MENEMUKAN KONSEP PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

1. MENEMUKAN KONSEP PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

a. Menemukan konsep kalimat tertutup

Dua orang siswa, Toman dan Rizky sedang melakukan latihan percakapan menggunakan bahasa Indonesia pada pelajaran bahasa Indonesia. Percakapan kedua siswa itu sebagai berikut. Toman : Siapakah presiden pertama Republik Indonesia? Rizky

: Presiden pertama Republik Indonesia adalah Ir. Soekarno. Rizky

: Siapakah pencipta lagu Indonesia Raya? Toman : Pencipta lagu Indonesia Raya adalah Kusbini. Rizky

: Berapakah dua ditambah lima? Toman : Dua ditambah lima sama dengan tujuh. Rizky

: Berapakah enam dikurang satu? Toman : Enam dikurang satu adalah sepuluh.

Perhatikan kalimat-kalimat dalam percakapan Toman dan Rizky di atas. Kalimat-kalimat tersebut dapat dikelompokkan ke dalam tiga kelompok sebagai berikut. (1) kelompok kalimat yang tidak dapat dinyatakan benar maupun salah, yaitu:

– Siapakah presiden pertama Republik Indonesia? –

Siapakah pencipta lagu Indonesia Raya? –

Berapakah dua ditambah lima? –

Berapakah enam dikurang satu? Kalimat-kalimat ini merupakan kalimat pertanyaan (interogatif) sehingga kalimatnya tidak dapat dinyatakan benar atau salah.

(2) kelompok kalimat yang dinyatakan benar –

Presiden pertama Republik Indonesia adalah Ir. Soekarno. –

Dua ditambah lima sama dengan tujuh. (3) kelompok kalimat yang dinyatakan salah

– Pencipta lagu Indonesia Raya adalah Kusbini. –

Enam dikurang satu adalah sepuluh. Kelompok kalimat (2) dan kalimat (3) merupakan kelompok kalimat berita (deklaratif) yang dapat

dinyatakan benar saja atau salah saja dan tidak kedua-duanya. Kalimat yang dapat dinyatakan benar saja atau salah saja dan tidak kedua-duanya disebut dengan kalimat tertutup atau disebut juga pernyataan.

Perhatikan kembali kalimat-kalimat berikut. (1) Negara Republik Indonesia ibukotanya Jakarta. (2) Bilangan prima terkecil adalah 3. (3) 10 + 20 = 100. (4) Dua adalah bilangan ganjil.

Dari keempat kalimat di atas, kalimat manakah yang dinyatakan bernilai benar? Kalimat manakah yang dinyatakan bernilai salah?

Dari contoh kalimat-kalimat di atas, diberikan definisi kalimat tertutup sebagai berikut.

Definisi 6.1

Kalimat tertutup adalah kalimat berita (deklaratif) yang dapat dinyatakan nilai kebenarannya, bernilai benar atau salah, dan tidak keduanya.

Matematika

Perhatikan kalimat berikut! (1) Negara Republik Indonesia ibukotanya x. (2) Provinsi m terletak di Sulawesi. (3) Dua ditambah a sama dengan delapan. (4) b + 28 = 40 (5) x + 4 = 10

Perhatikan kelima kalimat di atas! Kalimat-kalimat tersebut tidak dapat dinyatakan benar atau salah sebab ada unsur yang belum diketahui nilainya. Kelima contoh kalimat di atas merupakan contoh kalimat terbuka. Pada kalimat (1), unsur tersebut adalah x. – Jika x diganti menjadi ‘Jakarta’ maka kalimat itu dinyatakan benar. – Jika x diganti menjadi ‘Samarinda’ maka kalimat itu dinyatakan salah.

Sebagai latihanmu:

– Temukanlah unsur-unsur yang nilainya belum diketahui dari kalimat (2), (3), (4), dan (5) di atas.

– Gantilah nilai-nilai yang belum diketahui itu agar menjadi kalimat yang dinyatakan benar!

– Gantilah nilai-nilai yang belum diketahui itu agar menjadi kalimat yang dinyatakan salah!

Unsur-unsur yang nilainya belum diketahui pada kalimat (1) s/d kalimat (5) di atas disebut dengan variabel.

Pahamilah ilustrasi berikut!

Udin membawa sebuah tas ke sekolah. Sesampainya di sekolah Udin bertanya kepada teman-temannya, tentang berapa banyak buku yang ada di dalam tasnya. Tidak semua temannya menjawab sama. Ada yang

menjawab “banyaknya buku di dalam tas Udin ada 12 buku”, sebagian lagi menjawab “banyaknya buku di dalam tas Udin ada 15 buku”, sedangkan yang lain menjawab “banyaknya buku di dalam tas Udin ada 18 buku”. Perbedaan jawaban itu terjadi karena sesungguhnya mereka tidak tahu pasti berapa banyak buku yang ada di dalam tas Udin. Jika suatu kalimat tidak dapat dinyatakan “benar” atau “salah” maka kalimat tersebut dinamakan “Kalimat Terbuka”.

Gambar 6.1 Udin dengan Tas sekolahnya

Berdasarkan contoh dan ilustrasi di atas, diberikan definisi variabel dan definisi kalimat terbuka sebagai berikut.

Definisi 6.2

Variabel adalah simbol/lambang yang mewakili sebarang anggota suatu himpunan semesta. Suatu variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil.

Definisi 6.3

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya, bernilai benar saja atau salah saja.

266 Kelas VII SMP/MTs

Contoh 6.1

a. Dua dikurang m sama dengan satu. Merupakan kalimat terbuka karena memiliki variabel yaitu m.

b. y adalah bilangan prima yang lebih dari empat. Merupakan kalimat terbuka yang memiliki variabel y.

c. x + 7 = 9. Merupakan kalimat terbuka karena memiliki variabel yaitu x.

d. 4 + b > 10. Merupakan kalimat terbuka karena memiliki variabel yaitu b.

e. 2a – 4 < 31 Merupakan kalimat terbuka karena memiliki variabel yaitu a.

Sedangkan

f. 2 + 3 = 5. Bukan kalimat terbuka karena tidak mengandung variabel.

g. 4–9>5 Bukan kalimat terbuka karena tidak mengandung variabel.

Sebagai latihanmu:

♦ Buatlah 5 buah contoh kalimat terbuka dengan variabel a, b, c, d, dan e. ♦ Buat juga 5 buah bukan contoh kalimat terbuka.

c. Menemukan Konsep Persamaan linear Satu Variabel

Contoh 6.2

Perhatikan contoh-contoh kalimat terbuka berikut. (1) x + 7 = 9

(10) x 2 +y=0

Temukan fakta-fakta berkaitan dengan contoh kalimat terbuka di atas.

Penyelesaian

Dari kalimat terbuka (1), (2), dan (3) di atas diperoleh fakta-fakta berikut. (1) Kalimat terbuka x + 7 = 9

o memiliki satu variabel, yaitu x. o

dihubungkan dengan relasi sama dengan (=). o

pangkat tertinggi variabel x adalah 1. o

jika x diganti menjadi 2, maka 2 + 7 = 9 merupakan pernyataan yang bernilai benar.

jika x diganti menjadi 3, maka 3 + 7 = 9 merupakan pernyataan yang bernilai salah.

Matematika

(2) Kalimat terbuka 4 + b > 10 o

memiliki satu variabel, yaitu b. o

dihubungkan dengan relasi lebih dari (>). o

pangkat tertinggi variabel b adalah 1. o

jika b diganti menjadi 7, maka 4 + 7 > 10 merupakan pernyataan yang bernilai benar.

jika b diganti menjadi 1, maka 4 + 1 > 9 merupakan pernyataan yang bernilai salah.

(3) Kalimat terbuka b 2 + c + 28 = 31

o memiliki dua buah variabel yaitu b dan c. o dihubungkan dengan relasi sama dengan (=). o pangkat variabel b adalah 2 dan pangkat variabel c adalah 1, sehingga pangkat tertinggi

variabelnya adalah 2. o jika b diganti menjadi 1 dan c menjadi 2, maka 1 2 + 2 + 28 = 32 merupakan pernyataan yang bernilai benar. o jika b diganti menjadi 2 dan c menjadi 3, maka 2 2 + 3 + 28 = 32 merupakan pernyataan yang bernilai salah.

Cermatilah hal-hal berikut. Dari kalimat terbuka (1) s/d (10) pada contoh di atas dapat dikatakan,

a) Kalimat terbuka (1), (3), (5), (6), (7), dan (10) merupakan contoh-contoh persamaan.

b) Kalimat terbuka (1), (6), dan (7) merupakan contoh-contoh persamaan linear satu variabel. c)

2 merupakan anggota himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka (1). d)

7 merupakan anggota himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka (2).

Sebagai latihanmu:

Temukanlah fakta-fakta yang ada pada kalimat terbuka (4) s/d (10)! Jika kamu tidak paham silahkan berdiskusi dengan temanmu dan bertanyalah pada guru.

Masalah-6.1

Permen

Siti membeli 20 buah permen dari sebuah warung yang ada di dekat rumahnya. Sesampainya di rumah, adik-adiknya (Sri, Abdi, dan Putra) meminta permen tersebut sehingga permen Siti sekarang tinggal

14 buah. (1) Ubahlah cerita tersebut kedalam kalimat terbuka dalam

matematika! (2) Berapa banyak permen yang diminta ketiga adiknya? (3) Temukanlah fakta-fakta dari kalimat terbuka yang kamu

peroleh.

Gambar 6.2 Permen

268 Kelas VII SMP/MTs

Misalkan x adalah permen yang diminta oleh ketiga adik Siti. (1) Kalimat terbukanya adalah 20 – x = 14. (2) Karena permen Siti tinggal 14, berarti permen yang diminta kepada adiknya sebanyak 6 buah. (3) Fakta-fakta dari kalimat terbuka 20 – x = 14 yaitu:

– Menggunakan relasi sama dengan (=). – Memiliki satu variabel yaitu x. – Pangkat variabel x adalah 1. – Jika x diganti jadi 6 maka 20 – 6 = 14 merupakan kalimat yang dinyatakan benar.

Beberapa hal yang dapat disimpulkan dari kalimat terbuka 20 – x = 14 adalah sebagai berikut.

a) Merupakan contoh persamaan.

b) Merupakan contoh persamaan linear satu variabel.

c) Himpunan penyelesaiannya adalah {6}.

Dari contoh-contoh dan alternatif penyelesaian Masalah 6.1 di atas, diberikan definisi persamaan, definisi persamaan linear satu variabel, dan definisi himpunan penyelesaian sebagai berikut.

Definisi 6.4

Persamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan relasi sama dengan (=).

Definisi 6.5

Persamaan linear satu variabel adalah suatu persamaan yang berbentuk ax + b = 0

a : koefisien (a anggota bilangan real dan a ≠ 0.

b : konstanta (b anggota bilangan real). x : variabel (x anggota bilangan real).

Definisi 6.6

Penyelesaian persamaan linear adalah nilai-nilai variabel yang memenuhi persamaan linear.

Definisi 6.7

Himpunan penyelesaian persamaan linear adalah himpunan semua penyelesaian persamaan linear.

Perhatikan Definisi 6.5 di atas, mengapa disyaratkan koefisien a ≠ 0?

Matematika

Contoh 6.3

Adi menabung sisa uang jajannya selama 10 hari sebesar Rp 10.000,00. Setiap hari Adi menyisihkan uang yang sama banyaknya. Berapa rupiahkah Adi menyisihkan uangnya setiap hari?

Penyelesaian

Misalkan a adalah banyaknya uang yang ditabung Adi setiap hari. Jika Adi menabung 10 hari, maka diperoleh persamaan:

10 × a = 10.000 . 10 000

a= = 1.000 10

Berarti setiap hari Adi menabung sebesar Rp 1.000,00.

Uji Kompetensi - 6.1

1. Perhatikan kalimat-kalimat berikut. naik sampai ketinggian 8.000 kaki. Tentukan

a) Samarinda adalah ibukota propinsi kenaikan posisi pesawat dengan penjumlahan Kalimantan Timur.

bilangan bulat!

b) 2 + 3 = 6

5. Harga satu 1 kg Apukat satu bulan yang lalu

c) 2 adalah bilangan prima terkecil dan Rp 6.000,00. Karena sekarang sedang musim merupakan bilangan genap.

Alpukat, harganya dipasaran turun hingga

d) 4b – 9 = 4b – 9 Rp 2.000,00 per kg. Coba tentukan harga Manakah dari antara kalimat tersebut yang

penurunan Alpukat dengan penjumlahan merupakan kalimat tertutup dan kalimat terbuka?

bilangan bulat!

2. Manakah di bawah ini yang merupakan

6. Lina menyiapkan 40 kotak kue untuk ulang Persamaan linear Satu Variabel?

tahunnya. Kue tersebut dibawa ke kelas untuk

a. 2x – 4 = 8 dibagikan ke teman sekelasnya masing-masing

b. – 4 + 3s = 24 satu. Karena ada temannya yang tidak masuk,

c. – 8 – d 2 = 32 maka ada kotak kue yang tersisa.

d. 5(u – 2) = u – 2

a. Buat kalimat tertutup yang menyatakan

3. Tentukan nilai x, jika (2x + 1) + (2x + 2) + (2x banyaknya kue yang dibagikan dengan + 3) + … + (2x + 50) = 4275.

murid yang tidak masuk.

4. Sebuah pesawat mula-mula terbang pada b. Bila yang tidak masuk 3 orang,berapakah ketinggian 3.500 kaki di atas permukaan laut.

kotak kue yang dibagikan? Karena gumpalan awan, pesawat terbang