Alokasi Aset Single-Period dan Multi-Period 1. Alokasi Aset Single-Period

portfolio. Nilai return yang merupakan motivasi bagi investor untuk berinvestasi. Nilai return diperoleh dari perubahan harga aset di awal investasi terhadap harga aset di akhir periode investasi. Nilai return pada waktu t yaitu didefenisikan sebagai berikut: = ln ⁡ X t X t −1 dengan X t adalah harga aset pada waktu t. 2.4. Alokasi Aset Single-Period dan Multi-Period 2.4.1. Alokasi Aset Single-Period Keputusan untuk menentukan jumlah alokasi aset dalam sebuat portfolio sangat penting bagi setiap investor. Portfolio adalah gabungan dua atau lebih kelas aset yang dipilih dalam berinvestasi. Besar modal yang diinvestasikan dalam tiap sekuritas tentu akan menentukan besar keuntungan yang akan diperoleh sesuai dengan resiko yang ditanggungnya. Kebijakan untuk menentukan portfolio optimal dengan waktu satu periode single-period diselesaikan dengan menggunakan metode mean-varians yang ditemukan oleh Harry Markowitz. Harry Markowitz 1952 mengatakan return sebuah portfolio bersifat acak dan untuk mengevaluasinya perlu diperhatikan dua hal penting yakni return harapan dan resikonya. Dalam hal ini resiko direpresentasikan dengan menggunakan varians portfolio. Tingkat pengembalian return dari sebuah portfolio didefenisikan sebagai berikut: = , =1 dengan = jenis aset dalam portfolio dan , = return pada waktu t sedangkan = komposisi porsi aset i di dalam portfolio dan =1 = 1. Universitas Sumatera Utara Andaikan = 1 , 2 , … , adalah n kelas aset yang dipertimbangkan untuk sebuah portfolio dan andaikan = 1 , 2 , … , nilai acak return dari masing –masing kelas aset dengan rata – rata return = 1 , 2 , … , dan kovarians matriks = [ , ] dengan , = − − untuk i,j = 1, 2, ..., n. Model mean – varians Markowitz situlis sebagai berikut: Min Var = = 1 Varians dari return portfolio diminimalkan pada tingkat return harapan sebesar . 2.4.2. Alokasi Aset Multi-Period Investasi sering dilakukan untuk waktu jangka panjang. Waktu perencanaan investasi yang panjang dibagi dalam beberapa periode multi-period. Kebijakan dibuat pada setiap periode sampai keseluruhan periode dalam waktu perencanaan. Kebijakan yang diambil dalam satu periode akan dipengaruh oleh kebijakan yang sebelumnya. Pada sebuah masalah alokasi aset multi-period, investasi dikategorikan dalam aset = 1, 2, … , . Pengambil keputusan harus menentukan jumlah modal yang akan diinvestasikan pada setiap aset i, yaitu , untuk setiap periode = 1, 2, … , . Setiap periode t investor dapat membeli atau menjual aset i. Jumlah aset i yang dijual maupun yang dibeli pada saat t masing-masing dinotasikan dengan dan . Setiap investasi , memberikan return sebesar sehingga , berubah menjadi , dalam periode , + 1 . Pada waktu t nilai Universitas Sumatera Utara tidak diketahui dengan pasti. Akan tetapi distribusi peluang diketahui. Masalah ini dikenal dengan istilah “wait-and-see”. Keputusan yang akan diambil dipengaruhi oleh proses diskrit � =0 yang tidak diketahui dengan pasti pada waktu keputusan tersebut diambil. Pada waktu t pengambil keputusan mengetahui 0, 1 , … , dengan mendistribusikan peluangnya masing – masing , 1 , … , dan = 1 t t=0 . Variabel keputusannya bergantung pada proses stokastik { 0, 1 , … , } dan nilai ekspektasinya. Model stokastik multi-period dapat diselesaikan dengan strategi tradisional yang dikenal dengan strategi fixed – mix dan strategi buy and hold V. V. Kolbin, 1977. Pada strategi buy and hold tidak ada rebalancing portfolio sehingga keputusannya dititikberatkan pada keputusan awal yang dibuat. Persamaanya adalah: 1 + + −1 =1 = dengan adalah modal awal, − 1 adalah banyaknya jenis aset dalam pasar modal dan adalah biaya transaksi untuk investasi pada aset i. Nilai yang diinvestasikan pada waktu t tentunya akan memberikan return sehingga antara waktu t dan t+1 diperoleh: −1 , 1 , …, −1 , = , 1 , …, untuk = 1, … , − 1 dan t = 1, … , T − 1 Universitas Sumatera Utara Variabel acak , adalah vektor acak return dari aset jenis i antara periode waktu t dan t+1 dengan skenario . Maka di akhir periode akan diperoleh: −1 , 1 , …, −1 , 1 − + −1 , 1 , …, −1 = −1 =1 1 , …, dengan adalah biaya transaksi untuk menjual aset i dan 1 , …, adalah hasil akhir yang diperoleh dalam skenario sepanjang waktu T. Fungsi utilitas dinyatakan dengan slack variables 1 , …, untuk tujuan yang diinginkan G dan � 1 , …, untuk pengurangan tujuan sehingga: 1 , …, − � 1 , …, = 1 , …, − Maka fungsi objektif akhir Z adalah: = 1 , …, Ω 1 × …×Ω T [ 1,…, − � 1,…, ] [ Ω 1 ×…× Ω T ] ; adalah slope fungsi utilitas. Pada strategi fixed – mix ada tambahan kendala pada saat pengalokasian kembali modal pada waktu t. Jadi harus ada tambahan variabel untuk menyatakan jumlah aset yang dibeli yakni dan jumlah aset yang dijual yakni . Maka modal awal dapat ditulis sebagai berikut: 1 + + −1 =1 = dan bagian fix – mix yakni : = =1 ; = 1, … , Universitas Sumatera Utara Dalam satu tenggang waktu diperoleh: −1 , 1 , …, −1 , + , 1 , …, − , 1 , …, = , 1 , …, ; = 1, … , − 1 Maka di akhir periode akan diperoleh: , 1 , …, −1 , − , 1 , …, 1 + + , 1 , …, −1 =1 1 − −1 =1 = , 1 , …, dengan , 1 , …, adalah jumlah aset i yang dibeli dengan skenario 1 , … , dan , 1 , …, adalah jumlah aset i yang dijual dengan skenario 1 , … , . Selain itu, kendala fixed – mix: , 1,…, , 1,…, =1 = ; = 1, … , Persamaan akhirnya adalah: −1 , 1 , …, −1 , −1 =1 1 − + −1 , 1 , …, −1 , = 1 , …, ; 1 , …, − � 1 , …, = 1 , …, − ; dan = 1 , …, Ω 1 × …×Ω T [ 1,…, − � 1,…, ] [ Ω 1 ×…× Ω T ] 2.5. Model Dasar Program Stokastik Program stokastik merupakan kerangka yang umum dalam model optimasi dengan ketidakpastian. Dalam model optimasi deterministik parameter diasumsikan dengan pasti namun kenyataan yang sebenarnya di waktu yang akan datang tidak dapat ditentukan dengan pasti sehingga parameter bersifat acak. Universitas Sumatera Utara Ketidakpastian tersebut dinyatakan dalam sebuah distribusi peluang. Model program stokastik yang umum digunakan dalam bidang keuangan adalah model program stokastik rekursif. Model program stokastik rekursif merupakan kombinasi dari model antisipatif dan adaptif Yu, Ji dan Wang, 2003.

2.5.1. Model Antisipatif

Model antisipatif merupakan model statis yang keputusannya tidak bergantung pada pengamatan keadaan masa yang akan datang. Perencanaanya memperhitungkan semua kemungkinan yang akan terjadi di masa yang akan datang oleh karena tidak ada kesempatan untuk memperbaikinya nanti. Kelayakan model antisipatif dinyatakan dalam kendala probabilistik. Misalkan tingkat keandalan � dinyatakan dengan 0 � 1, dan kendala ditulis dalam bentuk: , = 0, = 1,2, … , �, Dalam hal ini x merupakan vektor variabel keputusan berdimensi m dan : ℝ × Ω → ℝ, = 1, 2, … , . Fungsi objektifnya dapat berupa keandalan dengan tipe seperti , � , dengan : ℝ × Ω → ℝ ∪ +∝ dan � adalah konstanta. Model antisipatif memilih kebijakan yang memenuhi karakteristik dari kendala dan fungsi tujuan.

2.5.2. Model Adaptif

Pada model adaptif, informasi yang berhubungan dengan ketidakpastian muncul secara parsial sebelum keputusan dibuat sehingga proses optimasi memerlukan pembelajaran. Misalkan � adalah kumpulan semua informasi relevan yang tersedia dalam pengamatan yang merupakan sub bagian dari kejadian yang mungkin. Variabel keputusan x bergantung pada kejadian yang dapat diamati dan x disebut dengan istilah � − teradaptasi � atau � − terukur �. Program stokastik adaptif diformulasikan sebagai berikut: Universitas Sumatera Utara Minimum [ , | �] Kendala [ , | �] = 0 = 1, 2, … , hampir pasti Pemetaan : Ω → sedemikian hingga menjadi � − . Masalah ini dapat dinyatakan dengan menyelesaikan persamaan deterministik berikut untuk semua : Minimum [ , . | �] Kendala [ , . | �] = 0 = 1, 2, … , Ada 2 kasus ekstrim yang terjadi yakni informasi lengkap dan tidak ada informasi. Kasus pertama menghasilkan model antisipatif sedangkan kasus kedua dikenal sebagai model distribusi. Akan tetapi yang menarik adalah jika hanya sebagian informasi yang tersedia.

2.6. Model Program Stokastik Rekursif