan ini, penulis hanya membahas tentang penaksiran parameter regresi nonlinier model kuadratik dengan menggunakan metode kuadrat terkecil. Bagi para pembaca yang berminat dapat melanjutkan penelitian ini untuk menyelesaikan penaksiran parameter Regresi Nonlinier untuk model nonlinier lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

Draper, N. R. and Smith, H. 1996 Analisis Regresi Terapan. Pt Gramedia Pustaka Utama, anggota IKAPI, Jakarta.

Gallant, A. Ronald. 1942. Nonlinear Statistical models. New York: Jhon Wiley & Sone inc

Davidian, M. 1996. Nonlinear Regression. New York.

Faires, J.Douglas and Burden, L. Richard. Numerical Methods. 1993. Boston

Neter, Jhon and Wasserman, William. 1985. Applied Linear Statistical Models. Printed in the United States of America

Soelistiyo. 2001. Dasar-Dasar Ekonometrika. Yogyakarta: BPPE. Supranto, J. 1981. Statistik Teori dan Aplikasi. Erlangga. Jakarta.

b) Menentukan taraf signifikan dan derajat kebebasan dari model tersebut. Untuk model ini diambil taraf signifikannya 0,05 dan derajat kebebasanya yaitu t ( 0,975 ; 11 ) = 2,201

c) Daerah penerimaan adalah : t_hitung ≤t_tabel Daerah penolakan adalah : t_hitung >t_tabel

d) Pengujian Statistik thitung=

( )

2 2

b s

b

thitung=

( )

2 2

b s

b

= 7,012

606 , 0

249 , 4

− = −

e) Karena t hitung lebih besar dari t tabel atau (7,012 > 2,201) maka kesimpulan yang dapat diperoleh dari perhitungan tersebut adalah hipotesis nol ditolak yang berarti tidak ada lagi pengaruh model kuadratik tersebut.

Langkah 5 Analisis selanjutnya yang dilakukan adalah untuk mengetahui selang kepercayaan parameter regresi yaitu dengan cara sebagai berikut:

a) menentukan nilai dari t (tabel) yaitu t(1- 0,10/2 ;n – p) = ( 0,975 ; 14-3) ( 0,975 ; 11) = 2,201

b) menentukan nilai dari setiap parameter yang terlebih dahulu ditaksir dengan menggunakan metode OLS dan menentukan nilai dari

( )

b1 s

( )

b2

s dan

606 , 0 ) ( 249

, 4

050 , 1 ) ( 893

, 54

2 2

1 1

= −

=

= =

b s b

b s b

c) menetukan batas interval dari setiap parameter regresi model kuadratik tersebut yaitu:

) ( ) 3 ; 975 , 0 ( ) ( ) 3 ; 975 , 0 ( ) ( ) 3 ; 975 , 0 ( ) ( ) 3 ; 975 , 0 ( 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 b s n t b b s n t b b s n t b b s n t b − + ≤ ≤ − − − + ≤ ≤ − − β β 92 , 2 58 , 5 ) 606 , 0 ( 201 , 2 249 , 4 ) 606 , 0 ( 201 , 2 249 , 4 20 , 57 58 , 52 ) 050 , 1 ( 201 , 2 ) 050 , 1 ( 201 , 2 893 , 54 2 2 1 1 1 − ≤ ≤ − + − ≤ ≤ − − ≤ ≤ + ≤ ≤ − ββ ββ b

3.7. Mencocokkan Model Terhadap Data Dari Penjualan Kopi Pada Data di atas (Tabel 3.1)

Karena x= X −X maka :

2 2 2 1 1 2 2 1 0 0 2 b b X b b b X b X b b b = ′ = − ′ + − = ′

Karena contoh data dari penjualan kopi tersebut memperolehX =3 maka dapat diperoleh persamaan baru untuk persamaan regresi non linier model kuadratik adalah sebagai berikut:

) 249 , 4 ( 387 , 80 ) 3 )( 249 , 4 ( 2 893 , 54 554 , 502 ) 3 )( 249 , 4 ( ) 3 ( 893 , 54 474 , 705 2 1 2 0 − = ′ = − − = ′ = − + − = ′ b b b

Sehingga persamaannya menjadi:

2 249 , 4 387 , 80 554 , 502

ˆ _{X X}

Y = + −

Dari Persamaan taksiran diatas, dapat dicocokkan kedalam data sebagai berikut: Untuk x = 0 didapat Yˆ =502,554+80,387

( )

0 −4,249

( )

0 2 =502,554

Untuk x = 1 didapat Yˆ=502,554+80,387

( )

1 −4,249

( )

12 =578,692

Untuk x = 2 didapat Yˆ =502,554+80,387

( )

2 −4,249

( )

2 2 =646,332

Untuk x = 3 didapat Yˆ =502,554+80,387

( )

3 −4,249

( )

3 2 =705,474

Untuk x = 5 didapat Yˆ =502,554+80,387

( )

5 −4,249

( )

5 2 =798,264 Untuk x = 6 didapat Yˆ=502,554+80,387

( )

6 −4,249

( )

6 2 =831,912

3.8. Menaksir Maksimum atau Minimum pada sebuah fungsi Regresi Kuadratik

Didalam regresi model kuadratik perlu dicari titik maksimum dan minimum dari model fungsi regresi kuadratik yaitu dengan cara sebagai berikut:

2 2 1 0

ˆ _{b b x b x}

Y = + +

dx d dx

Y d

= ˆ

2 2 1

0 bx b x

b + + = b₁+2b₂x=0

2 1

2b b xm =−

Disubsitusi kedalam persamaan regresi maka didapat

2 2 1 0

2

2 1 2 2

1 1 0

4

2 2

ˆ

b b b

b b b b

b b b Y

− =

    − +     − + =

Maksimum (minimum) pada x_m:

2 1

2b b x_m =−

Didalam Variabel X titik maksimum (minimum) pada X _m

2 1

2b b X Xm= −

Taksiran dari X adalah: _m

2 2 1 0

4 ˆ

b b b Y_m= −

m

Pada contoh data penjualan kopi kita dapat persamaan setelah dicocokkan terhadap data itu adalah

2 25 , 4 89 , 54 47 , 705

ˆ _{X X}

Y = + −

Didapat:

9 ) 25 . 4 ( 2

89 . 54

3 =

− − =

m

X

Taksiran persamaan regresi kuadratik itu menjadi:

885 )

9 ( 25 , 4 ) 9 ( 89 , 54 47 , 705

ˆ = + − 2 =

Y

Bab 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. KESIMPULAN

Regresi Nonlinier Model Kuadratik adalah salah satu model regresi yang apabila diturunkan terhadap parameternya sendiri masih mengandung parameter tersebut. Salah satu metode untuk menaksir parameter dalam regresi nonlinier adalah dengan menggunakan metode kuadrat terkecil. Dari contoh data yang diketahui, ternyata terbukti bahwa metode kuadrat terkecil dapat melinierkan data yang persamaannya nonlinier.

4.2. SARAN

Pada tulisan ini, penulis hanya membahas tentang penaksiran parameter regresi nonlinier model kuadratik dengan menggunakan metode kuadrat terkecil. Bagi para pembaca yang berminat dapat melanjutkan penelitian ini untuk menyelesaikan penaksiran parameter Regresi Nonlinier untuk model nonlinier lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

Draper, N. R. and Smith, H. 1996 Analisis Regresi Terapan. Pt Gramedia Pustaka Utama, anggota IKAPI, Jakarta.

Gallant, A. Ronald. 1942. Nonlinear Statistical models. New York: Jhon Wiley & Sone inc

Davidian, M. 1996. Nonlinear Regression. New York.

Faires, J.Douglas and Burden, L. Richard. Numerical Methods. 1993. Boston

Neter, Jhon and Wasserman, William. 1985. Applied Linear Statistical Models. Printed in the United States of America

Soelistiyo. 2001. Dasar-Dasar Ekonometrika. Yogyakarta: BPPE.