Kendala pertama merupakan persamaan beda yang menyatakan perubahan pada peubah
keadaan dari waktu � ke � + 1, � =
0,1, … , − 1.
Tu 1993
2.4.4 Prinsip Maksimum Pontryagin
Syarat perlu tercapainya kondisi optimum bagi MKOK diperoleh dengan menerapkan
prinsip maksimum Pontryagin. Teorema 1
Prinsip Maksimum Pontryagin Misalkan sebagai kontrol admissible yang
membawa state awal ,
kepada state terminal
, dengan dan secara umum tidak ditentukan. Syarat perlu agar
∗
,
∗
menjadi solusi optimum adalah ter-
dapat vektor
∗
sedemikian rupa sehingga: 1.
∗
dan
∗
merupakan solusi dari sistem kanonik:
∗
=
∗
,
∗
,
∗
,
∗
= −
∗
,
∗
,
∗
, dengan fungsi Hamilton H diberikan oleh
, , , = , , + ∙ , , .
2.
∗
,
∗
,
∗
, , , , .
3. Semua syarat batas terpenuhi.
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1. Tu 1993
2.4.5 Syarat Batas Syarat Transversalitas
Jika dan belum ditentukan maka
diperlukan syarat batas atau syarat trans- versalitas berikut
− �
=
+ + �
=
= 0. dengan
� dan � bernilai nol jika waktu dan nilai variabel state telah ditetapkan lihat
Gambar 3. Apabila
dan keduanya juga belum
ditentukan, maka syarat batas menjadi − �
= 0,
+ + �
= 0,
= 0. Tu 1993
Ilustrasi masalah di atas dapat dilihat pada Gambar 3.
2.4.6 Masalah Waktu Terminal
T Tetap
Jika waktu terminal T tetap, maka � = 0
syarat batas menjadi − �
=
= 0 Terdapat tiga kasus untuk masalah ini,
salah satu di antaranya adalah kasus dengan state terminal bebas, untuk kasus ini jelas
bahwa � ≠ 0 sehingga diperoleh
= . Apabila tanpa fungsi scrap , = 0, maka syarat batas menjadi
= 0. Tu 1993
2.4.7 Metode Pengali Lagrange
Syarat perlu tercapainya kondisi optimum bagi MKOD adalah dengan menerapkan me-
tode pengali Lagrange. Didefinisikan fungsi Lagrange
= � � , � , � + � + 1 [ � +
−1 �=0
� , � , � − � + 1] dengan
� + 1 adalah pengali Lagrange yang berhubungan dengan persamaan beda
dari kendala pertama. Syarat perlu agar
∗
,
∗
menjadi solusi optimal adalah: 1.
�
=
�
� + � + 1
�
= 0. 2.
�
=
�
� + � + 1 1 +
�
− = 0.
3.
1+ �
= � + − � + 1 = 0
4.
�
= − � = 0.
Syarat terakhir diperlukan jika state akhir bebas.
Conrad Clark 1987
2.5 Metode Beda Hingga Finite Difference