Distribusi Total Waktu Bekerja Suatu Sistem Dalam Pengoptimalan Produksi

DISTRIBUSI PELUANG TOTAL WAKTU BEKERJA SUATU

SISTEM DALAM PENGOPTIMALAN PRODUKSI

SKRIPSI

MARLINA JUNITA SITORUS

060803010

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2011

DISTRIBUSI PELUANG TOTAL WAKTU BEKERJA SUATU SISTEM DALAM PENGOPTIMALAN PRODUKSI

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

MARLINA JUNITA SITORUS 060803010

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2011

ii

PERSETUJUAN

Judul : DISTRIBUSI PELUANG TOTAL WAKTU

BEKERJA SUATU SISTEM DALAM

PENGOPTIMALAN PRODUKSI

Kategori : SKRIPSI

Nama : MARLINA JUNITA SITORUS

Nomor Induk Mahasiswa : 060803010

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, Januari 2011

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si Dr. Sutarman, M.Sc

NIP 19500321 198003 1 001 NIP 19631026 199103 1 001

Diketahui/ Disetujui oleh:

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP 19640109 198803 1 004

iii

PERNYATAAN

DISTRIBUSI TOTAL WAKTU BEKERJA SUATU SISTEM DALAM PENGOPTIMALAN PRODUKSI

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Januari 2011

MARLINA JUNITA SITORUS 060803010

iv

PENGHARGAAN

Pujian dan ucapan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas kasih karunia dan pertolonganNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini.

Ucapan terima kasih penulis ucapkan kepada Dr. Sutarman, M.Sc dan Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku Dosen pembimbing penulis dalam penyelesaian skripsi ini, atas setiap bimbingan dan motivasi yang telah diberikan. Penulis juga mengucapkakan terima kasih kepada Drs. H. Haludin Panjaitan dan Drs. Pasukat Sembiring, M.Si selaku Dosen penguji, atas setiap saran dan masukannya selama pengerjaan skripsi ini. Ucapan terima kasih juga penulis tujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Matemetika Dr. Saib Suwilo, M.Sc dan Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matemetika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, Bapak dan Ibu dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU beserta semua Staf Administrasi di FMIPA USU. Tidak terlupakan kepada kedua orang tua penulis, G. Sitorus dan L. br. Sihotang. Penulis mengucapkan terima kasih atas doa, motivasi, kasih sayang, serta semua dukungan moril dan materil yang membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Juga kepada kakak dan adik penulis (k’Marda dan Edis) terima kasih atas dukungan dan doa kalian. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada teman-teman Math’06 atas kebersamaan kita selama ini, atas doa dan saling mendukung di antara kita. Semangat dan doa dari teman-teman sangat membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada Kelompok Reminiscere dan adik-adik PA (Enjel, Yanti, Nella, Ribka, Raisa dan Yunita) untuk doa dan dukungannya yang membantu penyelesaian skripsi ini. Kiranya kasih karunia Tuhan Yang Maha Esa menyertai kita semua.

v

ABSTRAK

Penentuan perlakuan terhadap sistem merupakan salah satu bagian penting dalam menghasilkan produksi yang optimal. Karena dihadapkan pada situasi yang kompleks dan tidak pasti, sehingga pengambil keputusan kesulitan dalam mengambil keputusan. Penentuan distribusi peluang total waktu bekerja sistem merupakan salah satu cara yang efektif untuk menjawab persoalan ini. Dengan mengetahui distribusi peluang sistem, pengambil keputusan mengetahui lama bekerja sistem dalam interval waktu [0,t] sehingga pengambil keputusan dapat menentukan perlakuan yang terbaik terhadap sistem tersebut. Jika total waktu perbaikan lebih besar daripada total waktu bekerja, maka sebaiknya sistem diganti.

vi

ABSTRACT

Determination of the treatment for the system is one important part in generating the optimal production. Because faced with complex situations and uncertain, so the difficulty decision makers in making decisions. Determination of the probability distributions of total working time system is one effective way to answer this problem. By knowing the probability distribution system, decision makers know the old working system in time interval [0, t] so that decision makers can determine the best treatment against the system. If the total repair time is greater than the total time worked, then the system should be replaced.

vii

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Bab 1 Pendahuluan

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Identifikasi Masalah 3

1.3 Batasan Masalah 3

1.4 Tinjauan Pustaka 3

1.5 Tujuan Penelitian 5

1.6 Manfaat Penelitian 5

1.7 Metode Penelitian 5

Bab 2 Landasan Teori

2.1 Peluang 6

2.1.1 Definisi Peluang 6

2.1.2 Peluang Beberapa Kejadian 8

2.2 Peubah Acak 9

2.2.1 Peubah Acak Diskrit 9

2.2.1.1 Definisi Peubah Acak Diskrit 9

2.2.1.2 Distribusi Peluang Peubah Acak Diskrit 10 2.2.1.3 Distribusi Kumulatif Peubah Acak Diskrit 10 2.2.1.4 Distribusi Gabungan Peubah Acak Diskrit 10

2.2.2 Peubah Acak Kontinu 11

2.2.2.1 Definisi Peubah Acak Kontinu 11

2.2.2.2 Distribusi Peluang Peubah Acak Kontinu 11 2.2.2.3 Distribusi Kumulatif Peubah Acak Kontinu 12 2.2.2.4 Distribusi Gabungan Peubah Acak Kontinu 12

2.3 Matriks 12

2.3.1 Definisi Matriks 12

2.3.2 Teorema Matriks 13

2.4 Rantai Markov 14

2.4.1 Definisi Rantai Markov 15

2.4.2 Sifat Markov 15

2.4.3 Keadaan Awal Rantai Markov 15

2.4.4 Keadaan Transisi dan Probabilitas Rantai Markov 16

2.5 Rantai Markov Kontinu 17

viii

Halaman Bab 3 Pembahasan

3.1Total Waktu Bekerja Sistem yang Dipandang sebagai

Sebuah Komponen 20

3.1.1 Waktu Bekerja dan Perbaikan Sistem Berdistribusi

Eksponensial 22

3.1.2 Availabilitas Sistem 23

3.1.3 Distribusi Peluang Total Waktu Bekerja Sistem

Sebuah Komponen 24

3.2Total Waktu Bekerja Sistem n Komponen 29

3.2.1 Distribusi Peluang Total Waktu Bekerja Sistem Terdiri dari n

Komponen yang Independent 29

3.2.2 Sistem yang Terdiri dari n Komponen dengan Waktu

Bekerja dan Waktu Perbaikan Berdistribusi Eksponensial 29

3.3 Sistem dengan Dua Komponen 31

3.3.1 Peluang Transisi 32

3.3.2 Distribusi Peluang Total Waktu Bekerja Sistem dengan dua

Komponen 33

3.4 Pembahasan Numerik 34

Bab 4 Kesimpulan dan Saran

4.1 Kesimpulan 36

4.2 Saran 37

v

ABSTRAK

Penentuan perlakuan terhadap sistem merupakan salah satu bagian penting dalam menghasilkan produksi yang optimal. Karena dihadapkan pada situasi yang kompleks dan tidak pasti, sehingga pengambil keputusan kesulitan dalam mengambil keputusan. Penentuan distribusi peluang total waktu bekerja sistem merupakan salah satu cara yang efektif untuk menjawab persoalan ini. Dengan mengetahui distribusi peluang sistem, pengambil keputusan mengetahui lama bekerja sistem dalam interval waktu [0,t] sehingga pengambil keputusan dapat menentukan perlakuan yang terbaik terhadap sistem tersebut. Jika total waktu perbaikan lebih besar daripada total waktu bekerja, maka sebaiknya sistem diganti.

vi

ABSTRACT

Determination of the treatment for the system is one important part in generating the optimal production. Because faced with complex situations and uncertain, so the difficulty decision makers in making decisions. Determination of the probability distributions of total working time system is one effective way to answer this problem. By knowing the probability distribution system, decision makers know the old working system in time interval [0, t] so that decision makers can determine the best treatment against the system. If the total repair time is greater than the total time worked, then the system should be replaced.

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Bidang statistika berhubungan dengan cara atau metode pengumpulan data, pengolahan, penyajian, dan analisisnya serta pengambilan kesimpulan berdasarkan data dan analisis yang telah dilakukan. Salah satu cara pengumpulan data ialah melakukan percobaan. Seluruh hasil yang mungkin dari suatu percobaan dinamakan ruang sampel. Hasil-hasil yang diperoleh dari percobaan tersebut dapat dimodelkan dalam suatu persamaan matematika. Tujuan pemodelan matematika adalah untuk menggambarkan peluang dari suatu peristiwa yang akan terjadi. Model matematika berfungsi sebagai peubah acak yang menghubungkan setiap unsur dalam ruang sampel dengan bilangan riel. Misalnya memodelkan suatu sistem yang tidak selamanya beroperasi, ada saatnya sistem tersebut mengalami kerusakan sehingga memerlukan waktu untuk diperbaiki.

Mesin produksi pada perusahaan yang sudah beroperasi beberapa tahun lamanya, suatu saat pasti mengalami kerusakan. Sebagai contoh, mesin X mampu beroperasi selama 8 jam sehari. Namun, setelah beroperasi selama 10 tahun salah satu komponennya mengalami kerusakan sehingga mesin tidak dapat beroperasi. Memerlukan waktu 3 hari untuk memperbaikinya, setelah itu mesin dapat bekerja kembali. Tetapi lama mesin tersebut beroperasi menjadi 7 jam saja dalam satu hari. Setelah beberapa waktu mesin tersebut mengalami kerusakan dan tidak bisa beroperasi kembali. Untuk menentukan tindakan terhadap mesin tersebut di perlukan banyak pertimbangan, seperti waktu untuk memperbaiki, pengaruh terhadap waktu beroperasi setelah diperbaiki, dan hasil produksi. Jadi, dalam situasi yang kurang baik, perlu mengambil keputusan terbaik untuk memperoleh hasil terbaik.

2

Keefektifan suatu sistem sangat mempengaruhi kinerja sistem tersebut dalam menghasilkan produksi yang optimal. Ada beberapa ukuran keefektifan dari suatu sistem, diantaranya total waktu bekerja, total waktu perbaikan, availabilitas. Total waktu bekerja menyatakan total waktu sistem beroperasi dalam suatu interval waktu tertentu. Apabila proporsi total waktu bekerja dalam suatu interval waktu adalah besar maka sistem dikatakan efektif atau baik. Total waktu bekerja memiliki sifat acak. Total waktu perbaikan menyatakan total waktu sistem diperbaiki atau berhenti bekerja dalam suatu interval waktu tertentu. Apabila proporsi total waktu perbaikan dalam suatu interval waktu adalah kecil maka sistem dikatakan efektif atau baik. Total waktu perbaikan juga memiliki sifat acak. Availabilitas adalah peluang sistem bekerja pada suatu waktu tertentu. Semakin besar availabilitas suatu sistem maka sistem tersebut semakin baik.

Pengambil keputusan sering kali dihadapkan pada pilihan yang kompleks dan tidak pasti. Kompleks yang dimaksud adalah situasi yang tidak didukung dengan adanya konsep tunggal yang mampu menjawab permasalahan. Ketidakpastian yang dimaksud berupa ketidakpastian akan seberapa besar tingkat kesuksesan dan besar perolehan (outcome) dari suatu konsep. Sehingga, dengan cara menentukan distribusi peluang suatu sistem bekerja dapat menjadi salah satu cara yang efektif untuk menghadapi kompleksitas dan ketidakpastian ini karena mampu memberikan nilai peluang kesuksesan yang akurat dan dapat dipertanggungjawabkan. Salah satu teknik peluang yang digunakan adalah Rantai Markov Kontinu. Sebab sistem bekerja bersifat kontinu dan total waktu bekerja sistem tersebut ada pada interval waktu [0,t].

Dengan mengetahui distribusi peluang dalam menentukan keputusan terbaik, diharapkan keputusan tersebut dapat dipertanggungjawabkan. Sebab, sulit dilakukan bila pengambilan keputusan didasari pada intuisi dan subyektivitas pengambil keputusan, mengingat keterbatasan kapabilitas kognitif manusia dalam menganalisa berbagai keunggulan dan kekurangan dari sekumpulan konsep.

3

1.2 Identifikasi Masalah

Permasalahan dalam tulisan ini adalah bagaimana mengambil keputusan untuk mengganti atau memperbaiki sistem yang rusak agar produk yang dihasilkan optimal dengan menentukan peluang total waktu bekerja sistem.

1.3 Batasan Masalah

Tulisan ini dibatasi pada tahap penentuan distribusi peluang suatu sistem yang bekerja agar dapat menentukan keputusan terhadap sistem tersebut sehingga hasil produksi optimal. Sistem yang bekerja tersebut tidak dipengaruhi oleh sistem lainnya (bersifat independent).

1.4 Tinjauan Pustaka

Rantai Markov kontinu adalah salah satu teknik yang menganalisis pergerakan peluang dari satu kondisi ke kondisi lainnya pada interval waktu tertentu. Rantai Markov dikenalkan oleh Andrey A. Markov, ahli matematika dari Rusia yang lahir tahun 1856. Andrey A. Markov memperkenalkan proses Markov pada tahun 1906 yang berupa teori dasarnya saja. Setelah tahun 1936, seorang ahli Matematika berkebangsaan Rusia lainnya bernama Kolmogorov membuat generalisasi pada ruang state yang terhitung dan terbatas. Analisa rantai markov kontinu tidak memberikan keputusan rekomendasi, melainkan hanya informasi peluang dimasa mendatang mengenai situasi keputusan yang dapat membantu pengambil keputusan mengambil keputusan.

Peubah acak X = { X (t) ; t ≥ 0} adalah suatu himpunan dengan nilai-nilai di suatu ruang state S yang terbilang (countable) dan t [0,∞]. Kemudian diasumsikan bahwa S , dengan adalah himpunan bilangan bulat. Proses X disebut rantai Markov kontinu jika kondisi berikut ini terpenuhi (Suprayogi, 2008):

4

Dengan : t+ 1 = waktu yang akan datang t = waktu sekarang

t-1 = waktu lalu

Menurut J.Supranto (1998), matriks adalah suatu kumpulan angka atau elemen yang disusun berdasarkan baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi dibatasi oleh tanda kurung siku ataupun kurung biasa. Pada rantai Markov, matriks M berukuran p x q adalah matriks Stokastik yang elemen-elemennya menunjukkan kemungkinan perubahan antar komponen pada komposisi X, sehinggan jumlah elemen setiap kolomnya sama dengan 1. Dapat dituliskan :

Sebuah komponen pada setiap waktu dapat dikategorikan dalam keadaan bekerja (up) atau sedang diperbaiki (down). Diasumsikan komponen mulai bekerja pada waktu t = 0. Setelah bekerja selama X1 satuan waktu, komponen tersebut gagal

atau rusak dan segera diperbaiki selama Y1 satuan waktu sehingga komponen tersebut

dapat bekerja kembali seperti komponen yang baru. Setelah bekerja lagi selama waktu X2 komponen gagal lagi dan diperbaiki kembali selama waktu Y2. Proses ini

berlangsung terus menerus dan setiap kali selesai dilakukan perbaikan komponen dianggap seperti baru lagi. Barisan (Xi; Yi; i 1) akan dianggap sebagai barisan vektor acak positif dan berdistribusi independent dan identik (Taryo, 2007).

Untuk menunjukkan apakah komponen bekerja atau tidak, didefinisikan variabel indikator Z, sebagai berikut:

Jika Z (t) menyatakan komponen bekerja atau gagal pada waktu t, maka total waktu bekerja sistem pada interval waktu [0; t] diberikan:

Total waktu perbaikan didefinisikan sebagai berikut:

5

1.5 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah dapat menentukan keputusan terhadap sistem yang digunakan agar produk yang dihasilkan optimal dengan mengetahui distribusi peluang sistem.

1.6 Manfaat Penelitian

Rantai Markov banyak digunakan dalam pengambilan keputusan. Informasi yang dihasilkan akan menggambarkan tentang keadaan yang akan datang. Dengan mengetahui distribusi peluang sistem bekerja diharapkan dapat membantu pengambil keputusan khususnya dalam penentuan perlakuan terhadap sistem yang digunakan saat kondisi yang dihadapi berupa kompleksitas dan ketidakpastian.

1.7 Metodologi Penelitian

Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah:

I. Melakukan study yang berhubungan dengan distribusi peluang waktu bekerja suatu sistem, yakni rantai markov waktu kontinu dan pengembangan distribusi peluang dari internet berupa jurnal, artikel, dan dari buku.

II. Mengerjakan contoh permasalahan dalam pengambilan keputusan perlakuan terhadap suatu sistem dengan menentukan distribusi peluang sistem.

III. Penarikan kesimpulan,yakni perlakuan mana yang terbaik untuk dilaksanakan.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Peluang

Peluang mempunyai banyak persamaan arti, seperti kemungkinan, kesempatan dan kecenderungan. Peluang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang bersifat acak. Suatu kejadian disebut acak jika terjadinya kejadian tersebut tidak diketahui sebelumnya. Oleh karena itu, peluang dapat digunakan sebagai alat ukur terjadinya kejadian di masa yang akan datang.

Nilai peluang yang paling kecil adalah 0 yang berarti bahwa kejadian tersebut pasti tidak akan terjadi. Sedangkan nilai peluang yang terbesar adalah 1 yang berarti bahwa kejadian tersebut pasti akan terjadi. Secara lengkap, nilai peluang suatu kejadian A adalah :

2.1.1 Definisi Peluang

Definisi mengenai peluang dapat dilihat dari tiga jenis pendekatan. Yaitu pendekatan klasik, pendekatan frekuensi relatif dan pendekatan subjektif (Aswin, hal: 1-3).

I. Pendekatan Klasik

Menurut pendekatan klasik, peluang didefinisikan sebagai hasil bagi banyaknya kejadian yang dimaksud dengan seluruh kejadian yang mungkin.

7

Dirumuskan:

dengan:

Peluang terjadinya kejadian A

= Jumlah kejadian A

= Jumlah kejadian yang mungkin.

II. Pendekatan Frekuensi Relatif

Menurut pendekatan frekuensi relatif, peluang dapat didefinisikan sebagai berikut: 1. Proporsi waktu terjadinya suatu kejadian dalam jangka panjang, jika kondisi stabil. 2. Frekuensi relatif dari seluruh kejadian dalam sejumlah besar percobaan.

Peluang berdasarkan pendekatan ini sering disebut sebagai peluang Empiris. Nilai peluang ditentukan melalui percobaan, sehingga nilai peluang itu merupakan limit dari frekuensi relatif kejadian tersebut.

III. Pendekatan Subjektif

Menurut pendekatan subjektif, peluang didefinisikan sebagai tingkat kepercayaan individu atau kelompok yang didasarkan pada fakta- fakta atau kejadian masa lalu atau berupa terkaan saja. Misalnya, seorang direktur akan memilih seorang karyawan dari 3 orang calon yang telah lulus ujian saringan. Ketiga calon tersebut sama pintar, sama lincah dan semuanya penuh kepercayaan. Peluang tertinggi ( kemungkinan diterima ) menjadi karyawan ditentukan secara subjektif oleh sang direktur.

8

2.1.2 Peluang Beberapa Kejadian

I. Kejadian Saling Bebas ( Independent )

Dua kejadian atau lebih dikatakan saling bebas apabila terjadinya kejadian yang satu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya kejadian yang lain.

Untuk dua kejadian A dan kejadian B yang saling bebas, peluang terjadinya kejadian tersebut adalah :

Sedangkan untuk tiga kejadian A, B dan C yang saling bebas peluang terjadinya kejadian tersebut adalah :

II. Kejadian Tidak Saling Bebas (Dependent)

Dua kejadian atau lebih dikatakan kejadian tidak saling bebas apabila terjadinya kejadian yang satu mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya kejadian yang lain. Untuk dua kejadian A dan B yang tidak saling bebas, peluang terjadinya kejadian tersebut adalah :

Sedangkan untuk tiga kejadian A, B dan C yang saling bebas, peluang terjadinya kejadian tersebut adalah :

(2.6)

2.2 Peubah Acak

Statistikawan pada umumnya berhubungan dengan penyajian atau penafsiran yang bersifat kemungkinan (hasil belum dapat ditentukan sebelumnya) yang muncul dalam penelitian sebelumnya. Oleh karenanya, perlu dilakukan pengamatan atau percobaan agar diketahui hasilnya. Hasil dari setiap percobaan yang dilakukan bernilai numerik atau riel. Kumpulan atau himpunan dari setiap hasil percobaan tersebut disebut ruang

9

sampel S, dan hasil setiap percobaan yang merupakan anggota atau unsur dalam ruang sampel S disebut titik sampel . Untuk menghubungkan setiap anggota dalam ruang sampel S dengan nilai riel digunakan peubah acak .

Jadi, peubah acak X adalah suatu fungsi yang mengaitkan / menghubungkan setiap anggota dalam ruang sampel S dengan suatu bilangan riel, yakni dengan

dan x adalah bilangan riel.

Hsil dari suatu percobaan yang bernilai numerik dapat bersifat diskrit atau kontinu. Berdasarkan sifat ini, peubah acak dapat dikelompokkan menjadi peubah acak diskrit dan peubah acak kontinu (Supranto, 2001).

2.2.1 Peubah Acak Diskrit

2.2.1.1 Definisi Peubah Acak Diskrit

Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga atau banyaknya dapat dinyatakan dengan bilangan bulat, maka ruang sampel ini dikatakan diskrit. Peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel tersebut adalah peubah acak diskrit. Umumya, peubah acak diskrit diperoleh dari hasil perhitungan (menghitung), seperti percobaan pelemparan mata dadu dan koin.

2.2.1.2 Distribusi Peluang Peubah Acak Diskrit

Setiap nilai peubah acak memiliki peluang. Jadi, distribusi peluang peubah acak diskrit X yang dinotasikan dengan berfungsi untuk menyatakan peluang setiap peubah acak X.

Fungsi dikatakan fungsi peluang atau distribusi peluang peubah acak diskrit , bila memenuhi persamaan:

10

2.2.1.3 Distribusi Kumulatif Peubah Acak Diskrit

Distribusi peluang kumulatif merupakan fungsi peluang yang digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh nilai distribusi peluang yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang telah ditetapkan.

Secara matematis, distribusi kumulatif peubah acak diskrit dinyatakan sebagai berikut:

dengan:

menyatakan fungsi peluang kumulatif pada titik yang merupakan jumlah dari seluruh nilai fungsi peluang untuk nilai X sama atau lebih kecil dari .

2.2.1.4 Distribusi Gabungan Peubah Acak Diskrit

Bila X dan Y adalah dua peubah acak diskrit, maka distribusi peluang terjadinya secara serentak atau bersamaan dinyatakan dengan fungsi f(x.y) dan disebut sebagai distribusi peluang gabungan X dan Y.

Fungsi dikatakan fungsi peluang atau distribusi peluang gabungan peubah acak diskrit , bila memenuhi:

untuk semua

2.2.2 Peubah Acak Kontinu

2.2.2.1 Definisi Peubah Acak Kontinu

Jika ruang sampel mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya (uncountable), maka ruang sampel ini disebut ruang sampel kontinu. Peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel tersebut adalah peubah acak kontinu.

11

Umumya, peubah acak kontinu diperoleh dari hasil pengukuran (mengukur), seperti mengukur tinggi badan, suhu dan jarak.

2.2.2.2 Distribusi Peluang Peubah Acak Kontinu

Distribusi peluang peubah acak kontinu X dinotasikan dengan dan sering disebut sebagai fungsi kepadatan (dencity function).

Fungsi dikatakan fungsi peluang atau distribusi peluang peubah acak kontinu , bila memenuhi persamaan:

untuk semua

∞

∞

2.2.2.3 Distribusi Kumulatif Peubah Acak Kontinu

Distibusi peluang kumulatif peubah acak kontinu X dihitung dengan mengintegralkan nilai distribusi peluangnya.

Secara matematis, distribusi kumulatif peubah acak kontinu atau fungsi padat f(x) dinyatakan sebagai berikut:

∞

2.2.2.4 Distribusi Gabungan Peubah Acak Diskrit

Bila X dan Y adalah dua peubah acak kontinu, maka distribusi peluang terjadinya secara bersama-sama dinyatakan dengan fungsi f(x.y) dan disebut sebagai distribusi peluang gabungan X dan Y.

12

Fungsi dikatakan fungsi peluang atau distribusi peluang gabungan peubah acak kontinu , bila memenuhi:

untuk semua

∞ ∞

∞

∞

2.3 Matriks

2.3.1 Definisi Matriks

Matriks ialah suatu kumpulan angka-angka atau sering disebut elemen-elemen yang disusun berdasarkan baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi panjang yang dibatasi dengan tanda kurung siku ataupun kurung biasa (Yakub: hal 6).

Suatu matriks M yang berukuran :

Dapat disingkat dengan :

Setiap disebut elemen (unsur) dari matriks sedang indeks i dan j berturut – turut menyatakan baris dan kolom. Jadi elemen menyatakan elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j.

2.3.2 Teorema Matriks

Berikut beberapa teorema dari matriks :

I. Jika dan , berukuran sama maka

13

II. Jika merupakan matriks berukuran dan k adalah skalar, maka

III. Jika matriks berukuran dan matriks berukuran maka perkalian matriks berlaku apabila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B.

IV. Jika dan keduanya merupakan matriks berukuran maka :

jika untuk semua i dan j

jika untuk semua i dan j

jika untuk semua i dan j

jika untuk semua i dan j

jika untuk semua i dan j.

V. Matriks bujur sangkar adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.

dengan

VI. Matriks identitas adalah matriks bujur sangkar dengan elemen di sepanjang diagonal utama ( diagonal kiri atas menuju kanan bawah ) bernilai 1, sedangkan elemen yang lainnya bernilai nol.

Untuk n = 3, matriks identitasnya adalah :

VII. Matriks transpos adalah matriks berukuran yang diperoleh dari suatu matriks berukuran yang baris dan kolomnya dipertukarkan (baris pertama dengan kolom pertama dan seterusnya).

Jika matris adalah :

14

Maka transpose dari matiks dinotasikan dengan adalah:

2.4 Rantai Markov

Proses stokastik merupakan suatu cara untuk mempelajari hubungan yang dinamis dari suatu runtunan kejadian atau proses yang kejadiannya bersifat tidak pasti. Dalam memodelkan perubahan dari suatu sistem yang mengandung ketidakpastian seperti pergerakan harga saham, banyaknya klaim yang datang ke suatu perusahaan asuransi, keadaan cuaca, dan lain sebagainya, proses stokastik banyak digunakan di dalam kehidupan sehari-hari. Rantai Markov sebenarnya merupakan bentuk khusus dari model probabilitas yang lebih umum dan dikenal sebagai proses stokastik.

2.4.1 Definisi Rantai Markov

Rantai Markov merupakan proses stokastik dari peubah acak yang membentuk suatu deret yang memenuhi sifat Markov.

2.4.2 Sifat Markov

Dalam sifat Markov, jika diberikan peristiwa yang telah

berlalu dan peristiwa yang sedang berlangsung , maka peristiwa yang akan datang bersifat bebas (independent) dari peristiwa yang telah berlalu. Dengan kata lain, peristiwa yang akan datang hanya bergantung pada peristiwa yang sedang berlangsung .

Untuk suatu pengamatan yang prosesnya sampai waktu ke , maka distribusi nilai proses dari waktu ke hanya bergantung pada nilai dari proses pada waktu . Secara umum dapat dituliskan:

15

2.4.3 Keadan Awal Rantai Markov

Keadaan pada rantai Markov ditulis dalam bentuk vektor yang dinamakan vektor keadaan. Vektor keadaan untuk suatu pengamatan rantai Markov dengan n peristiwa adalah vektor kolom X dengan n baris yang komponennya adalah peluang sistem berada pada keadaan ke- n . Untuk keadaan awal, vektor pada rantai Markov adalah keadaan ataupun peluang yang terjadi pada waktu yang sedang berlangsung dan dinotasikan dengan yang komponennya adalah .

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:

2.4.4 Keadaan Transisi dan Probabilitas Rantai Markov

Keadaan transisi adalah perubahan dari suatu keadaan (status) ke keadaan lain pada periode berikutnya. Keadaan transisi ini merupakan suatu proses acak dan dinyatakan dalam bentuk peluang yang dinotasikan dengan . Peluang dari keadaan ini dikenal sebagai peluang transisi. Peluang ini dapat digunakan untuk menentukan peluang keadaan periode berikutnya. Keadaan transisi didapatkan setelah keadaan awal diberikan perubahan melalui suatu matriks yang disebut matriks peluang transisi. Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:

Matriks peluang transisi suatu rantai Markov adalah suatu matriks berderajat n dengan n bergantung pada banyak peristiwa atau state pada rantai Markov tersebut. Elemen pada matriks peluang transisi adalah peluang perubahan keadaan pada peristiwa j yang pada peristiwa sebelumnya berada pada keadaan i. Tetapi pada saat rantai Markov mencapai situasi stasioner maka peluang tersebut tidak lagi bergantung pada t, sehingga dituliskan besaran peluang sebagai . Dengan demikian, peluang proses berpindah dari status i ke status j homogen dalam waktu. Jadi dapat didefinisikan seluruh peluang proses dalam bentuk matriks P yang disebut sebagai

16

matriks peluang transisi (disingkat matriks transisi) dari rantai Markov, dituliskan dalam bentuk matriks berikut:

Untuk banyak peristiwa (state) adalah n berhingga, maka matriks transisi berukuran n baris x n kolom. Setiap elemen matriks adalah positif , untuk setiap

Total peluang dalam setiap baris adalah 1 ∞ untuk setiap baris

2.5 Rantai Markov Kontinu

Rantai Markov kontinu merupakan perluasan dari rantai markov yang sudah dipaparkan pada pembahasan rantai Markov sebelumnya. Perbedaannya adalah pada peubah acak karena proses berlangsung pada waktu kontinu. Jadi, rantai Markov kontinu adalah proses stokastik dari peubah acak yang terjadi pada interval waktu tertentu ( ∞ ) dengan nilai-nilai di ruang state S yang terbilang (countable) dan ruang state S adalah bilangan bulat. Sehingga dapat ditulis menjadi yang membentuk suatu deret yang memenuhi sifat Markov pada persamaan (2.20), yaitu:

Dalam Rantai markov kontinu tidak ada matriks transisi n langkah sebagaimana pada rantai Markov diskrit karena tidak ada kepastian waktu transisi dari suatu state ke state lainnya. Sebagai penggantinya digunakan matriks generator.

Pada rantai Markov, matriks transisi yang elemen-elemennya adalah dapat ditulis dalam:

17

Rantai Markov dikatakan homogen bila

untuk setiap Selanjutnya matriks peluang berukuran dengan elemen-elemen akan dinotasikan dengan .

Himpunan { } adalah semigrup stokastik, bila memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

1. , matriks identitas.

2. adalah matriks stokastik, yakni mempunyai elemen-elemen yang non negatif dan jumlah elemen pada setiap baris adalah 1.

3. Matriks memenuhi persamaan Chapman-Kolmogorov, yakni untuk .

Untuk selanjutnya peluang transisi rantai markov selalu dianggap kontinu pada setiap dan .

Semigrup dikatakan standar jika untuk , yaitu dan 0 untuk .

Andaikan adalah rantai Markov di pada waktu . Berbagai hal yang mungkin pada interval untuk yang kecil adalah:

a. Tidak akan terjadi transisi dengan peluang dengan menyatakan peluang proses berpindah dari dan kemudian kembali lagi ke

untuk yang kecil.

b. Rantai Markov dapat menuju baru dengan peluang .

Dalam hal ini diasumsikan bahwa peluang dari dua atau lebih transisi pada interval adalah untuk yang kecil dan dianggap sebagai fungsi linier dari (Grimmett dan Stirzaker, 1992). Dengan demikian, ada sedemikian hingga

Oleh karenanya, untuk dan untuk setiap . Matriks

( ) disebut generator dari rantai Markov kontinu dan mengambil alih peran dari matriks transisi P untuk rantai Markov diskrit.

18

Dengan asumsi, maka kemungkinan pada a dan b menjadi: 1. Tidak terjadi transisi di dengan peluang . 2. Rantai Markov berpindah ke dengan peluang . Karena maka yang mengakibatkan untuk setiap atau

Dengan 1 adalah vektor baris yang semua elemennya 1 dan 0 adalah vektor baris yang semua elemennya 0.

2.6 Persamaan Chapman- Kolmogorov

Persamaan Chapman Kolmogorov merupakan satu metode untuk menghubungkan peluang peralihan t langkah yang berurutan.

Untuk dapat menghitung peluang peralihan t langkah digunakanlah persamaan di bawah ini (Sheldon, 1969) :

= Peluang peralihan dari ke setelah langkah dan diketahui sebelumnya telah berada dalam .

= Peluang peralihan dari ke setelah langkah dan diketahui sebelumnya telah berada dalam .

_{= Peluang peralihan dari akan berpindah ke setelah} langkah.

Jika dan , maka persamaan (2.32) menjadi:

19

Untuk dan merupakan elemen dari matriks elemen dari matriks , serta elemen matriks maka persamaan (2.33) dapat ditulis menjadi:

Jika , dengan menggunakan deret Maclaurin maka diperoleh:

Untuk peubah acak X adalah rantai Markov kontinu yang memiliki generator dan

. Maka vektor adalah distribusi stasioner dari rantai Markov kontinu, jika

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Total Waktu Bekerja Sistem yang Dipandang sebagai Sebuah Komponen

Total waktu bekerja sistem menyatakan total waktu sistem beroperasi dalam suatu interval waktu tertentu. Total waktu bekerja memiliki sifat acak. Sedangkan total waktu perbaikan sistem menyatakan total waktu sistem diperbaiki atau berhenti bekerja dalam suatu interval waktu tertentu. Total waktu perbaikan juga memiliki sifat acak.

Sebuah komponen setelah bekerja selama X1 satuan waktu mengalami kerusakan dan segera diperbaiki Y1 satuan waktu sehingga komponen dapat bekerja kembali seperti yang baru. Namun setelah bekerja selama X2 satuan waktu komponen tersebut rusak kembali dan diperbaiki selama Y2 satuan waktu. Proses ini berlangsung terus menerus membentuk barisan dan setiap kali selesai diperbaiki komponen dianggap seperti baru lagi.

Jika menyatakan komponen bekerja atau rusak pada waktu t, maka total waktu bekerja sistem pada interval waktu [0, t] adalah:

Dan total waktu perbaikan adalah:

Fungsi distribusi kumulatif dari dinotasikan dengan F dan fungsi distribusi kumulatif dari dinotasikan dengan G serta fungsi distribusi bersamanya dinotasikan dengan H.

21

Transformasi Laplace dari distribusi kumulatif F(x) yang dinotasikan dengan

adalah:

Dan transformasi Laplace-Stieltjes dari fungsi distribusi kumulatif F adalah:

Untuk fungsi distribusi bersama H(x,y) yang bernilai riel non-negatif, transformasi Laplace gandanya adalah:

Dan transformasi Laplace-Stieltjes dari fungsi distribusi bersama H adalah:

Dengan adalah bilangan riel atau kompleks yang fungsinya dapat diintegralkan.

Distribusi dari total waktu perbaikan sistem diformulasikan melalui transformasi Laplace ganda menurut teorema berikut (Suyono, 2002):

Untuk

Sebagai akibat dari teorema ini diperoleh: Untuk

22

dan

3.1.1 Waktu Bekerja dan Waktu Perbaikan Sistem Berdistribusi Eksponensial

Peubah acak dan menyatakan urutan dari waktu bekerja dan waktu perbaikan sebuah komponen. Diasumsikan bahwa barisan dan saling independent. Diasumsikan juga peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter dan peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter

Fungsi kepadatan peluang dari dan berturut-turut adalah:

dan

Karena lama komponen di berdistribusi eksponensial, maka proses

menyatakan rantai Markov kontinu dengan . Generator dari rantai Markov ini adalah (Grimmett dan Stirzaker, 1992):

Jika adalah distribusi stasioner dari rantai Markov, maka berdasarkan persamaan (2.30) berlaku dan berdasarkan persamaan (2.29) berlaku:

23

Oleh karenanya

atau

Sehingga didapatkan distribusi stasioner dari rantai Markov adalah:

Berdasarkan persamaan (2.28), matriks transisi untuk rantai Markov ini adalah:

3.1.2 Availabilitas Sistem

Availabilitas sistem adalah peluang sistem bekerja pada suatu waktu tertentu. Semakin besar availabilitas suatu sistem maka sistem tersebut semakin baik.

Untuk peubah acak dan , menyatakan urutan dari waktu bekerja dan waktu perbaikan sebuah komponen. Diasumsikan bahwa barisan dan saling independent. Diasumsikan juga peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter dan peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter

Availabilitas sistem pada waktu didefinisikan sebagai:

24

Hubungan antara availabilitas sistem dan total waktu perbaikan adalah sebagai berikut:

3.1.3 Distribusi Peluang Total Waktu Bekerja Sistem Sebuah Komponen

Peubah acak dan , menyatakan urutan dari waktu bekerja dan waktu perbaikan sebuah komponen. Diasumsikan bahwa barisan dan saling independent. Diasumsikan juga peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter dan peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter

Dengan menggunakan persamaan (3.8) dan persamaan (3.9) diperoleh:

dan

Invers transformasi Laplace dari persamaan (3.17) dan persamaan (3.18) adalah:

dan

25

Dengan menggunakan persamaan (3.19) dan persamaan (3.20) diperoleh variansi dari total waktu perbaikan sistem Var adalah:

Dari persamaan (3.2) diperoleh , maka:

26

dan

27

Dengan menggunakan persamaan (3.22) dan persamaan (3.23) diperoleh variansi dari total waktu bekerja sistem Var adalah:

28

29

3.2 Total Waktu Bekerja Sistem Komponen

3.2.1 Distribusi Peluang Total Waktu Bekerja Sistem Terdiri dari Komponen yang

Suatu sistem terdiri dari komponen yang saling maka komponen-komponennya terdiri dari dua , yaitu 0 (jika komponen dalam perbaikan) dan 1 (jika komponen dalam keadaan bekerja). Setiap komponen mulai bekerja pada waktu

. Komponen ke- , bekerja selama satuan waktu. Apabila komponen tersebut mengalami kerusakan maka segera diperbaiki selama satuan waktu sehingga komponen dapat bekerja kembali seperti yang baru. Namun setelah bekerja selama satuan waktu komponen tersebut rusak kembali dan diperbaiki selama satuan waktu. Proses ini berlangsung terus menerus membentuk barisan

dan setiap kali selesai diperbaiki komponen-komponen tersebut dianggap seperti baru lagi.

Jika menyatakan dari komponen ke- bekerja atau rusak pada waktu t, maka total waktu bekerja sistem pada interval waktu [0, t] adalah:

dengan adalah fungsi indikator dan merupakan vektor yang memiliki elemen satu sebanyak .

3.2.2 Sistem yang Terdiri dari Komponen dengan Waktu Bekerja dan Waktu Perbaikan Berdistribusi Eksponensial

Peubah acak dan menyatakan urutan dari waktu bekerja dan waktu perbaikan dari komponen-komponen. Diasumsikan bahwa barisan dan saling independent. Diasumsikan juga untuk setiap , peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter dan peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter . Maka proses

30

merupakan rantai Markov kontinu dengan 0 dan 1.

Generator-generator untuk rantai Maarkov ini adalah:

Untuk maka merupakan rantai Markov dengan waktu kontinu di

yaitu himpunan dari vektor baris dengan panjang n yang mempunyai elemen-elemen 0 dan atau 1.

Misalkan adalah dari rantai Markov , maka

dengan Generator dari rantai Markov adalah

Dengan menganggap

Jika dan mempunyai dua atau lebih elemen berbeda, maka Jika dan hanya mempunyai satu elemen yang berbeda, maka ada indeks sedemikian hingga

dan

Misalkan

maka

31

Lemma. dengan

merupakan distribusi stasioner dari rantai Markov . Sebagai akibat dari lemma diperoleh proposisi berikut ( Suyono, 2002 )

Proposisi. Misalkan adalah total waktu bekerja dari suatu sistem dengan komponen yang secara stokastik. Misalkan bahwa komponen ke-

mempunyai total waktu bekerja dan total waktu perbaikan yang saling

dan masing-masing berdistribusi eksponensial dengan parameter

. Maka (a)

dengan menyatakan nilai harapan dan distribusi stasioner dari rantai Markov.

(b) Dengan peluang 1, diperoleh

3.3 Sistem dengan Dua Komponen

Peubah acak dan menyatakan urutan dari waktu bekerja dan waktu perbaikan dari komponen-komponen. Diasumsikan bahwa barisan dan saling independent. Diasumsikan juga peubah acak

berdistribusi eksponensial dengan parameter dan peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter . Karena lama komponen-komponen di 0 dan 1 berdistribusi eksponensial maka proses

merupakan rantai Markov kontinu dengan ruang

32

Generator dari rantai Markov ini adalah:

3.3.1 Peluang Transisi

Dengan adalah distribusi stasioner dari rantai Markov, maka menurut persamaan (2.30) berlaku:

dan menurut persamaan (2.29) diperoleh:

Jadi distribusi stasioner dari rantai Markov ini adalah:

Menurut persamaan (2.28), matriks untuk rantai Markov ini adalah:

dengan:

33

dan

Peluang transisi dari 11 ke 11 pada waktu adalah:

Peluang transisi merupakan availabilitas suatu sistem yang terdiri dari dua komponen pada waktu .

3.3.2 Distribusi Peluang Total Waktu Bekerja Sistem dengan Dua Komponen

Peubah acak dan menyatakan urutan dari waktu bekerja dan waktu perbaikan dari komponen-komponen. Diasumsikan bahwa barisan dan saling independent. Diasumsikan juga peubah acak

berdistribusi eksponensial dengan parameter dan peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter . Maka menurut persamaan (3.29) diperoleh distribusi stasioner:

dan

34

Oleh persamaan (3.35), maka diperoleh:

dengan

dan

Dengan menggunakan persamaan (3.36) dan persamaan (3.37) diperoleh variansi dari total waktu bekerja sistem yang terdiri dari dua komponen Var adalah:

3.4 Pembahasan Numerik

Misalkan diketahui:

Lama mesin M telah bekerja (t) = 10 tahun

Lama bekerja berdistribusi eksponensial dengan parameter Lama perbaikan ( ) berdistribusi eksponensial dengan parameter

Penyelesaian:

Untuk sistem yang terdiri dari satu komponen dengan , maka availabilitasnya adalah:

35

Karena hasil dari sangat kecil, mendekati 0 maka:

Total waktu perbaikan adalah:

Karena mendekati 0, maka

Jika di bulatkan maka total waktu perbaikan adalah 6 tahun Total waktu bekerja adalah:

Karena mendekati 0, maka

Jika di bulatkan maka total waktu bekerja adalah 4 tahun.

Jika pengambil keputusan menghadapi keadaan seperti ini lebih baik keputusan yang diambil adalah mengganti sistem. Karena total waktu bekerja sistem lebih kecil dibandingkan dengan total waktu perbaikannya.

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Penentuan distribusi peluang total waktu bekerja sistem merupakan salah satu metode untuk membantu pengambil keputusan menentukan sikap terhadap sistem tersebut. 1. Untuk sistem yang terdiri dari satu komponen

Peubah acak dan menyatakan urutan dari waktu bekerja dan waktu perbaikan sebuah komponen. Diasumsikan bahwa barisan dan saling independent. Diasumsikan juga peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter dan peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter Maka proses ( merupakan rantai Markov kontinu dengan 0 (komponen dalam perbaikan) dan 1(komponen dalam keadaan bekerja).

Nilai harapan total waktu bekarja dan variansi total waktu bekerja

adalah:

dan

2. Untuk sistem yang terdiri dari n komponen

Peubah acak dan menyatakan urutan dari waktu bekerja dan waktu perbaikan dari komponen-komponen. Diasumsikan barisan dan saling independent. Diasumsikan juga untuk setiap ,

37

peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter dan peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter . Maka proses merupakan rantai Markov kontinu dengan ruang yaitu himpunan dari vektor baris sebanyak n yang mempunyai elemen-elemen 0 dan atau 1.

Nilai harapan total waktu bekarja sistem dengan distribusi stasioner dari rantai Markov kontinu adalah:

3. Untuk total waktu perbaikan yang lebih besar daripada total waktu bekerja atau , maka sebaiknya sistem diganti.

4.2 Saran

Penelitian ini hanya membahas masalah penentuan distribusi total waktu bekerja sistem dengan peubah acak yang dan berdistribusi eksponensial. Penulis berharap, pembaca dapat melanjutkan pembahasan mengenai penentuan distribusi total waktu bekerja sistem dengan komponen yang berdistribusi sembarang. Penelitian juga dapat dikembangkan dalam penerapan di bidang industri dan lainnya.

38

DAFTAR PUSTAKA

Ayub, Riki. 2008. “Dinamika pada Rantai Markov dengan Dua Kmponen”. Chapter 2. Aswin, Rudi. 2010. “Penentuan Peluang transisi t langkah dalam Rantai Markov”.

Chapter 2.

Ching W dan Michael. 2006. Markov Chains: Models, Algorithms and Applications. New York: Springer.

Supranto, J. 2001. “Statistik Teori & Aplikasi”. Edisi kedua. Jakarta: Erlangga.

Stirzaker, D. 2005. Stochastic Processes & Models. 1st edition. New York: Oxford University Press.

Suprayogi. 2008. Rantai Markov. Kelompok Keahlian Sistem Industri dan Tekno-Ekonomi. Bandung: Institut Teknologi Bandung.

Taryo, Suyono dan Handayani, D. 2007. “Distribusi Probabilitas Total Waktu Bekerja Suatu Sistem”. Jurnal Matematika: hal. 1-13.

http://cgi.di.uoa.gr/~istavrak/courses/06_pms524_CTMC.pdf/. Diakses tanggal 06 Juni 2010.

http://yasinta.wordpress.com/2008/09/16/analisa-rantai-markov/. Diakses tanggal 04 September 2010.

33

dan

Peluang transisi dari 11 ke 11 pada waktu adalah:

Peluang transisi merupakan availabilitas suatu sistem yang terdiri dari dua komponen pada waktu .

3.3.2 Distribusi Peluang Total Waktu Bekerja Sistem dengan Dua Komponen

Peubah acak dan menyatakan urutan dari waktu bekerja dan waktu perbaikan dari komponen-komponen. Diasumsikan bahwa barisan dan saling independent. Diasumsikan juga peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter dan peubah acak

berdistribusi eksponensial dengan parameter . Maka menurut persamaan (3.29) diperoleh distribusi stasioner:

dan

Oleh persamaan (3.35), maka diperoleh:

dengan

dan

Dengan menggunakan persamaan (3.36) dan persamaan (3.37) diperoleh variansi dari total waktu bekerja sistem yang terdiri dari dua komponen Var adalah:

3.4 Pembahasan Numerik

Misalkan diketahui:

Lama mesin M telah bekerja (t) = 10 tahun

Lama bekerja berdistribusi eksponensial dengan parameter Lama perbaikan ( ) berdistribusi eksponensial dengan parameter Penyelesaian:

Untuk sistem yang terdiri dari satu komponen dengan , maka availabilitasnya adalah:

35

Karena hasil dari sangat kecil, mendekati 0 maka:

Total waktu perbaikan adalah:

Karena mendekati 0, maka

Jika di bulatkan maka total waktu perbaikan adalah 6 tahun Total waktu bekerja adalah:

Karena mendekati 0, maka

Jika di bulatkan maka total waktu bekerja adalah 4 tahun.

Jika pengambil keputusan menghadapi keadaan seperti ini lebih baik keputusan yang diambil adalah mengganti sistem. Karena total waktu bekerja sistem lebih kecil dibandingkan dengan total waktu perbaikannya.

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Penentuan distribusi peluang total waktu bekerja sistem merupakan salah satu metode untuk membantu pengambil keputusan menentukan sikap terhadap sistem tersebut. 1. Untuk sistem yang terdiri dari satu komponen

Peubah acak dan menyatakan urutan dari waktu bekerja dan waktu perbaikan sebuah komponen. Diasumsikan bahwa barisan dan saling independent. Diasumsikan juga peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter dan peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter Maka proses ( merupakan rantai Markov kontinu dengan 0 (komponen dalam perbaikan) dan 1(komponen dalam keadaan bekerja).

Nilai harapan total waktu bekarja dan variansi total waktu bekerja adalah:

dan

2. Untuk sistem yang terdiri dari n komponen

Peubah acak dan menyatakan urutan dari waktu bekerja dan waktu perbaikan dari komponen-komponen. Diasumsikan barisan dan saling independent. Diasumsikan juga untuk setiap ,

37

peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter dan peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter . Maka proses merupakan rantai Markov kontinu dengan ruang yaitu himpunan dari vektor baris sebanyak n yang mempunyai elemen-elemen 0 dan atau 1.

Nilai harapan total waktu bekarja sistem dengan distribusi stasioner dari rantai Markov kontinu adalah:

3. Untuk total waktu perbaikan yang lebih besar daripada total waktu bekerja atau , maka sebaiknya sistem diganti.

4.2 Saran

Penelitian ini hanya membahas masalah penentuan distribusi total waktu bekerja sistem dengan peubah acak yang dan berdistribusi eksponensial. Penulis berharap, pembaca dapat melanjutkan pembahasan mengenai penentuan distribusi total waktu bekerja sistem dengan komponen yang berdistribusi sembarang. Penelitian juga dapat dikembangkan dalam penerapan di bidang industri dan lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

Ayub, Riki. 2008. “Dinamika pada Rantai Markov dengan Dua Kmponen”. Chapter 2.

Aswin, Rudi. 2010. “Penentuan Peluang transisi t langkah dalam Rantai Markov”.

Chapter 2.

Ching W dan Michael. 2006. Markov Chains: Models, Algorithms and Applications.

New York: Springer.

Supranto, J. 2001. “Statistik Teori & Aplikasi”. Edisi kedua. Jakarta: Erlangga.

Stirzaker, D. 2005. Stochastic Processes & Models. 1st edition. New York: Oxford University Press.

Suprayogi. 2008. Rantai Markov. Kelompok Keahlian Sistem Industri dan Tekno-Ekonomi. Bandung: Institut Teknologi Bandung.

Taryo, Suyono dan Handayani, D. 2007. “Distribusi Probabilitas Total Waktu Bekerja

Suatu Sistem”. Jurnal Matematika: hal. 1-13.

http://cgi.di.uoa.gr/~istavrak/courses/06_pms524_CTMC.pdf/. Diakses tanggal 06 Juni 2010.

http://yasinta.wordpress.com/2008/09/16/analisa-rantai-markov/. Diakses tanggal 04 September 2010.