Minimum [
, | �] Kendala
[ , | �] = 0 = 1, 2, … ,
hampir pasti
Pemetaan :
Ω → sedemikian hingga menjadi � − .
Masalah ini dapat dinyatakan dengan menyelesaikan persamaan deterministik berikut untuk semua :
Minimum [
, . | �]
Kendala [ , . |
�] = 0 = 1, 2, … ,
Ada 2 kasus ekstrim yang terjadi yakni informasi lengkap dan tidak ada informasi. Kasus pertama menghasilkan model antisipatif sedangkan kasus kedua dikenal
sebagai model distribusi. Akan tetapi yang menarik adalah jika hanya sebagian informasi yang tersedia.
2.6. Model Program Stokastik Rekursif
Model rekursif yang merupakan model yang sering digunakan dalam membentuk kerangka matematika. Model ini tidak hanya mengantisipasi pengamatan di masa
yang akan datang tetapi juga mempertimbangkan informasi yang ada untuk membentuk keputusan yang rekursi. Misalnya, seorang manajer portfolio
mempertimbangkan pergerakan
harga saham
antisipatif sekaligus
meyeimbangkan posisi portfolio dalam perubahan harga adaptif Yu, Ji dan Wang, 2003.
2.6.1. Model Program Stokastik Rekursif Dua Tahap
Masalah perencanaan dan manajemen dalam ketidakpastian resiko biasanya diselesaikan dengan program stokastik dua tahap. Solusi dari program stokastik
Universitas Sumatera Utara
dua tahap terdiri dari vektor deterministik dan vektor acak. Pada tahap pertama dibuat solusi tahap awal
kemudian vektor acak ditentukan pada tahap
kedua.
Fungsi program stokastik rekursif dua tahap Two-Stage Stochastic Programming with Recourse dapat ditulis sebagai berikut:
Minimum + Ε[� , ]
Kendala � = untuk ∈ ℝ
+
dengan x adalah keputusan antisipatif pada tahap pertama yang dibuat dan � , adalah nilai optimal untuk semua Ω dari program non linier:
Minimum � ,
Kendala = −
∈ ℝ
+
1
dengan y adalah keputusan adaptive pada tahap kedua yang bergantung pada kenyataan dari vector acak tahap pertama.
� , dinotasikan sebagai fungsi biaya tahap kedua dan {
, , | ∈ Ω} adalah parameter model. Parameternya adalah vector acak
yang merupakan parameter acak. T adalah matriks teknologi yang terdiri dari koefisien teknologi yang mengubah keputusan
pada tahap pertama x menjadi rekursif pada masalah tahap kedua. W adalah matriks rekursif dan h adalah vektor rekursif pada tahap kedua. Secara umum
model rekursif dua tahap diformulasikan sebagai berikut:
Minimum + Ε min{� , | + = }
Kendala � = untuk ∈ ℝ
+
dan ∈ ℝ
+
1
Universitas Sumatera Utara
Model program stokastik akan lebih mudah diselesaikan bila diubah ke dalam persamaan deterministik ekuivalen.
2.6.2. Formulasi Deterministik Ekuivalen
Andaikan model program stokastik linier sebagai berikut: Minimum
, Kendala
, 0, = 1,2, … , ∈ ⊂ ℝ
Vektor adalah vektor acak yang bervariasi pada himpunan
Ξ ⊂ ℝ
k
. Lebih tepatnya lagi, andaikan
ℱ adalah sebuah family dari “kejadian” yang merupakan himpunan bagian dari
Ξ dan distribusi peluangnya pada ℱ diketahui. Akibatnya untuk setiap himpunan bagian
� ⊂ Ξ merupakan kejadian dengan � ∈ ℱ dan peluang
� diketahui. Selain itu, diasumsikan bahwa fungsi , . : Ξ → ℝ ∀ , adalah variabel acak dan distribusi peluang bebas terhadap . Akan tetapi
persamaan tersebut tidak didefinisikan dengan baik dalam pengertian minimum dan kendala juga tidak jelas jika dipertimbangkan untuk mengambil keputusan
sebelum mengetahui realisasi . Oleh karena itu, diperlukan proses revisi model
yang dikenal dengan isti lah “deterministic equivalents”. Proses pembentukan
model analog dengan program stokastik linier rekursif. Prosesnya sebagai berikut:
+
, = 0 jika
, 0 , yang lainnya
Kendala i dilanggar jika dan hanya jika , 0 untuk keputusan x yang
diberikan dan realisasi dari
. Akan tetapi untuk setiap kendala disediakan sebuah rekursif atau aktivitas tahap kedua yakni
sehingga setelah mengamati realisasi
, dipilih semacam pengganti kerugian akibat pelanggaran
Universitas Sumatera Utara
kendala jika ada yang memenuhi , − 0 . Usaha tersebut
mengakibatkan biaya tambahan atau penalty untuk setiap unit. Biaya tambahan ini disebut fungsi rekursif dihitung sebagai berikut:
� , = min
=1 +
, , = 1, 2, … , ,
yang menghasilkan total biaya pada tahap pertama dan biaya rekursif: , =
, + � ,
Dalam kasus terapan, pengambil keputusan yang akan meminimumkan total biaya harapan tahap pertama dan biaya rekursif cukup mempertimbangkan persamaan
ekuivalen deterministik program stokastik dua tahap berikut: Minimum
[ , ] = Minimum [{
, + � , }]
Masalah dua tahap di atas dapat diperluas menjadi model program stokastik multi tahap.
2.6.3. Model Program Stokastik Rekursif Multi Tahap
Model program stokastik tidak terbatas hanya pada formulasi dua tahap. Dalam kenyataan pengamatan sering dilakukan dalam banyak tahapan. Hal ini
memungkinkan pengamatan dilakukan untuk T tahap yang berbeda. Istilah tahap menginterpretasikan periode waktu. Program stokastik menggunakan pohon
skenario untuk menyatakan kejadian yang mungkin di masa akan datang. Program stokastik efektif digunakan untuk menyelesaikan model umum dengan
mempertimbangkan biaya transaksi.
Universitas Sumatera Utara
Pengamatan dilakukan terhadap masalah stokastik dengan T tahap yang berbeda terdapat di dalam sekumpulan informasi
{ � }
=1
dan � ⊂ � … ⊂ � .
Andaikan vektor random Ω = Ω
1
x Ω
2
x … xΩ
T
. Pengembangan model program stokastik rekursif multi tahap diformulasikan sebagai berikut:
Minimum + E min �
1 1
,
1
+ ⋯ E[min � , ]…
Kendala
1 1
+
1 1
1
=
1 1
,
−1
+ =
∈ ℝ
+
Keputusan optimal yang diambil pada tahap yaitu bergantung pada keputusan
pada tahap sebelumnya dan realisasi pengamatan dilakukan sampai tahap .
Fungsi biaya pada stage 1 adalah:
� ,
1, …,
−1
,
1
, … ,
= min {� | ,
1, …,
,
1
, … ,
0}
Jadi, total biaya untuk multi-tahap ,
1
, … ,
= +
� ,
1
, … ,
−1
,
1
, … ,
=1
menghasilkan persamaan deterministik ekuivalen yang menggambarkan keputusan dinamik untuk masalah program stokastik rekursif multi-tahap adalah:
Minimum +
[ �
,
1
, … ,
−1
,
1
, … ,
=1
].
Universitas Sumatera Utara
2.7. Fungsi Utilitis
