BAB II LANDASAN TEORI
2.1. Dasar – Dasar Peluang
Program stokastik adalah salah satu cabang matematika yang berhubungan dengan keputusan optimal dalam keadaan tidak pasti yang dinyatakan dengan distribusi
peluang. Ruang sampel yang dinotasikan dengan Ω adalah himpunan dari hasil
pengamatan yang mungkin terjadi.
Definisi 2.1.1.
. adalah fungsi peluang jika untuk setiap � ∈ � dihubungkan dengan sebuah bilangan
� sedemikian hingga � 0 � = 1.
Ruang sampel Ω dikatakan diskrit jika hanya mengandung terhingga banyaknya
titik – titik yang dapat disusun menurut barisan sederhana
1, 2,
3, …
. Peluang kejadian
� = ditulis sebagai
1
. Pada saat pengamatan dilakukan terhadap suatu nilai berarti kita sedang mengamati sebuah variabel acak. Di dalam
notasi variabel acak ditulis dengan huruf kapital, misalkan X.
Definisi 2.1.2. Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi bernilai riil yang
dihubungkan dengan daerah definisi � untuk setiap ∈ �; X =
{ : −∞ + ∞}
Universitas Sumatera Utara
Definisi 2.1.3. Jika X adalah peubah acak maka fungsi distribusinya didefinisikan
sebagai berikut: =
; ∈ −∞, +∞.
Definisi 2.1.4. Suatu peubah acak yang diskrit yang mendapat nilai
1
,
2
,
3
, … , mempunyai fungsi peluang
1
,
2
,
3
, … , dengan = = ; = 1,2, … , .
2.2.Distribusi Peluang
Dalam melakukan sebuah pengamatan akan dicari nilai harapan yang dikenal dengan istilah nilai ekspektasi dari peubah acak.
Definisi 2.2.1. Nilai ekspektasi dari sebuah peubah acak adalah:
= =
Penyebaran nilai dari pengamatan terhadap rata – ratanya disebut varians.
Definisi 2.2.2. Varians dari sebuah peubah acak didefinisikan adalah:
=
2
= −
2
Akar kuadrat nilai varians disebut sebagai deviasi standar.
Definisi 2.2.3. Deviasi standar dari sebuah peubah acak adalah:
x
=
Universitas Sumatera Utara
Pengamatan tidak terbatas hanya pada satu peubah acak. Misalkan dua peubah acak X dan Y memiliki rata
– rata =
x
dan =
y
maka kovarians dari peubah acak tersebut adalah:
� , =
− −
y
= −
x y
Kovarians merupakan ukuran tentang bagaiman dua variabel bergerak atau berubah bersama
– sama. Kovarians dapat bernilai positip bergerak searah, negatif bergerak berlawanan arah dan nol tidak ada hubungan antara kedua
peubah acak.
2.3.Proses Stokastik
Proses stokastik berhubungan dengan waktu dari fungsi acak. Proses stokastik menunjukkan barisan waktu suatu kejadian.
Definisi 2.3.1. Proses stokastik Xt terdiri dari sebuah pengamatan dengan
peluang P. yang didefinisikan pada ruang sampel Ω dan dihubungkan dengan
fungsi waktu , terhadap setiap ruang sampel hasil pengamatan.
Proses stokastik dapat dikategorikan menjadi dua bagian yaitu proses stokastik waktu diskrit dan proses stokastik kontinu. Proses stokastik waktu diskrit
Xt jika himpunan semua nilai yang mungkin dari Xt sepanjang waktu t adalah himpunan berhingga, sebaliknya Xt adalah proses stokastik waktu kontinu. Pada
tulisan ini proses stokastik untuk alokasi aset multi-period terjadi pada waktu diskrit.
Keputusan penting dalam melakukan investasi baik individu maupun institusi adalah untuk memilih kelas aset yang berbeda dan keuntungan investasi.
Dasar pertimbangannya adalah tingkat pengembalian return dan resiko dari
Universitas Sumatera Utara
portfolio. Nilai return yang merupakan motivasi bagi investor untuk berinvestasi. Nilai return diperoleh dari perubahan harga aset di awal investasi terhadap harga
aset di akhir periode investasi. Nilai return pada waktu t yaitu didefenisikan
sebagai berikut: = ln
X
t
X
t −1
dengan X
t
adalah harga aset pada waktu t.
2.4. Alokasi Aset Single-Period dan Multi-Period 2.4.1. Alokasi Aset Single-Period
Kategori