Dalam metode ini,
Basic Reproduction Ratio
didefinisikan sebagai radius spektral dari operator generasi selanjutnya.
Definisi 2.10.
Misalkan
Φ adalah matriks
n
x
n
dan ,
, ..., adalah nilai eigen dari matriks
Φ ,
maka radius spektral dari matriks
Φ didefinisikan sebagai Φ =
.
Metode Operator Generasi Selanjutnya
Metode operator generasi selanjutnya merupakan metode yang dilakukan dengan cara mengeompokkan populasi kedalam 3 kelompok individu yaitu kelompok individu
yang tidak terinfeksi, kelompok individu terifeksi tetapi tidak menularkan, dan kelompok individu terinfeksi dan menularkan. Misalkan
1.
Komponen X menyatakan kelas-kelas individu yang tidak terinfeksi penyakit
yang sedang diobservasi 2.
Komponen Y menyatakan kelas-kelas individu yang terinfeksi penyakit yang
sedang diobservasi, tetapi tidak menularkan penykit tersebut 3.
Komponen Z menyatakan kelas-kelas individu yang terinfeksi penyakit yang
sedang diobservasi dan dapat menularkan penykit tersebut.
Dengan demikian, model epidemik suatu penyakit dapat dituliskan dalam bentuk =
f
X, Y, Z, =
X, Y, Z, 2.21
=
h
X, Y, Z, dengan X
, Y , dan Z
;
r
,
s
,
n
≥ 0 ; dan
h
X, 0, 0 = 0.
Dalam metode operator generasi selanjutnya dimisalkan
= X , 0, 0
adalah titik kesetimbangan bebas-infeksi dari sistem persamaan 2.21, yang diperoleh dari persamaan
f
X , 0, 0 = 0, X
, 0, 0 = 0, dan
h
X , 0, 0 = 0. Selanjutnya, diasumsikan persamaan X
, Y, Z = 0 sehingga
Universitas Sumatera Utara
diperoleh solusi Y = X
, Z. Oleh karena itu, dapat diperoleh sebuah matriks
berukuran
n
x
n
, Φ =
h
X , X
, 0, 0.
Misalkan
Φ dapat dituliskan dalam bentuk Φ = J – , dengan J ≥ 0, ≥ 0 dan ≥
0 adalah matriks diagonal. Dengan demikian didefinisikan sebagai radius spektral dari
matriks J , sehingga berdasarkan Definisi 2.10, diperoleh
= J .
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PEMODELAN PENYEBARAN INFEKSI HIV PADA KOMUNITAS IDU
Pada bab ini akan dibahas pemodelan penyebaran infeksi HIV pada komunitas
Injecting Drug Users
IDU. Berdasarkan penjelasan pada Bab 2 akan dilakukan analisa dinamik mengenai model penyebaran infeksi HIV pada komunitas IDU.
Sebelum melakukan anlisa dinamik terhadap model penyebaran infeksi HIV pada komunitas IDU, dibahas mengenai pembentukan model. Pembentukan model didasari
oleh asumsi yang sesuai dengan keadaan komunitas IDU dan sifat infeksi HIV. Pada alur dinamika penyebaran infeksi HIV dalam komunitas IDU, terdapat
faktor kekuatan infeksi. Faktor kekuatan infeksi memperhatikan asumsi-asumsi mekanisme pertukaran jarum suntik yang menyebabkan terjadinya penyebaran infeksi
HIV di dalam komunitas IDU. Selanjutnya, perilaku sistem dinamik dibahas dengan mengamati turunan parsial fungsi kekuatan infeksi dan faktor yang mempengaruhi
laju perubahan populasi pada komunitas IDU. Untuk mengetahui pola penyebaran infeksi pada komunitas IDU melalui
sistem dinamik, maka dicari
basic reproduction ratio
dan menentukan titik kesetimbangan dari sistem dinamik. Dengan demikian, melalui titik kesetimbangan
dinamika penyebaran infeksi HIV pada komunitas IDU dapat diamati dengan menetukan kestabilannya melalui
basic reproduction ratio.
3.1. Pembentukan Model
