6
2.2. Distribusi Two-Parameter Generalized RayleighG2R
Raqab 2005 menjelaskan bahwa distribusi two-parameter generalized Rayleigh G2R merupakan salah satu distribusi kontinu yang memiliki dua parameter,
yaitu α dan λ. Raqab memisalkan X adalah random variabel dari distribusi G2R sehingga fkp nya adalah
, ,
; 1
2 ,
,
1 2
2 2
λ α
αλ λ
α
α λ
λ
x e
xe x
f
x x
Gambar 2. Grafik fkp distribusi generalized Rayleigh
Xiao Ling dan David E. Giles 2011 telah memperoleh fkp dari distribusi generalized Rayleigh dengan melakukan perhitungan dari fkp distribusi Rayleigh,
distribusi Half-Normal, distribusi Maxwell, dan distribusi Chi-Square. Dari penjelasan tersebut, maka diketahui bahwa distribusi two-parameter generalized
Rayleigh diperoleh dari penggabungan distribusi Rayleigh dengan beberapa distribusi lain.
7
III. FUNGSI-FUNGSI KHUSUS
Dalam penelitian ini, untuk menentukan momen, kumulan, dan fungsi karakteristik distribusi G2R, penulis menggunakan beberapa fungsi khusus yang
berkaitan dengan hasil yang ingin dicapai dalam penelitian ini, yaitu:
3.1. Fungsi Beta
Nakhi 2001 menjelaskan tentang fungsi beta yang dinotasikan dengan ,
dan didefinisikan sebagai berikut:
1 1
1 1
, dx
b x
a x
b a
B
dengan
, b
a B
konvergen untuk a, b 0
Selain itu, Nakhi 2001 juga mengungkapkan bahwa sifat yang dimiliki fungsi
beta adalah simetris, yaitu :
, ,
a b
B b
a B
Bukti :
1 1
1 1
, dx
b x
a x
b a
B
Dengan menggunakan transformasi x = 1 – y, maka diperoleh :
1 1
1 1
, dy
b y
a y
b a
B
8
1 1
1 1
, dy
a y
b y
b a
B
, ,
a b
B b
a B
3.2. Fungsi Gamma
Abramowitz dan Stegun 1972 menjelaskan tentang fungsi gamma yang dinotasikan dengan
n
yang konvergen untuk n 0 dan didefinisikan sebagai berikut :
dx x
e n
x n
1
Rumus rekursi untuk fungsi gamma adalah sebagai berikut: 1
n n
n
Fungsi digamma merupakan hasil turunan pertama dari fungsi gamma yang didefinisikan sebagai berikut :
] [ln
z z
dz z
d z
ψ
Selain fungsi digamma, ada juga fungsi polygamma yaitu fungsi yang diperoleh dari
turunan ke-n fungsi gamma
dan didefinisikan sebagai berikut:
ln
1 1
z
n dz
n d
z n
dz n
d z
n
ψ ψ
n = 1, 2, 3, ...