State Sistem Dinamik dan Peubah

laju kerusakan θ waktu t laju kerusakan θ waktu t masa awal masa berguna masa aus θ konstan a b andal takandal Gambar 2 a Hubungan antara tingkat keandalan, tingkat kerusakan, dan waktu. b Siklus hidup komponen bathup curve. 2.4 Kontrol Optimum 2.4.1 Masalah Kontrol Optimum Masalah kontrol optimum adalah masalah memilih peubah kontrol di antara semua pe- ubah kontrol yang admissible, yaitu kontrol yang membawa sistem dari state awal pada waktu awal kepada state akhir pada waktu akhir, sedemikian sehingga memberikan nilai maksimum atau minimum untuk fungsional objektif performance index. Tu 1993

2.4.2 State Sistem Dinamik dan Peubah

Kontrol Misalkan diberikan sistem dinamik dalam bentuk sistem persamaan diferensial = , , 1 untuk model kontinu atau dalam bentuk sis- tem persamaan beda � + 1 = � , � , � 2 untuk model diskret. Sistem dinamik dapat berbentuk linear atau taklinear, mandiri auto- nomous atau takmandiri non-autonomous, deterministik atau stokastik. State atau keadaan sistem dinamik adalah koleksi dari = 1 , 2 , … , � yang apabila diberikan suatu nilai pada waktu � untuk model diskret maka nilainya akan dapat ditentukan pada � � untuk model diskret melalui pilihan vektor peubah kontrol = 1 , 2 , … , � . Vektor disebut vektor peubah state sedangkan � disebut state ke-i. Ruang keadaan adalah ruang berdimensi � yang memuat koordinat � . Peubah kontrol adalah peubah yang me- mengaruhi suatu sistem dan dilambangkan dengan � � � untuk model diskret dengan 1 � �, untuk model kontinu dan � 0,1, … untuk model diskret. Secara umum, kendala peubah kontrol dinyatakan dengan persyaratan bahwa peubah kontrol harus dipilih dari kumpulan kontrol- kontrol yang admissible yang dilambangkan Ω , yaitu � Ω . Apabila kontrol hanya merupakan fungsi dari maka disebut kontrol open-loop dan apabila kontrol juga merupakan fungsi dari peubah state yaitu = , untuk model kontinu atau � = � , � untuk model diskret, maka disebut kontrol close-loop. Tu 1993 2.4.3 Formulasi Masalah Kontrol Opti- mum Misalkan menyatakan himpunan dari semua fungsi yang kontinu sesepenggal piecewise. Masalah kontrol optimum adalah menentukan fungsi kontrol di antara fungsi admissible yang membawa sistem dari state awal kepada state akhir pada waktu , melalui sistem 1 atau 2 sehingga fungsional mencapai maksimum. Masalah kontrol optimum kontinu MKOK adalah masalah memaksimumkan fungsional objektif max = , + , , dengan adalah suatu fungsi yang diberikan dan , merupakan fungsi scrap fung- si yang menggambarkan keadaan sistem di waktu akhir terhadap kendala = , , = = . Masalah kontrol optimum diskret MKOD adalah masalah memaksimumkan fungsional objektif max � � � , � , � −1 �=0 terhadap kendala � + 1 − � = � , � , � � = = . Kendala pertama merupakan persamaan beda yang menyatakan perubahan pada peubah keadaan dari waktu � ke � + 1, � = 0,1, … , − 1. Tu 1993

2.4.4 Prinsip Maksimum Pontryagin