laju kerusakan θ
waktu t laju kerusakan
θ
waktu t masa
awal masa berguna
masa aus
θ konstan
a b
andal takandal
Gambar 2 a Hubungan antara tingkat keandalan, tingkat kerusakan, dan waktu. b Siklus hidup komponen bathup curve.
2.4 Kontrol Optimum 2.4.1 Masalah Kontrol Optimum
Masalah kontrol optimum adalah masalah memilih peubah kontrol di antara semua pe-
ubah kontrol yang admissible, yaitu kontrol yang membawa sistem dari state awal pada
waktu awal kepada state akhir pada waktu akhir, sedemikian sehingga memberikan nilai
maksimum atau minimum untuk fungsional objektif performance index.
Tu 1993
2.4.2 State Sistem Dinamik dan Peubah
Kontrol Misalkan diberikan sistem dinamik dalam
bentuk sistem persamaan diferensial = , , 1
untuk model kontinu atau dalam bentuk sis- tem persamaan beda
� + 1 = � , � , � 2 untuk model diskret. Sistem dinamik dapat
berbentuk linear atau taklinear, mandiri auto- nomous atau takmandiri non-autonomous,
deterministik atau stokastik.
State atau keadaan sistem dinamik adalah koleksi dari
=
1
,
2
, … ,
�
yang apabila diberikan suatu nilai pada waktu
� untuk
model diskret maka nilainya akan dapat ditentukan pada
� � untuk model
diskret melalui pilihan vektor peubah kontrol =
1
,
2
, … ,
�
. Vektor disebut vektor peubah state sedangkan
�
disebut state ke-i. Ruang keadaan adalah ruang berdimensi
� yang memuat koordinat
�
. Peubah kontrol adalah peubah yang me-
mengaruhi suatu sistem dan dilambangkan dengan
� �
� untuk model diskret dengan
1 � �,
untuk model kontinu dan
� 0,1, … untuk model diskret. Secara umum, kendala peubah kontrol
dinyatakan dengan persyaratan bahwa peubah kontrol harus dipilih dari kumpulan kontrol-
kontrol yang admissible yang dilambangkan Ω , yaitu
�
Ω . Apabila kontrol hanya merupakan fungsi dari maka disebut
kontrol open-loop dan apabila kontrol juga merupakan fungsi dari peubah state yaitu
= , untuk model kontinu atau � = � , � untuk model diskret, maka
disebut kontrol close-loop. Tu 1993
2.4.3 Formulasi Masalah Kontrol Opti-
mum
Misalkan menyatakan himpunan dari
semua fungsi yang kontinu sesepenggal piecewise. Masalah kontrol optimum adalah
menentukan fungsi kontrol di antara fungsi admissible yang membawa sistem dari state
awal
kepada state akhir pada waktu
, melalui sistem 1 atau 2 sehingga
fungsional mencapai maksimum. Masalah
kontrol optimum
kontinu MKOK adalah masalah memaksimumkan
fungsional objektif max
= , + , ,
dengan adalah suatu fungsi yang diberikan
dan , merupakan fungsi scrap fung-
si yang menggambarkan keadaan sistem di waktu akhir terhadap kendala
= , , =
= . Masalah
kontrol optimum
diskret MKOD adalah masalah memaksimumkan
fungsional objektif max
�
� � , � , �
−1 �=0
terhadap kendala � + 1 − � = � , � , �
� =
= .
Kendala pertama merupakan persamaan beda yang menyatakan perubahan pada peubah
keadaan dari waktu � ke � + 1, � =
0,1, … , − 1.
Tu 1993
2.4.4 Prinsip Maksimum Pontryagin