HUBUNGAN ANTAR SUDUT
4. HUBUNGAN ANTAR SUDUT
a. Sudut Yang Saling Bertolak Belakang
Mari kita perhatikan gambar berikut ini
Gambar 3.22: Sudut-sudut bertolak belakang
Pasangan ∠ AOB dan ∠ COD dan pasangan ∠ BOC dan ∠ AOD merupakan sudut-sudut bertolak belakang. Selain itu, pada gambar tersebut, ∠ AOB dan ∠ BOC adalah pasangan sudut berpelurus, sedemikian sehingga berlaku:
AOB + BOC = 180 0 , maka BOC = 180 0 − AOB
AOB + AOD = 180 0 , maka AOD = 180 0 − AOB
Dari (1) dan (2), berlaku bahwa, BOC = AOD = 180 0 − AOB
Dengan cara yang sama, dapat diperoleh ∠ AOB dan ∠ COD adalah pasangan sudut yang bertolak belakang dan besarnya sama. (Tunjukkan)
Dengan demikian dapat disimpulkan sebagai berikut.
Sifat-3.1
Sudut-sudut yang bertolak belakang sama besar.
Contoh 3.6
Perhatikan Gambar 3.23 di samping!
Tentukanlah nilai x o + o +z o y !
Untuk menyelesaikan soal ini, kita harus memahami
42 pasangan sudut yang saling bertolak belakang. Pasangan- ° pasangan sudut bertolak belakang dari Gambar 3.23 sebagai
berikut. ° 3 𝑦𝑦
Gambar 3.23: Pasangan sudut-sudut bertolak belakang
174 Kelas VII SMP/MTs
• 68° sama besar dengan 5z °+ 3° 68° = 5z° + 3° z °=13°
• 120° sama besar dengan 2x° 2x ° = 120° x ° = 60°
• 3y° sama besar dengan 52°
3 y° = 52° y° = 14° Jadi nilai x ° + y° + z° = 60° + 14° + 13° = 87°.
b. Sudut yang Terbentuk oleh Dua Garis Sejajar yang Dipotong oleh Garis Lain.
Perhatikan objek-objek berikut ini yang menggunakan konsep kesejajaran.
Gambar 3.24: Beberapa objek yang menggunakan konsep kesejajaran
Matematika
Apa yang terjadi, jika untuk ke empat objek di atas tidak menggunakan kesejajaran? (berikan penjelasanmu). Untuk kawat konduktor, seandainya ada kawat yang dipasang bersilangan akan
menimbulkan bahaya api listrik untuk manusia. Susunan posisi tempat duduk di mobil dan keyboard komputer mengaplikasikan konsep kesejajaran untuk memudahkan kita menggunakan kedua barang tersebut.
Sekarang kita perhatikan hal-hal pada gambar di bawah ini! Masing-masing gambar mendeskripsikan garis-garis sejajar pada satu bidang dipotong oleh garis lain.
(iii)
Gambar 3.25: Objek nyata beberapa garis sejajar dipotong garis lain
Coba kita perhatikan rel kereta api pada Gambar 3.25 di atas! Dua garis berwarna hijau, merupakan dua segmen garis sejajar, kita
sebut garis k dan garis l, dipotong oleh garis berwana merah, kita sebut garis m. Kamu perlu memahami sifat-sifat apa yang berlaku untuk setiap sudut-sudut yang terbentuk. Untuk memudahkan kamu memahami perilaku sudut yang terbentuk, coba perhatikan Gambar
176 Kelas VII SMP/MTs
Untuk memudahkan kita memahami perilaku sudut yang terbentuk, mari kita
mk
Gambar 3.26: Sudut-sudut yang terbentuk pada saat dua garis sejajar dipotong oleh satu garis yang sama
oleh s
Sebagai latihanmu:
♦ Pada subbab di atas, kita telah memahami dua sudut berpelurus. Tentunya pada gambar di atas, terdapat beberapa pasang sudut saling berpelurus. Bisakah kamu sebutkan satu per satu?
♦ Selain itu, terdapat juga beberapa pasang sudut bertolak belakang, sebutkan semua pasangan sudut bertolak belakang pada Gambar 3.26!
c. Sudut-Sudut Sehadap
Pada gambar di atas, kita menemukan beberapa pasangan-pasangan sudut berdasarkan posisi pada hasil perpotongan dua garis sejajar dengan satu garis, misalnya, ∠ A 1 dan ∠ B 1 . Tampak pada gambar bahwa, sudut ∠A 1 dan ∠B 1 menghadap arah yang sama. Demikian halnya pasangan sudut ∠A 2 dan ∠B 2 , ∠A 3 dan ∠B 3 , serta ∠A 4 dan ∠B . Sudut-sudut yang demikian dimaknai sebagai sudut-sudut sehadap dan 4
besarnya sama. Jadi dapat dituliskan bahwa: ∠A 1 sehadap dengan ∠B 1 , dan A 1 = B 1
∠A sehadap dengan ∠B , dan A B 2
∠A 3 sehadap dengan ∠B
3 , dan A 3 = B 3
∠A 4 sehadap dengan ∠B 4 , dan A 4 = B 4
Dari sajian di atas, dua sudut sehadap didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 3.3
A dan ∠ B dikatakan sudut sehadap jika dan hanya jika kedua sudut menghadap arah yang sama dan dikatakan sudut sehahap jika dan hanya jika kedua sudut besar sudutnya sama. menghadap arah dan besar yang sama.
Contoh 3.7
Perhatikan posisi setiap pasangan sudut pada gambar berikut ini! Tentukanlah nilai x, lalu tentukanlah besar sudut yang lain!
Gambar 3.27: Segmen garis BC sejajar dengan DE
Matematika
Penyelesaian
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita dapat memperpanjang segmen garis AB dan segmen garis AC. Karena AB = AC, maka ABC = ACB. 145 0 + ABC = 180 o , maka
ABC = 35 o = ACB, akibatnya sudut pelurus ACB = 145 o . Dari gambar di samping, tampak bahwa sudut 145 o sehadap
dengan ∠A , itu berarti A = 145 1 o 1 .
Di sisi lain o A
1 + 2x =180 o , maka diperoleh
2x o = 35 o atau x o = 17,5 o .
♦ Dengan diperoleh x o = 17,5 o , tentunya sudah lebih mudah bagi kamu untuk menentukan besar sudut yang lain
d. Sudut-Sudut Dalam Sepihak dan Luar Sepihak
Kembali menggunakan Gambar 3.28, kita dapat menemukan pasangan sudut sudut berikut. Perhatikan ∠A 4 dan ∠B 1 , keduanya terletak di sebelah dalam garis k dan l, serta berada di sebelah kiri (sepihak) garis m. Pasangan sudut ini disebut sudut-sudut dalam sepihak.
Adapun pasangan sudut-sudut dalam sepihak pada gambar nya m
di samping adalah: n l, ∠A
4 dalam sepihak dengan sudut ∠B 1 .
∠A 3 dalam sepihak dengan sudut ∠B 2 .
(sepihak)
Sebelumnya telah kita ketahui bahwa ∠A 1 sehadap dengan disebut
∠B 1 dan ∠A 1 = ∠B 1 . Di sisi lain, ∠A 1 berpelurus dengan ∠A 4 , atau A 1 + A 4
=180 . Karena A 1 = B 1 , maka berlaku:
dalam
A 4 + B 1 =180 o.
Dengan lain yang sama diperoleh A 3 + B 2 = 180°.
lah:
Gambar 3.28: Sudut-sudut dalam Sepihak
Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan hal berikut:
Jika ∠A 4 dalam sepihak dengan sudut ∠B 1 + maka A 4 = B 1 o = 180 .
Jika ∠A 3 dalam sepihak dengan sudut ∠B , maka 2 A 3 + B 2 = 180 o .
Sifat-3.2
Jika ∠
A dan ∠
B merupakan pasangan sudut dalam sepihak, maka A+ B=180°.
Cermati kembali Gambar 3.29 di samping. Pasangan ∠A 1 dan ∠B 4 berada diluar garis k dan garis l dan
berada pada pihak yang sama terhadap garis m. Demikian juga
dengan ∠A 2 dan ∠B 3 . Pasangan sudut-sudut seperti ini disebut sudut-sudut luar sepihak.
Gambar 3.29: Sudut-sudut dalam sepihak dan luar sepihak
178 Kelas VII SMP/MTs merupakan pasangan sudat dalam sepihak, maka
Adapun sudut-sudut luar sepihak pada Gambar 3.27 adalah:
∠A 1 adalah sudut luar sepihak dengan ∠B 4 . ∠A 2 adalah sudut luar sepihak dengan ∠B 3 .
Ingat kembali bahwa: A 1 = B 1 , dan
= 180 o B 1 + B 4 . Akibatnya, diperoleh
= 180 o A 1 + B 4 .
Dengan cara yang sama, berlaku A o 2 + B 3 = 180 .
Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan hal berikut.
Jika ∠A 1 luar sepihak dengan ∠B 4 , maka A 1 + B = 180 4 o .
Jika ∠A
, maka
2 luar sepihak dengan ∠B 3 A 2 + B 3 = 180 .
Sifat-3.3
Jika ∠
A dan ∠
B merupakan pasangan sudut luar sepihak, maka A+ B=180°.
Contoh 3.8
Perhatikan gambar di samping ini!
o P Diketahui: P P 1 = (3a + 45) , dan Q = (5a + 23) .
1 3 3 P Tentukanlah besar ∠Q !
Penyelesaian
Ingat kembali pasangan sudut-sudut sehadap, P 1 = Q 1 =(3a + 45)°.
Q 4 Q 3 maka Q 1 = Q 3 = (5a + 23)°.
Di sisi lain, ∠Q 1 dan ∠Q 3 adalah dua sudut yang saling bertolak belakang,
Dari kedua hubungan tersebut, kita bisa tuliskan bahwa: 3a + 45 = 5a + 23 5a - 3a = 45 - 23 2a = 22
a = 11
Sehingga besar ∠Q = 5(11) + 23 = 78 1 o .
e. Sudut-Sudut Dalam Berseberangan dan Luar Berseberangan
Perhatikan Gambar 3.30 di samping,
Perhatikan posisi ∠A 4 dan ∠B 2 ! Kedua sudut berada di antara garis
k dan garis l, dan saling berseberangan. Demikian halnya pasangan
∠A 3 dan ∠B 1.
Oleh karena itu dapat kita tulis bahwa: ∠A
4 dan ∠B 2 merupakan pasangan sudut dalam berseberangan.
∠A 3 dan ∠B 1 merupakan pasangan sudut dalam berseberangan.
Gambar 3.30: Sudut-sudut dalam berseberangan
Matematika
(pasangan sudut sehadap), dan (pasangan sudut bertolak belakang).
Sekarang kita ingin mengetahui hubungan pasangan-pasangan sudut tersebut. Cermati kembali bahwa,
(pasangan sudut sehadap), dan
= B (pasangan sudut
2 bertolak belakang).
Oleh karena itu, berlaku bahwa A 4 = B 2 . Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa A 3 = B 1 .
Hubungan sudut-sudut dalam berseberangan dituliskan sebagai
berikut.
Jika ∠A 4 dalam berseberangan dengan ∠B 2 , maka A 4 = B 2 . Jika ∠A 3 dalam berseberangan dengan ∠B 1 , maka A 3 = B 1 .
Sekarang, perhatikan posisi ∠ A 1 dan ∠ B 3 . ∠ A 1 dan ∠ B 3 merupakan pasangan sudut luar berseberangan. Demikian halnya pasangan ∠ A 2
dan ∠ B 4 .
Dengan hal yang sama, tunjukkan bahwa dua sudut luar berseberangan besarnya sama.
Gambar 3.31: Sudut-sudut dalam ber- seberangan
Sifat-3.3
Dua sudut dalam berseberangan dan dua sudut luar berseberangan besarnya sama. Dua sudut dalam berseberangan dan dua sudut luar berseberangan
besarnya sama.
Contoh 3.9
Pada gambar di samping, diketahui S = (4b + 62) o 1 , dan
T = (5b + 37) o 2 . Tentukanlah besar ∠S 2 + ∠T 1 !
Penyelesaian
Dengan pemahaman akan hubungan sudut-sudut luar berseberangan, S 4 S 3
kita dapat pahami bahwa: S =
T = (4b + 62) o 1 3 . Sedangkan hubungan ∠T 2 dan ∠T 3
T 1 T 2 dapat ditulis bahwa:
adalah sudut berpelurus, atau T 2 + T 3 = 180 o . Oleh karena itu
T 4 T 3 5b + 37 + 4b + 62 = 180 o
9b + 99
= 180 o an
9b = 81 o
b =9 o Oleh sebab itu, S = (4(9) + 62) o 1 = 98 o = T 3 (pasangan sudut luar berseberangan), dan T 2 = (5(9)
+ 37) o = 82 o .
Sekarang untuk menentukan S 2 + T 1 , kamu harus menentukan besar ∠S 2 terlebih dahulu karena
1 = T 1 = 98 (pasangan sudut sehadap). Karena berpelurus,
1 + S 2 = 180 atau S 2 = 180 − 98 = 82 .
Jadi, o S
2 + T 1 = 82 0 + 98 o = 180 .
Sebagai latihanmu:
♦ Pikirkan cara menghitung S 2 + T 1 , tanpa menghitung nilai b terlebih
dahulu.
180 Kelas VII SMP/MTs
(pasangan sudut luar
(pasangan sudut sehadap).
Uji Kompetensi - 3.2 Uji Kompetensi - 3.2
1. Perhatikan gambar di bawah ini!
Tentukanlah besar sudut:
1 2 1 2 5. Jika sudut yang besarnya p
o dalam sepihak
C dengan sudut yang besarnya q o dan diketahui
q = 112 o . Tentukanlah nilai!
Sebutkanlah pasangan-pasangan:
y Sudut-sudut sehadap!
Petunjuk: Untuk
Petunjuk: Untuk soal nomor 6 sampai 10,
Sudut-sudut sepihak (dalam dan luar)! udut sepihak ( dalam dan luar )
tentukanlah nilai x dan y!
Sudut-sudut berseberangan (dalam dan luar)! (
2. Nyatakanlah kebenaran setiap pernyatan berikut ini!
a. Besar dua sudut sehadap selalu sama dengan 180 o !
b. Besar dua sudut sepihak dalam lebih besar
dari jumlah dua sudut sehadap!
c. Besar setiap sudut dalam berseberangan
selalu berupa sudut tumpul!
d. Tidak pernah ukuran suatu sudut dalam
sepihak sama dengan 90 !
3. Perhatikanlah gambar berikut ini!
ng
luar sudut
A B 8.
Tentukan sudut-sudut yang merupakan pasangan sudut luar berseberangan dengan
sudut-sudut berikut. 9.
a. ∠FID 9
b. ∠JKB
c. ∠CIE
4. Salinlah gambar berikut ini, kemudian tentu-
kanlah besar sudut yang belum diketahui!
Petunjuk: Untuk
Matematika
Projek
Amati benda-benda di sekitarnmu yang mengandung unsur-unsur garis sejajar, garis tegak lurus, sudut sehadap, sudut berseberangan, dan lain-lain konsep yang dijelaskan pada bab ini. Ambil foto atau gambar sketsa benda-benda tersebut, dan tunjukkan letak dari konsep- konsep yang telah kamu pelajari di atas. Buat laporannya dan paparkan di kelas!