Limit fungsi trigonometri Limit fungs trigonometri invers

77 Soal-soal 1. 7 lim 2 x ® 6. 6 x 5 x 1 x lim 2 1 x + + - ® 2. 5 lim 3 x ® 7. 2 - x x lim 4 x ® 3. x 3 lim 5 x - ® 8. 3 x 9 x 5 lim - p ® 4. x 5 3 lim e x - ® 9. 2 2 x x 1 sin x lim ® 5. 12 x 4 x lim 2 5 x - - ® 10. Tentukan x f lim 4 x ® jika fx = î í ì £ - 4 x jika x - 7 4 x jika 5 x 2

3.4 Limit fungsi trigonometri

1. 1 x x sin lim x = ® 3.15 Bukti : Perhatikan Gambar 3.4 berikut Luas DOPQ Sektor OPQ DOPT Luas DOPQ = q = q sin r 2 1 sin r 2 1 . r 2 Luas sektor OPQ = 2 r 2 1 q Luas DOPT = r. q tan r 2 1 = q tan r 2 1 2 Substitusi persamaan sd ke persamaan didapat : q q q tan r 2 1 r 2 1 sin r 2 1 2 2 2 q r T Q P x y Gambar 3.4 0 q 2 p 78 Jika pers. dibagi q sin r 2 1 2 didapat : q q q cos 1 sin 1 atau q q q cos sin 1 Gunakan teorema apit 1 1 lim = ® q dan 1 cos lim = q ® q , maka : 1 sin lim = q q ® q atau 1 x x sin lim x = ® 2. 1 x cos lim x = ® 3.16 3. x sin lim x = ® 3.17 4. x tan lim x = ® 3.18 Bukti : = ® x tan lim x = ® x cos x sin lim x x sin lim x ® . = ® x cos 1 lim x x sin lim x ® . = ® ® x cos lim 1 lim x x 1 1 = þ ý ü î í ì terbukti 5. 1 x x tan lim x = ® 3.19 Bukti : = ® x x tan lim x = ® x cos 1 . x x sin lim x x x sin lim x ® . = ® x cos 1 lim x 1 . 1 = 1 terbukti 6. 1 x tan x lim x = ® 3.20 Bukti : = ® x tan x lim x = ® x cos 1 . x x sin 1 lim x 1 . 1 = 1 terbukti 7. x 1 - x cos lim x = ® 3.21 Bukti : = ® x 1 - x cos lim x = ® x 1 - x 2 1 sin - x 2 1 cos lim 2 2 x 1 x 2 1 x 2 1 sin x 2 1 sin lim x 2 1 2 x 2 1 sin . x 2 1 sin 2 lim x x 2 1 sin 2 lim x x 2 x = = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - = - = - ® ® ® terbukti

3.5 Limit fungs trigonometri invers

1. 1 x x arcsin lim x = ® 3.22 Bukti : y = y sin x x arcsin = Û untuk -1 £ x £ 1 dan -p2 £ y £ p2 79 Jadi : = ® x x arcsin lim x = ® y sin y lim y 1 y y sin 1 lim y = ® terbukti 2. 1 x x arctan lim x = ® 3.23 Bukti : y = y tan x x arctan = Û untuk setiap nilai x dan -p2 y p2 Jadi : = ® x x arctan lim x = ® y tan y lim y = ® y y sin y cos lim y 1 y y sin lim y cos lim y y = ® ® 3. x arcsin lim x = ® 3.24 Bukti : y = y sin x x arcsin = Û untuk -1 £ x £ 1 dan -p2 £ y £ p2 Jadi = ® x arcsin lim x y lim y = ® terbukti 4. 2 x arccos lim x p = ® 3.25 Bukti : y = y cos x x arccos = Û untuk -1 £ x £ 1 dan 0 £ y £ p Jadi = ® x arccos lim x 2 y lim 2 y p = p ® terbukti 5. x arctan lim x = ® 3.26 Bukti : y = y tan x x arctan = Û untuk setiap x dan -p2 £ y £ p2 Jadi = ® x arctan lim x y lim y = ® terbukti 6. x arccot lim x = ® 3.27 Bukti : y = y cot x x cot arc = Û untuk setiap x dan 0 y p Jadi = ® x arccot lim x 2 y lim 2 y p = p ® terbukti Soal-soal Hitung limit berikut, jika ada 1. x x x 5 2 sin lim ® 6. x 5 x 2 cos 1 lim x - ® 2. x 3 sin x 2 lim x ® 7. 4x tan3x lim 4 x ® 3. x 3 sin x 4 sin lim x ® 8. - sin2x cos2x - 1 lim x p ® 4. 2 3 x x x sin lim ® 9. x 7 x 3 arcsin lim x ® 5. x 7 sin x lim 2 2 x ® 10. x 7 1 x arctan lim x - ® 80

3.6 Limit tak hingga