Distribusi Peluang Total Waktu Bekerja Sistem Terdiri dari Komponen Sistem yang Terdiri dari Komponen dengan Waktu Bekerja dan Waktu

3.2 Total Waktu Bekerja Sistem Komponen

3.2.1 Distribusi Peluang Total Waktu Bekerja Sistem Terdiri dari Komponen

yang Suatu sistem terdiri dari komponen yang saling maka komponen- komponennya terdiri dari dua , yaitu 0 jika komponen dalam perbaikan dan 1 jika komponen dalam keadaan bekerja. Setiap komponen mulai bekerja pada waktu . Komponen ke- , bekerja selama satuan waktu. Apabila komponen tersebut mengalami kerusakan maka segera diperbaiki selama satuan waktu sehingga komponen dapat bekerja kembali seperti yang baru. Namun setelah bekerja selama satuan waktu komponen tersebut rusak kembali dan diperbaiki selama satuan waktu. Proses ini berlangsung terus menerus membentuk barisan dan setiap kali selesai diperbaiki komponen-komponen tersebut dianggap seperti baru lagi. Jika menyatakan dari komponen ke- bekerja atau rusak pada waktu t, maka total waktu bekerja sistem pada interval waktu [0, t ] adalah: dengan adalah fungsi indikator dan merupakan vektor yang memiliki elemen satu sebanyak .

3.2.2 Sistem yang Terdiri dari Komponen dengan Waktu Bekerja dan Waktu

Perbaikan Berdistribusi Eksponensial Peubah acak dan menyatakan urutan dari waktu bekerja dan waktu perbaikan dari komponen-komponen. Diasumsikan bahwa barisan dan saling independent. Diasumsikan juga untuk setiap , peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter dan peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter . Maka proses Universitas Sumatera Utara merupakan rantai Markov kontinu dengan 0 dan 1. Generator-generator untuk rantai Maarkov ini adalah: Untuk maka merupakan rantai Markov dengan waktu kontinu di yaitu himpunan dari vektor baris dengan panjang n yang mempunyai elemen-elemen 0 dan atau 1. Misalkan adalah dari rantai Markov , maka dengan Generator dari rantai Markov adalah Dengan menganggap Jika dan mempunyai dua atau lebih elemen berbeda, maka Jika dan hanya mempunyai satu elemen yang berbeda, maka ada indeks sedemikian hingga dan Misalkan maka Universitas Sumatera Utara Lemma. dengan merupakan distribusi stasioner dari rantai Markov . Sebagai akibat dari lemma diperoleh proposisi berikut Suyono, 2002 Proposisi. Misalkan adalah total waktu bekerja dari suatu sistem dengan komponen yang secara stokastik. Misalkan bahwa komponen ke- mempunyai total waktu bekerja dan total waktu perbaikan yang saling dan masing-masing berdistribusi eksponensial dengan parameter . Maka a dengan menyatakan nilai harapan dan distribusi stasioner dari rantai Markov. b Dengan peluang 1, diperoleh

3.3 Sistem dengan Dua Komponen