Limit tak hingga LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN

80

3.6 Limit tak hingga

Jika kita lakukan pengamatan terhadap x f lim c x - ® dan + ® c x lim fx mungkin akan didapat bahwa fx membesar atau mengecil tanpa batas. Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada Gambar 3.5 berikut. x fx x fx 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999 -10 -100 -1000 -10000 -100000 -1000000 Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa pada saat x mendekati titik 2 dari arah kanan maka fx membesar tanpa batas menuju ¥. Sedangkan pada saat x mendekati 2 dari arah kiri maka fx mengecil tanpa batas menuju -¥. Selanjutnya dikatakan bahwa limit fx untuk x mendekati 2 dari arah kanan adalah ¥ atau ¥ = + ® x f lim 2 x , sedangkan limit fx untuk x mendekati 2 dari arah kiri adalah -¥ atau - ¥ = - ® x f lim 2 x . Karena limit kiri ¹ limit kanan maka 2 x 1 lim 2 x - ® tidak ada lihat persamaan 3.14. Untuk memecahkan limit tak hingga perhatikan teorema berikut Misal fx = 1 1 n -1 n n n 1 1 m -1 m m m b x b ... x b x b a x a ... x a x a + + + + + + + + - - Jika m n, maka : fx = 2 x 1 - y x Gambar 3.5 81 b x b ... x b x b a x a ... x a x a lim 1 1 n -1 n n n 1 1 m -1 m m m x = + + + + + + + + - - ¥ ® 3.28 Jika m = n, maka : n m 1 1 n -1 n n n 1 1 m -1 m m m x b a b x b ... x b x b a x a ... x a x a lim = + + + + + + + + - - ¥ ® 3.29 Jika m n, maka : ¥ = + + + + + + + + - - ¥ ® 1 1 n -1 n n n 1 1 m -1 m m m x b x b ... x b x b a x a ... x a x a lim 3.30 Bukti : fx = 1 1 n -1 n n n 1 1 m -1 m m m b x b ... x b x b a x a ... x a x a + + + + + + + + - - Jika semua suku dibagi dengan x m maka : fx = m m 1 1 m 1 n -1 n m n n m m 1 1 1 -1 m m x b x b ... x b x b x a x a ... x a a - - - - - - - - + + + + + + + + Jadi lim x ¥ ® m m 1 1 m 1 n -1 n m n n m m 1 1 1 -1 m m x b x b ... x b x b x a x a ... x a a - - - - - - - - + + + + + + + + Jika m n, maka : lim x ¥ ® m m 1 1 m 1 n -1 n m n n m m 1 1 1 -1 m m x b x b ... x b x b x a x a ... x a a - - - - - - - - + + + + + + + + = lim x ¥ ® a m = ¥ terbukti Jika m = n, maka : lim x ¥ ® = + + + + + + + + - - - - - - - - m m 1 1 m 1 n -1 n m n n m m 1 1 1 -1 m m x b x b ... x b x b x a x a ... x a a lim x ¥ ® b a n m + + = n m b a terbukti Jika m n, maka : lim x ¥ ® = + + + + + + + + - - - - - - - - m m 1 1 m 1 n -1 n m n n m m 1 1 1 -1 m m x b x b ... x b x b x a x a ... x a a lim x ¥ ® ¥ = + a m terbukti Contoh 3.11 Tentukan ¥ ® x lim 4 - x x 5 7 x x 3 x 2 4 3 4 + - + + Penyelesaian : 82 a m = 2 ; b n = 5 ; m = 4 ; n = 4 Karena m = n , maka ¥ ® x lim 4 - x x 5 7 x x 3 x 2 4 3 4 + - + + = n m b a = 5 2

3.7 Asimtot