2.7. Fungsi Utilitis
Fungsi utilitis merupakan ukuran integrasi nilai terhadap kemungkinan. Menurut teori utilitis Bernouli 1738 dan Von Neumann dan Morgenstern 1944,
ketidakpastian dihubungkan dengan nilai rata-rata. Konsep ini umumnya diterima dalam bidang keuangan. Investor menilai kuantitas ketidakpastian berdasarkan
fungsi utilitis dan maksimum utilitis harapan. Fungsi utilitis Von Neumann dan Morgenstern dari seorang investor penghindar resiko adalah fungsi konkaf.
Maksimum utilitis harapan didefenisikan sebagai berikut: Max
[ ] untuk
dengan adalah fungsi utilitis konkaf. Fungsi utilitis dimaksimumkan pada
akhir periode dan kekayaan di akhir periode adalah =
. Misalkan =
−
−
fungsi utilitis dengan resiko dan diasumsikan aset berdistribusi normal multivariat
= , dengani sebagai vektor mean
dan matriks kovarians. Dengan menggunakan transformasi eksponensial maka
diperoleh −
−
= −
−
2 2
var
.
Fungsi utilitis Von Neumann dan Morgenstern merupakan
representasi perilaku investor terhadap resiko. Menurut Arrow 1971 dan Pratt 1964 koefisien resiko absolut dan relatif adalah:
ARA = −
′′ ′
dan RRA = −
′′ ′
Lemma 2.7.1 Untuk suatu waktu perencanaan t dari sebuah investasi I
berdistribusi normal dengan mean dan standard deviasi . Andaikan U adalah fungsi utilitas eksponensial negatif dengan koefisien resiko
0: =
−
−
. Andaikan adalah kekayaan investor di awal periode. Maka
kekayaan harapan di akhir periode adalah
= −e
− W 1+
−
1 2
W σ
2
.
Universitas Sumatera Utara
Bukti: Untuk investasi I berdistribusi normal dengan mean dan standar deviasi
selama waktu t dan kekayaan awal , nilai akhir
adalah variabel acak berdistribusi normal:
= + 1 +
dengan X~N[0,1]
=
∞ −∞
+ 1 + 1
2 e
−
2
2
= −e
− W +1+
∞ −∞
1 2
e
−
2
2
= −
− W 1+
1 2
e
−
2
2 − W
∞ −∞
= −
− W 1+
1 2
− 1
2 + W
2
+ 1
2
2
W
2 2
∞ −∞
= −
− W 1+ +
1 2
2
W
2 2
1 2
− 1
2 + W
2
∞ −∞
Substitusi =
+ W
= −
− W 1+ +
1 2
2
W
2 2
1 2
∞ −∞
− 1
2
2
= −
− W 1+
− 1
2 W
2
Dalam melakukan investasi perlu diperhatikan efisiensi aset pada portfolio.
Teorema 2.7.1 Andaikan
�
1
�
2
adalah dua investasi dengan return berdistribusi normal sepanjang waktu t dengan mean return
1 2
dan standard deviasi dari return adalah
1 2
dengan kekayaan awal W
untuk kedua kelas investasi. Maka
�
1
�
2
jika dan hanya jika:
1 2
1 2
Universitas Sumatera Utara
Bukti: Untuk investasi I berdistribusi normal dengan mean dan standar deviasi
selama waktu t dan kekayaan awal , nilai akhir
adalah variabel acak berdistribusi normal:
= + 1 +
dengan X~N[0,1] Untuk fungsi utilitis yang didefenisikan sebagai berikut:
, = = + 1 +
∞ −∞
1 2
− 1
2
2
Pembuktiannya dilakukan dengan menunjukkan bahwa 0 dan
0 untuk 0.
=
′ ∞
−∞
+ 1 + 1
2
− 1
2
2
0 karena
′
=
′ ∞
−∞
+ 1 + 1
2
− 1
2
2
=
′ −∞
+ 1 + 1
2
− 1
2
2
+
′ ∞
+ 1 + 1
2
− 1
2
2
=
′ ∞
− + 1 + −
1 2
− 1
2 −
2
+
′ ∞
+ 1 + 1
2
− 1
2
2
= [
′
+ 1 + −
′
− + 1 + ]
∞
1 2
− 1
2
2
Universitas Sumatera Utara
′′
0, sehingga
′
adalah fungsi menurun maka jika diperoleh
′
−
′
0. Akibatnya untuk setiap 0 dan 0 maka nilai dalam kurung menjadi negatif dan jika integralnya bernilai negatif maka kita telah memperoleh
hasilnya.
Tabel 2.7.1: Fungsi Utilitis yang umumnya digunakan HARA
Jenis Fungsi
ARA RRA
Eksponensial =
−
−
Kuadrat =
1 −�
− 1 1
− � ,
� 1 �
� Logaritma
= log� + 1
� + �
� +
Universitas Sumatera Utara
BAB III PEMBAHASAN
Kategori