Alokasi Aset Single-Period dan Multi-Period 1. Alokasi Aset Single-Period
portfolio. Nilai return yang merupakan motivasi bagi investor untuk berinvestasi. Nilai return diperoleh dari perubahan harga aset di awal investasi terhadap harga
aset di akhir periode investasi. Nilai return pada waktu t yaitu didefenisikan
sebagai berikut: = ln
X
t
X
t −1
dengan X
t
adalah harga aset pada waktu t.
2.4. Alokasi Aset Single-Period dan Multi-Period 2.4.1. Alokasi Aset Single-Period
Keputusan untuk menentukan jumlah alokasi aset dalam sebuat portfolio sangat penting bagi setiap investor. Portfolio adalah gabungan dua atau lebih kelas aset
yang dipilih dalam berinvestasi. Besar modal yang diinvestasikan dalam tiap sekuritas tentu akan menentukan besar keuntungan yang akan diperoleh sesuai
dengan resiko yang ditanggungnya. Kebijakan untuk menentukan portfolio optimal dengan waktu satu periode single-period diselesaikan dengan
menggunakan metode mean-varians yang ditemukan oleh Harry Markowitz.
Harry Markowitz 1952 mengatakan return sebuah portfolio bersifat acak dan untuk mengevaluasinya perlu diperhatikan dua hal penting yakni return
harapan dan resikonya. Dalam hal ini resiko direpresentasikan dengan menggunakan varians portfolio. Tingkat pengembalian return dari sebuah
portfolio didefenisikan sebagai berikut: =
, =1
dengan = jenis aset dalam portfolio dan
,
= return pada waktu t sedangkan = komposisi porsi aset i di dalam portfolio dan
=1
= 1.
Universitas Sumatera Utara
Andaikan =
1
,
2
, … , adalah n kelas aset yang dipertimbangkan
untuk sebuah portfolio dan andaikan =
1
,
2
, … , nilai acak return dari
masing –masing kelas aset dengan rata – rata return =
1
,
2
, … , dan
kovarians matriks = [
,
] dengan
,
= − − untuk i,j = 1, 2,
..., n. Model mean – varians Markowitz situlis sebagai berikut:
Min Var =
= 1
Varians dari return portfolio diminimalkan pada tingkat return harapan sebesar .
2.4.2. Alokasi Aset Multi-Period
Investasi sering dilakukan untuk waktu jangka panjang. Waktu perencanaan investasi yang panjang dibagi dalam beberapa periode multi-period. Kebijakan
dibuat pada setiap periode sampai keseluruhan periode dalam waktu perencanaan. Kebijakan yang diambil dalam satu periode akan dipengaruh oleh kebijakan yang
sebelumnya. Pada sebuah masalah alokasi aset multi-period, investasi dikategorikan dalam aset
= 1, 2, … , . Pengambil keputusan harus menentukan
jumlah modal yang akan diinvestasikan pada setiap aset i, yaitu
,
untuk setiap periode = 1, 2, … , .
Setiap periode t investor dapat membeli atau menjual aset i. Jumlah aset i yang dijual maupun yang dibeli pada saat t masing-masing dinotasikan dengan
dan . Setiap investasi
,
memberikan return sebesar sehingga
,
berubah menjadi
,
dalam periode , + 1 . Pada waktu t nilai
Universitas Sumatera Utara
tidak diketahui dengan pasti. Akan tetapi distribusi peluang diketahui.
Masalah ini dikenal dengan istilah “wait-and-see”.
Keputusan yang akan diambil dipengaruhi oleh proses diskrit �
=0
yang tidak diketahui dengan pasti pada waktu keputusan tersebut diambil. Pada waktu t
pengambil keputusan mengetahui
0, 1
, … , dengan mendistribusikan
peluangnya masing
– masing ,
1
, … , dan
= 1
t t=0
. Variabel
keputusannya bergantung pada proses stokastik {
0, 1
, … , } dan nilai
ekspektasinya.
Model stokastik multi-period dapat diselesaikan dengan strategi tradisional yang dikenal dengan strategi fixed
– mix dan strategi buy and hold V. V. Kolbin, 1977. Pada strategi buy and hold tidak ada rebalancing portfolio sehingga
keputusannya dititikberatkan pada keputusan awal yang dibuat. Persamaanya adalah:
1 + +
−1 =1
=
dengan adalah modal awal,
− 1 adalah banyaknya jenis aset dalam pasar modal dan
adalah biaya transaksi untuk investasi pada aset i. Nilai yang
diinvestasikan pada waktu t tentunya akan memberikan return sehingga antara waktu t dan t+1 diperoleh:
−1 ,
1
, …,
−1
,
=
,
1
, …,
untuk = 1, … , − 1 dan t = 1, … , T − 1
Universitas Sumatera Utara
Variabel acak
,
adalah vektor acak return dari aset jenis i antara periode waktu t dan t+1 dengan skenario
. Maka di akhir periode akan diperoleh:
−1 ,
1
, …,
−1
,
1 − +
−1 ,
1
, …,
−1
=
−1 =1
1
, …,
dengan adalah biaya transaksi untuk menjual aset i dan
1
, …,
adalah hasil akhir yang diperoleh dalam skenario sepanjang waktu T. Fungsi utilitas
dinyatakan dengan slack variables
1
, …,
untuk tujuan yang diinginkan G dan �
1
, …,
untuk pengurangan tujuan sehingga:
1
, …,
− �
1
, …,
=
1
, …,
−
Maka fungsi objektif akhir Z adalah: =
1
, …,
Ω
1
× …×Ω
T
[
1,…,
− �
1,…,
] [
Ω
1
×…× Ω
T
]
; adalah slope fungsi utilitas.
Pada strategi fixed – mix ada tambahan kendala pada saat pengalokasian kembali
modal pada waktu t. Jadi harus ada tambahan variabel untuk menyatakan jumlah aset yang dibeli yakni
dan jumlah aset yang dijual yakni . Maka modal awal dapat ditulis sebagai berikut:
1 + +
−1 =1
=
dan bagian fix – mix yakni
:
=
=1
; = 1, … ,
Universitas Sumatera Utara
Dalam satu tenggang waktu diperoleh:
−1 ,
1
, …,
−1
,
+
,
1
, …,
−
,
1
, …,
=
,
1
, …,
; = 1, … , − 1
Maka di akhir periode akan diperoleh:
,
1
, …,
−1
,
−
,
1
, …,
1 + +
,
1
, …,
−1 =1
1 −
−1 =1
=
,
1
, …,
dengan
,
1
, …,
adalah jumlah aset i yang dibeli dengan skenario
1
, … , dan
,
1
, …,
adalah jumlah aset i yang dijual dengan skenario
1
, … , . Selain itu, kendala fixed – mix:
, 1,…, , 1,…,
=1
= ; = 1,
… ,
Persamaan akhirnya adalah:
−1 ,
1
, …,
−1
, −1
=1
1 − +
−1 ,
1
, …,
−1
,
=
1
, …,
;
1
, …,
− �
1
, …,
=
1
, …,
− ;
dan =
1
, …,
Ω
1
× …×Ω
T
[
1,…,
− �
1,…,
] [
Ω
1
×…× Ω
T
]
2.5. Model Dasar Program Stokastik
Program stokastik merupakan kerangka yang umum dalam model optimasi
dengan ketidakpastian. Dalam model optimasi deterministik parameter
diasumsikan dengan pasti namun kenyataan yang sebenarnya di waktu yang akan datang tidak dapat ditentukan dengan pasti sehingga parameter bersifat acak.
Universitas Sumatera Utara
Ketidakpastian tersebut dinyatakan dalam sebuah distribusi peluang. Model program stokastik yang umum digunakan dalam bidang keuangan adalah model
program stokastik rekursif. Model program stokastik rekursif merupakan kombinasi dari model antisipatif dan adaptif Yu, Ji dan Wang, 2003.