= =
3.10
Oleh karena adalah suatu peluang dan berdasarkan persamaan 3.1,
persamaan 3.10 dibatasi bahwa ≠ 0, dengan
= =
Selanjutnya, dapat ditulis
=
=
.
3.11
Terlihat bahwa bergantung pada variabel
S
,
I
dan melalui
variabel pada persamaan 3.1 yaitu peluang seorang pecandu merupakan pecandu yang terinfeksi. Berdasarkan 3.10 dan fungsi
dapat ditulis sebagai =
3.12 dengan
=
3.3. Analisa Kualitatif Model
Pada penelitian ini, diasumsikan bahwa pecandu narkoba suntik IDU yang menyadari sudah mengidap AIDS ikut berbagi suntikan dan bergabung dalam grup.
Oleh karena itu, model yang diperhatikan laju perubahan kelompok pecandu
susceptibles
, laju peruban kelompok
infectious
dan laju perubahan kelompok yang telah mengidap penyakit AIDS dengan
R
= ℝ
2
, yakni
Universitas Sumatera Utara
= =
–
S
– ,
3.13 =
= –
– , 3.14
= =
– –
, 3.15
Untuk setiap R dengan
I
≠ 0 dapat dimisalkan
= 3.16
=
=
Berdasarkan 3.4, persamaan 3.14 dapat ditulis : =
– –
= –
= –
= –
. Misalkan
= –
, untuk
I
≠ 0, 3.17
= ,
untuk
I
≥ 0. 3.18
Selanjutnya persamaan 3.14 dapat ditulis =
. 3.19
Oleh karena adalah laju perubahan populasi pecandu
infectious
per satuan waktu, maka berdasarkan persamaan 3.19 dapat disimpulkan bahwa
Universitas Sumatera Utara
merupakan faktor yang berpengaruh penting dalam menekan laju pertambahan populasi pecandu
infectious
per satuan waktu. Berdasarkan sistem persamaan 3.13, 3.14 dan 3.15, fungsi
sangat berpengaruh dalam sistem dinamik tersebut. Oleh karena itu turunan parsial terhadap
variabel
S
,
I
dan fungsi dan fungsi-fungsi lain yang berhubungan dengan
sistem perlu diamati untuk mempermudah analisa sistem
Turunan Parsial
Untuk lebih mudah mengamati turunan parsial fungsi , maka dapat dilihat
dari persamaan =
sesuai 3.11, sehingga dapat ditulis sebagai berikut
=
.
Misalkan 1.
D
= 2.
R
= 3.
T
= 4.
W
=
=
Oleh karena dan merupakan suatu peluang 0 dan 0, maka jelas
bahwa a.
1 b.
1 c.
1 d.
1 dengan demikian dapat disimpulkan
1.
D
= ≥ 0
2.
R
≥ 0 3.
T
Universitas Sumatera Utara
4.
W
≥ 0 5.
6. 1
7. 8.
, maka ≥ 0.
Untuk melihat tanda dari ,
dan
,
dapat dilihat dari bentuk , dengan
1.
=
2. =
≥ 0 3.
= 4.
= ≥ 0
5. = 2
6. =
≥ 0
Oleh karena =
≤ 0
,
= ≥ 0 dan
= ≤ 0 maka diperoleh kesimpulan bahwa
≤ 0 3.20
≤ 0 dan 3.21
≥ 0 untuk semua
R
3.22
Universitas Sumatera Utara
Dengan demikian 3.20, 3.21 dan 3.22 mengakibatkan turunan parsial fungsi kekuatan infeksi
sesuai 3.4 adalah ≤ 0,
≥ 0 dan ≤ 0.
Turunan Parsial
Oleh karena =
= , maka untuk melihat
perilaku bernilai positif atau nagatif dari turunan parsial
,
dan dapat
lebih muda dilihat melalui persamaan
=
Dengan 0 ≤
≤ 1. Dengan demikian turunan parsial terhadap
adalah
=
≤0
Oleh karena ≤ 0
,
≥ 0 dan ≤ 0 maka diperoleh kesimpulan
≥ 0
,
≤ 0 dan ≥ 0 untuk semua
R
.
Turunan parsial
Berdasarkan persamaan 3.17 maka turunan parsial terhadap
adalah sebagai berikut =
Universitas Sumatera Utara
Oleh karena ≥ 0 dan ≥ 0, maka
≥ 0. Turunan parsial terhadap
adalah =
Berdasarkan kesimpulan sebelumnya bahwa Oelh karena ≥ 0 dan ≥ 0, maka
≤ 0. Selanjutnya turunan parsil
terhadap adalah
=
Berdasarkan kesimpulan sebelumnya bahwa Oelh karena ≥ 0 dan ≥ 0, maka
≥ 0. Dengan demikian dapat disimpulkan
≥ 0. 3.23
≤ 0. 3.24
≥ 0. 3.25
3.4.
Basic Reproduction Ratio
Untuk memahami penyebaran HIV melalui model matematika, dapat dilakukan dengan melakukan analisa dinamika model matematika 3.13, 3.14 dan 3.15.
Analisa dinamika pada pemodelan penyebaran infeksi HIV pada komuniatas IDU dimaksudkan untuk mengetahui pada nilai batasan mana yan mampu mempengaruhi
penyebaran infeksi HIV pada komunitas IDU. Nilai batasan yang di maksud dalam penelitian adalah
basic reproduction ratio
, yaitu nilai yang menunjukkan apakah penyebaran infeksi HIV menjadi epidemik atau tidak pada komnitas IDU.
Universitas Sumatera Utara
Berdasarkan landasan teori pada subbab 2.5, pada kasus ini X =
S
, Y =
I
, Z =
A
maka dengan mencari solusi = 0,
= 0 dan = 0 sesuai
persamaan 3.13, 3.14 dan 3.15 diperoleh =
= Berdasrakan metode operator generasi selanjutnya, dalam menentukan
Φ
diperlukan informasi sebagai berikut =
. Dengan demikian
Φ, dapat ditulis dalam bentuk Φ =
= =
. Oleh karena
Φ dapat dituliskan dalam bentuk Φ =
dengan =
≥ 0 dan =
0,
maka sesuai dengan definisi radius spektral diperoleh
=
J =
.
Dengan demikian,
basic reproduction ratio
untuk sistem persemaan 3.13, 3.14 dan 3.15 adalah
=
.
3.26
3.5. Kesetimbangan dan Kestabilan Model
