Perumusan Masalah Perumusan Penduga

III. HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Perumusan Masalah

Misalkan adalah proses Poisson non- homogen pada interval dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan terintegralkan lokal dan merupakan hasil kali dari dua komponen yaitu komponen periodik atau komponen siklik dengan periode diketahui dikalikan komponen tren linear . Konstanta merupakan kemiringan dari tren linear dimana Dengan demikian, untuk sebarang titik fungsi intensitas dapat dinyatakan sebagai berikut dengan adalah fungsi periodik dengan periode Persamaan 1 juga dapat ditulis menjadi dengan adalah fungsi periodik. Misalkan maka persamaan 1 dapat ditulis menjadi Karena adalah fungsi periodik dengan periode dan adalah konstanta, maka adalah fungsi periodik dengan periode sehingga persamaan berlaku untuk setiap dan , dengan adalah himpunan bilangan bulat. Berdasarkan persamaan 3, untuk menduga cukup diduga Karena adalah fungsi periodik dengan periode , maka untuk menduga pada cukup diduga nilai pada Pada karya ilmiah ini dipelajari penyusunan penduga konsisten bagi untuk dengan menggunakan realisasi tunggal dari proses Poisson yang diamati pada interval Diasumsikan bahwa adalah titik Lebesque dari , yang secara otomatis berarti bahwa adalah titik Lebesque dari

3.2 Perumusan Penduga

Penduga bagi pada titik dapat dirumuskan sebagai berikut dengan menyatakan banyak kejadian pada interval , k merupakan suatu bilangan bulat dan adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol yaitu untuk Pada penduga di atas disebut bandwidth. Penduga pada 5 adalah bentuk khusus dari penduga yang dibahas pada Mangku 2011. Penduga pada 5 menggunakan kernel seragam, sedangkan penduga pada Mangku 2011 menggunakan fungsi kernel umum. Berikut diuraikan ide tentang pembentukan dari penduga bagi . Menurut persamaan 3 dan 4 diperoleh Maka rata-rata nilai yang diduga dengan menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan Dari persamaan 8 diperoleh Untuk melakukan pendekatan terhadap persamaan 9 diperlukan asumsi bahwa s adalah titik Lebesque bagi dan asumsi 6 terpenuhi, sehingga persamaan 9 menjadi Dengan mengganti dengan yang merupakan padanan stokastiknya, maka dapat diaproksimasi Sehingga diperoleh penduga bagi adalah seperti pada persamaan 5. Teorema 1 Kekonvergenan MSE penduga Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan 3 dan terintegralkan lokal. Jika asumsi 6 dipenuhi dan maka untuk asalkan s adalah titik Lebesgue bagi Bukti: Berdasarkan definisi MSE Definisi 22, Teorema 1 merupakan akibat dari dua lema berikut, yaitu Lema 4 mengenai ketakbiasan asimtotik dan Lema 5 mengenai kekonvergenan ragam. Lema 4 Ketakbiasan asimtotik Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan 3 dan terintegralkan lokal. Jika asumsi 6 dipenuhi maka untuk asalkan s adalah titik Lebesgue bagi . Dengan kata lain adalah penduga tak bias asimtotik bagi Bukti: Untuk membuktikan persamaan 11 akan diperlihatkan bahwa Untuk menyelesaikan persamaan 12 dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut Karena tidak mengandung indeks k, maka persamaan 13 dapat ditulis menjadi Nilai harapan pada persamaan 14 dapat diuraikan menjadi Kita misalkan : Maka pada persamaan 15 dilakukan pergantian peubah sehingga diperoleh Dengan berpedoman pada persamaan 7, maka persamaan 16 dapat diubah menjadi Berdasarkan sifat keperiodikan pada persamaan 4, maka persamaan 17 dapat ditulis menjadi Kemudian persamaan 18 disubstitusikan kembali ke persamaan 14 sehingga diperoleh Lalu unsur yang memiliki indeks k dikelompokkan sehingga diperoleh Karena jika maka untuk semua Dari persamaan 20, maka persamaan 19 dapat ditulis sebagai Dengan melakukan operasi perkalian pada ruas kanan, maka diperoleh Suku pertama pada ruas kanan dari persamaan 22 dapat ditulis menjadi Untuk menunjukkan bahwa suku pertama dari persamaan 23 adalah konvergen ke nol, akan digunakan nilai yang lebih besar, yaitu Berdasarkan asumsi 6 dan dengan asumsi bahwa s adalah titik Lebesgue bagi maka kuantitas pada persamaan 24 konvergen ke nol, jika atau dapat juga ditulis Sedangkan suku kedua persamaan 23 adalah Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh, maka jika Dengan demikian diperoleh bahwa suku pertama pada ruas kanan persamaan 22 adalah untuk Sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan 22 menjadi untuk Dengan mensubstitusikan hasil yang diperoleh dari suku pertama dan suku kedua di atas maka diperoleh untuk Dengan demikian Lema 4 terbukti. Lema 5 Kekonvergenan ragam Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan 3 dan terintegralkan lokal. Jika asumsi 6 dipenuhi, terbatas di sekitar s dan , maka untuk Bukti : Karena jika maka untuk nilai n yang cukup besar, interval dan untuk tidak tumpang tindih atau tidak overlap. Akibatnya, berdasarkan sifat inkremen bebas dari proses Poisson Definisi 25, diperoleh bahwa dan untuk adalah peubah acak bebas. Sehingga dapat ditentukan sebagai berikut Karena ~ Poisson, maka sehingga persamaan 28 menjadi 29 Dari persamaan 18 untuk sebarang k, kita bisa tuliskan Dengan demikian persamaan 29 dapat ditulis menjadi Dengan mengelompokan unsur yang memiliki indeks k, persamaan 30 dapat ditulis menjadi Perhatikan bahwa, karena maka persamaan 31 menjadi Karena terbatas di sekitar , maka ada konstanta K sehingga untuk semua Maka ruas kanan persamaan 33 tidak melebihi jika Dengan demikian Lema 5 terbukti. Berdasarkan kedua lema tersebut, yaitu i Lema 4 ketakbiasan asimtotik , jika maka ii Lema 5 kekonvergenan ragam jika maka definisi MSE Definisi 22 akan diperoleh, yaitu sebagai berikut untuk Dengan demikian Teorema 1 terbukti.

3.3 Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam dan MSE