Prinsip Maksimum Pontryagin Syarat Batas Syarat Transversalitas Masalah Waktu Terminal Metode Pengali Lagrange

Kendala pertama merupakan persamaan beda yang menyatakan perubahan pada peubah keadaan dari waktu � ke � + 1, � = 0,1, … , − 1. Tu 1993

2.4.4 Prinsip Maksimum Pontryagin

Syarat perlu tercapainya kondisi optimum bagi MKOK diperoleh dengan menerapkan prinsip maksimum Pontryagin. Teorema 1 Prinsip Maksimum Pontryagin Misalkan sebagai kontrol admissible yang membawa state awal , kepada state terminal , dengan dan secara umum tidak ditentukan. Syarat perlu agar ∗ , ∗ menjadi solusi optimum adalah ter- dapat vektor ∗ sedemikian rupa sehingga: 1. ∗ dan ∗ merupakan solusi dari sistem kanonik: ∗ = ∗ , ∗ , ∗ , ∗ = − ∗ , ∗ , ∗ , dengan fungsi Hamilton H diberikan oleh , , , = , , + ∙ , , . 2. ∗ , ∗ , ∗ , , , , . 3. Semua syarat batas terpenuhi. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1. Tu 1993

2.4.5 Syarat Batas Syarat Transversalitas

Jika dan belum ditentukan maka diperlukan syarat batas atau syarat trans- versalitas berikut − � = + + � = = 0. dengan � dan � bernilai nol jika waktu dan nilai variabel state telah ditetapkan lihat Gambar 3. Apabila dan keduanya juga belum ditentukan, maka syarat batas menjadi − � = 0, + + � = 0, = 0. Tu 1993 Ilustrasi masalah di atas dapat dilihat pada Gambar 3.

2.4.6 Masalah Waktu Terminal

T Tetap Jika waktu terminal T tetap, maka � = 0 syarat batas menjadi − � = = 0 Terdapat tiga kasus untuk masalah ini, salah satu di antaranya adalah kasus dengan state terminal bebas, untuk kasus ini jelas bahwa � ≠ 0 sehingga diperoleh = . Apabila tanpa fungsi scrap , = 0, maka syarat batas menjadi = 0. Tu 1993

2.4.7 Metode Pengali Lagrange

Syarat perlu tercapainya kondisi optimum bagi MKOD adalah dengan menerapkan me- tode pengali Lagrange. Didefinisikan fungsi Lagrange = � � , � , � + � + 1 [ � + −1 �=0 � , � , � − � + 1] dengan � + 1 adalah pengali Lagrange yang berhubungan dengan persamaan beda dari kendala pertama. Syarat perlu agar ∗ , ∗ menjadi solusi optimal adalah: 1. � = � � + � + 1 � = 0. 2. � = � � + � + 1 1 + � − = 0. 3. 1+ � = � + − � + 1 = 0 4. � = − � = 0. Syarat terakhir diperlukan jika state akhir bebas. Conrad Clark 1987

2.5 Metode Beda Hingga Finite Difference