Limit fungsi LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN

72

3.3 Limit fungsi

Untuk menyederhanakan permasalahan, berikut diberikan rumus-rumus penyelesaian limit yang didapat dengan bantuan definisi limit. Pada rumus-rumus ini b, c, k dan L adalah bilangan-bilangan ril, a bilangan ril positif, sedangkan m dan n adalah bilangan ril positif. Teorema-teorema 1. c x lim c x = ® 3.5 Bukti : Untuk setiap e 0 maka terdapat d 0 sedemikian rupa sehingga : jika 0 c x - d maka terdapat c x - e. Jadi untuk e = d didapat : c x - d terbukti Contoh 3.1 a 5 x lim 5 x = ® b 7 x lim 7 x - = - ® 2. k k lim c x = ® 3.6 Bukti : Untuk setiap e 0 maka terdapat d 0 sedemikian rupa sehingga : jika 0 c x - d maka terdapat k - k e. Karena k - k = 0 dan 0 e, maka definisi terpenuhi. Contoh 3.2 a 4 4 lim 3 x = - ® b 9 9 lim 2 x = ® 3. x g lim x f lim ] x g x f [ lim c x c x c x ® ® ® + = + 3.7 Bukti : Misal 1 c x L x f lim = ® dan 2 c x L x g lim = ® Dari definisi, untuk setiap e 0 terdapat d 0 sedemikian rupa sehingga : jika 0 c x - d maka L L - gx fx 2 1 + + e atau L x g L - fx 2 1 - + e Dari ketaksamaan segitiga didapat : L x g L - fx 2 1 - + £ 2 1 L x g L x f - + - atau Pernyataan : L x f lim c x = ® , berarti untuk setiap e 0 terdapat d 0 sedemikian rupa sehingga jika 0 c - x d maka L - fx e 3.4 73 L L - gx fx 2 1 + + £ 2 1 L x g L x f - + - Karena 1 c x L x f lim = ® , maka : Untuk setiap e 2 1 0 terdapat d 1 0 sedemikian rupa sehingga : jika 0 c x - d 1 maka L - fx 1 e 2 1 Selanjutnya karena 2 c x L x g lim = ® , maka : untuk setiap e 2 1 0 terdapat d 2 0 sedemikian rupa sehingga : jika 0 c x - d 2 maka L - fx 2 e 2 1 Dari ketaksamaan segitiga didapat : L x g L - fx 2 1 - + £ 2 1 L x g L x f - + - atau L L - gx fx 2 1 + + £ 2 1 L x g L x f - + - Dari , dan didapat : L L - gx fx 2 1 + + e + e 2 1 2 1 atau L L - gx fx 2 1 + + e terbutki Contoh 3.3 = + ® 6 x lim 5 x + ® x lim 5 x = ® 6 lim 5 x 5 + 6 = 11 4. x g lim x f lim ] x g x f [ lim c x c x c x ® ® ® - = - 3.8 Bukti : ikuti pembuktian teorema 3 Contoh 3.4 = ® x - 7 lim 5 x - 7 lim 5 x ® = ® x lim 5 x 7 - 5 = 2 5. = ® ] x g . x f [ lim c x . x f lim c x ® x g lim c x ® 3.9 Bukti : Misal 1 c x L x f lim = ® dan 2 c x L x g lim = ® Dari ketaksamaan segitiga didapat : 2 1 L L x g . x f - = 2 1 2 2 L L x f L x f L x g . x f - + - £ 1 2 2 L x f L L x g x f - + - £ 1 2 2 L x f L 1 L x g x f - + + - i Untuk setiap e 1 0 terdapat d 1 0 sedemikian rupa, sehingga : jika 0 c x - d 1 , maka - L x f 1 e 1 ii Dari ketaksamaan segitiga didapat : 1 1 L x f L x f - ³ - iii Dari ii dan iii didapat 1 1 L x f e - atau 1 1 L x f e + iv 74 Dengan mengambil e 1 = 1, maka 1 L x f 1 + v Untuk setiap e 2 0 terdapat d 2 0 sedemikian rupa, sehingga : jika 0 c x - d 2 , maka - L x g 2 e 2 vi Dengan mengambil e 2 = 1 L 1 2 1 + e , maka dari vi didapat : - L x g 2 1 L 1 2 1 + e vii Untuk setiap e 1 0 terdapat d 1 0 sedemikian rupa, sehingga : jika 0 c x - d 3 , maka didapat didapat 3 1 L x f e - viii Dengan mengambil e 3 = 2 L 1 2 1 + e , maka dari viii didapat : - 1 L x f 2 L 1 2 1 + e , maka dari viii didapat : - 1 L x f 2 L 1 2 1 + e ix Selanjutnya dari persamaan i, v, vii dan ix didapat : e = + e + + + e + L 1 2 1 L 1 L 1 2 1 L 1 L L - fx 2 1 1 2 1 Dengan memilih d = min d 1 , d 2 , d 3 akan didapat pernyataan : Jika 0 c x - d, maka e - 1 L x f terbukti Contoh 3.5 = + ® } 1 x x - {7 lim 5 x x - 7 lim 5 x ® . = + ® 1 x lim 5 x 26=12 6. x g lim x f lim x g x f lim c x c x c x ® ® ® = ú û ù ê ë é 3.10 Bukti : x g 1 lim . x f lim x g 1 . x f lim x g x f lim c x c x c x c x ® ® ® ® = ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é Misal 1 c x L lim = ® dan 2 c x L 1 x g 1 lim = ® 2 2 2 L x g L - gx L 1 x g 1 = - , gx ¹0 i Untuk e 1 0 terdapat d 1 0 sedemikian rupa sehingga : jika 0 c x - d 1 , maka 1 2 L - x g e ii Dari ketaksamaan segitiga : x g L x g L L x g 2 2 2 - ³ - = - iii Jadi x g L 2 - e 1 ® 1 2 L x g e - iv Dengan mengambil e 1 = 2 L 2 , maka 2 L 2 L L x g 2 2 2 = - Sehingga 2 L 2 x g 1 v Selanjutnya dari i dan v didapat : 2 2 2 2 L x g L 2 L 1 x g 1 - £ - vi Untuk e 2 0 terdapat d 2 sedemikian rupa sehingga : 75 jika 2 c x d - , maka 2 2 L x g e - vii Dengan mengambil e 2 = 2 L 2 2 e , maka persamaan vii menjadi : 2 L L x g 2 2 2 e - viii Dari pers. i, v dan viii didapat : 1 2 L . L 2 L 1 x g 1 2 2 2 2 2 = £ - ix Dengan mengambil d = min d 1 ,d 2 akan didapat pernyataan : jika d - c x maka e - 2 L 1 x g 1 . Hal ini membuktikan bahwa : x g lim 1 L 1 x g 1 lim c x 2 c x ® = = ® Jadi : = ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é ® ® x g 1 . x f lim x g x f lim c x c x 2 1 L L x g lim x f lim c x c x ® ® = terbukti Contoh 3.6 7 4 7 4 x 3 lim x lim x 3 x lim 4 x 4 x 4 x - = - = - = - - ® - ® - ® 7. x f lim a fx] [a lim c x c x ® ® = 3.11 Bukti : Lihat persamaan 3.6 dan 3.9 Contoh 3.7 a e 9 x lim 9 9x lim e x e x = = ® ® b 4 3 x 4 lim 3 x - 34 lim x x p - = - = p ® p ® 8. x f lim fx] [ lim n c x n c x ú û ù ê ë é = ® ® 3.12 Bukti : [fx] n = [fx].[fx]. … .[fx] dengan jumlah faktor fx adalah n. Jadi .fx] ... . x f . x f [ lim fx] [ lim c x n c x ® ® = Dari persamaan 3.9 didapat : . x f lim fx] [ lim c x n c x ® ® = . x f lim c x ® … . x f lim c x ® = n fx] [ lim c x ® terbukti Contoh 3.8 1 1 3 x lim 3 - x lim 7 7 2 x 7 2 x - = - = ú û ù ê ë é - = ® ® 76 9. Teorema Sandwich teorema apit Misal terdapat fx £ hx £ gx untuk setiap harga x pada suatu selang terbuka yang mengandung c, kecuali mungkin di titik c itu sendiri. Jika = = ® L fx lim c x gx lim c x ® , maka : L hx lim c x = ® 3.13 Bukti : Untuk setiap e 0 terdapat d 1 0 dan d 2 0 sedemikian rupa sehingga : ïî ï í ì e d e d L - gx maka c - x : jika L - fx maka c - x : jika 2 1 Untuk d = mind 1 ,d 2 dan 0 c x - d, maka ketaksamaan menjadi : -e fx–L e dan -e gx–L e Sehingga : 0 c x - d maka L-e fx dan gx L+e Karena fx £ hx £ gx, sehingga jika 0 c x - d, maka : L-e hx L+e atau L x h - e terbukti Contoh 3.9 Selesaikan x 1 cos x lim 2 x ® Penyelesaian : 1 x 1 cos 1 £ £ - , x ¹ 0 2 2 2 x x 1 cos x x £ £ - kalikan semua suku dengan x 2 x - lim 2 x = ® x lim 2 x = ® Karena : = ® 2 x x - lim x lim 2 x = ® , maka x 1 cos x lim 2 x ® = 0 10. Limit sepihak L fx] [ lim c x Û = ® fx] [ lim c x = - ® L fx] [ lim c x = + ® 3.14 x ® c - artinya x mendekati c dari arah kiri x ® c + artinya x mendekati c dari arah kanan Contoh 3.10 Jika fx = î í ì + - -2 x jika 7 x -2 x jika x 2 1 Tentukan ada. jika fx, lim 2 x - ® Penyelesaian : 5 2x - 1 lim 2 x = - - ® limit kiri 5 7 x lim 2 x = + + - ® limit kanan Karena limit kiri = limit kanan = 5, maka 5 fx lim 2 x = - ® 77 Soal-soal 1. 7 lim 2 x ® 6. 6 x 5 x 1 x lim 2 1 x + + - ® 2. 5 lim 3 x ® 7. 2 - x x lim 4 x ® 3. x 3 lim 5 x - ® 8. 3 x 9 x 5 lim - p ® 4. x 5 3 lim e x - ® 9. 2 2 x x 1 sin x lim ® 5. 12 x 4 x lim 2 5 x - - ® 10. Tentukan x f lim 4 x ® jika fx = î í ì £ - 4 x jika x - 7 4 x jika 5 x 2

3.4 Limit fungsi trigonometri