Produksi dan Akumulasi Modal

3.3 Sistem Dinamik Model Dua Sektor

Hubungan antara modal perkapita dari sektor barang modal dan sektor barang konsumsi berdasarkan persamaan 3.3 dan berdasarkan asumsi tingkat suku bunga dan tingkat upah di kedua sektor sama akan diperoleh s i k t k t α = 3.15 di mana i s s i α β α β α ≡ . Penjabaran persamaan dapat lihat pada Lampiran 3. Modal perkapita dari sektor barang konsumsi adalah berproporsi dengan sektor barang modal. Dengan s i k t k t α = dan i i s s f pf β β = diperoleh i s s i i i s s A p t k t A α α α β β α − = . 3.16 Penjabaran perolehan persamaan dapat lihat pada Lampiran 4. Harga barang- barang konsumsi mempunyai hubungan positif dengan tingkat teknologi dari sektor barang modal tetapi mempunyai hubungan negatif dengan sektor barang konsumsi. Berdasarkan persamaan 3.5 dan persamaan 3.15 diperoleh distribusi tenaga kerja sebagai berikut: , 1 i i i k t k t n t k t α α − = − 1 i s i k t k t n t k t α − = − . 3.17 Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 5. Berdasarkan persamaan 3.14 dan ˆ s y λ = , didapatkan ˆ i i n t f t k t y t δ λ + = . 3.18 Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 6 Dari persamaan 3.11 yaitu ˆ pc y ξ = , serta , s s c n f = dan , i s p f f = didapatkan ˆ s s i s y n f f f ξ = dari persamaan ini dan persamaan 3.18, didapatkan s s i i i s k t n t f t n t f t k t λ δ ξα = + . 3.19 Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 7 Substitusi 1 i s n t n t = − dan s n t pada persamaan 3.17 ke dalam persamaan 3.19 menghasilkan i i k t k t k t = Φ , 3.20 di mana 1 1 i i i k t A Ak t β Φ ≡ + , 1 A λ α λ + ≡ + , 1 1 i A A α δ λ − ≡ + i s β λ λ β ξ ≡ . 3.21 Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 8 dengan persamaan 3.19 dan persamaan 3.20 serta menurut definisi dari A dan A , dapat diselesaikan 1 2 i i i i n t k t k t β α α = Φ − , 3.22 di mana 1 α λ α λ ≡ + dan 2 i A α αδ α λ ≡ + . Lihat Lampiran 9 Berdasarkan persamaan 3.20 dan persamaan 3.22 masukan ke dalam persamaan 3.18 didapatkan ŷt = 1 2 i i i i i k t f t k t k t β α α δ λ ⎡ ⎤ − + Φ ⎣ ⎦ . 3.23 Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 10 Substitusikan persamaan 3.20 dan persamaan 3.23 ke dalam persamaan 3.12, sehingga diperoleh 1 2 1 1 i i i i i i i k t k t k t f t k t k t β α α δ ⎡ ⎤ Φ + + = − + Φ ⎣ ⎦ . 3.24 Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 11 Pertumbuhan ekonomi dapat digambarkan sebagai fungsi dari k i yaitu 1 i i k t k t t + − ≡ Δ fk i t dengan t Δ =1 Pertumbuhan ekonomi dapat diketahui dengan akumulasi modal, untuk mengetahui pergerakan akumulasi modal terlebih dahulu mengetahui pergerakan modal pada sektor barang modal sehingga dari persamaan 3.21 dan persamaan 3.24 dapat dibuat persamaan sebagai berikut 1 2 1 2 [ ] 1 1 1 1 i i i i i i i i i i i i i i i k t f t k t A k t f t k t k t k t Ak t Ak t β β β β β α α δ α α δ − + − + + − + − = + + 3.25 Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 12. Fungsi modal 1 i k t + dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan 3.25 secara numerik. Nilai-nilai dari semua variabel pada setiap titik waktu dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan secara numerik menggunakan alat bantu perangkat lunak Mathematica.

3.4 Kondisi Equilibrium

Ekuilibrium untuk model tertentu adalah suatu keadaan yang mempunyai ciri tidak adanya kecenderungan untuk berubah. Selanjutnya agar sistem berada dalam kondisi ekuilibrium, jika dipenuhi 1 i k t + = i k t = k . 3.26 Substitusi kondisi 3.26 ke persamaan 3.24, sehingga diperoleh persamaan yang memiliki solusi positif unik yaitu 1 1 2 i i i k i A k A β α δ α ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ . 3.27 Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 13. Nilai dari semua variabel pada saat ekuilibrium dapat diselesaikan melalui pendekatan secara numerik menggunakan alat bantu perangkat lunak Mathematica .

BAB IV SIMULASI MODEL

Pada bagian ini akan ditunjukkan simulasi model melalui pendekatan numerik dengan menggunakan alat bantu perangkat lunak Mathematica. Oleh karena itu ditentukan nilai-nilai parameter seperti yang disajikan pada Tabel 4.1 sebagai berikut: Tabel 4.1 Besaran Parameter Model j α β A δ k i 13 23 1.3 0.1 s 0.30 0.70 1.2 0.1 Pada simulasi ini akan dibuat tiga kasus pada kecenderungan menabung untuk pertumbuhan modal dan output per kapita yaitu kasus 1 saat kecenderungan menabung 20 persen, kasus 2 saat kecenderungan menabung 50 persen, kasus 3 saat kecenderungan menabung 80 persen.

4.1 Pertumbuhan Modal Per kapita

Laju perubahan modal per kapita pada sektor barang modal dapat disimulasikan dengan menggunakan persamaan 3.25, laju perubahan modal per kapita pada sektor barang konsumsi dapat disimulasikan dengan menggunakan persamaan 3.15. Sedangkan laju perubahan modal per kapita total dapat simulasikan dengan persamaan 3.5. Kasus 1: Kecenderungan menabung λ = 0.20 Dengan kecenderungan untuk menabung adalah 0.20, ini menunjukkan bahwa kecenderungan mengkonsumsi adalah 80 persen. Laju perubahan modal pada masing-masing sektor diberikan pada Gambar 1. Sedangkan laju perubahan modal totalnya dapat dilihat pada Gambar 2.