Elemen identitas dari penjumlahan dan perkalian yaitu 0 dan 1. 5. Untuk setiap a, ada dengan tunggal elemen b dalam Z, sedemikian
sehingga a + b = 0, b disebut invers dari a terhadap operasi penjumlahan yang dinotasikan dengan –a .
6. Distributif a . b + c = a . b + a . c dan a + b . c = a . c + b . c
2.4.2 Group Ring dan Field
Group , ring dan field merupakan elemen mendasar dari cabang
matematika yang dikenal dengan aljabar abstrak atau aljabar modern[5]. Aljabar abstrak merupakan suatu kajian yang lebih mengarah ke suatu
himpunan elemen-elemennya dapat dioperasikan secara aljabar. Operasi yang dilakukan tergantung dari peraturan yang telah dibuat, misalnya
notasi yang telah umum dikenal, yaitu penjumlahan dan perkalian dalam bilangan.
Adapun sifat-sifat dari group, ring dan field yang akan dijelaskan pada sub bab 2.4.2.1 sampai dengan sub bab 2.4.2.3 bahasan
selanjutnya.
2.4.2.1 Group
Sebuah group G, dinotasikan dengan {G, } adalah himpunan dari elemen-elemen dengan operasi binernya
dan memenuhi beberapa aksioma berikut : 1. Tertutup
: jika a dan b G, maka a b G 2. Asosiatif
: a bc = a b c untuk setiap a, b, 18
c G. 3. Elemen Identitas : ada suatu elemen c G, sehingga
ae=ea=a untuk setiap a G. 4. Elemen Inverse
: untuk setiap a G ada suatu elemen a’ G, sehingga a a’= a’a = c
Suatu grup dinyatakan abelian jika memenuhi kondisi tambahan seperti di bawah ini :
5. Komutatif : a b = b a untuk setiap a, b G.
Suatu grup G dikatakan siklis jika tedapat g G sedemikian sehingga setiap elemen G dapat ditemukan dengan
perpangkatan bilangan bulat k atau g
k
. Bilangan g disebut generator
dari grup tersebut, ditulis G = {g}.
2.4.2.2 Ring
Suatu ring R, dinotasikan dengan R, +, , adalah himpunan dari elemen-elemen dengan dua operasi biner seperti
+ dan serta memenuhi aksioma-aksioma berikut : 1-5.
R adalah group komutatif dengan operasi penjumlahan. Berarti bahwa, R memenuhi aksioma 1 sampai dengan
5. 6.
Tertutup terhadap perkalian : jika a dan b R, maka
a b R. 7.
Asosiatif terhadap perkalian : a b c = a b c
untuk setiap a,b, c R. 19
10. Perkalian identitas
:
11. Tidak ada pembagi 0
: 8.
Distributif : a b + c = a b + a c
untuk setiap a,b,c R. a+b c = a c + b c
untuk setiap a,b,c R. Suatu ring dikatakan komutatif jika memenuhi
kondisi tambahan berikut : 9.
Komutatif terhadap perkalian : a b = b a untuk setiap a, b R.
Selanjutnya definisi integral domain, yakni merupakan ring yang komutatif dan memenuhi aksioma-aksioma berikut :
Ada elemen 1 pada R, sehingga a 1 = 1 a = a
untuk setiap a R. Jika a,b R dan a b = 0
Maka a = 0 atau b = 0.
2.4.2.3 Field
Sebuah field F, dinotasikan dengan {F, +, }, adalah sebuah himpunan dari elemen-elemen dengan dua operasi
biner yaitu + dan , sehingga untuk setiap a, b, c F memenuhi beberapa aksioma berikut :
1-11 F adalah suatu integral domain, berarti bahwa F memenuhi aksioma-aksioma mulai dari 1-5 dan 6-11.
12. Inverse perkalian
: untuk setiap a F, kecuali 0, ada 20
suatu elemen a
-1
F. Sehingga a a
-1
= a
-1
a = 1. Dari penjelasan mengenai group, Ring, dan field di atas
dapat diambil kesimpulan bahwa group merupakan bagian dari ring
dan ring merupakan bagian dari field, sehingga group merupakan elemen terkecil dari sebuah field. Penjelasan
mengenai group, Ring, dan field dapat dilihat menggunakan skema yang terdapat pada lampiran 2.
2.4.3 Finite Field
