8
1 1
1 1
, dy
a y
b y
b a
B
, ,
a b
B b
a B
3.2. Fungsi Gamma
Abramowitz dan Stegun 1972 menjelaskan tentang fungsi gamma yang dinotasikan dengan
n
yang konvergen untuk n 0 dan didefinisikan sebagai berikut :
dx x
e n
x n
1
Rumus rekursi untuk fungsi gamma adalah sebagai berikut: 1
n n
n
Fungsi digamma merupakan hasil turunan pertama dari fungsi gamma yang didefinisikan sebagai berikut :
] [ln
z z
dz z
d z
ψ
Selain fungsi digamma, ada juga fungsi polygamma yaitu fungsi yang diperoleh dari
turunan ke-n fungsi gamma
dan didefinisikan sebagai berikut:
ln
1 1
z
n dz
n d
z n
dz n
d z
n
ψ ψ
n = 1, 2, 3, ...
9
3.3. Hubungan Distribusi Beta Dengan Distribusi Gamma
Pada penelitian ini, transformasi distribusi beta menjadi distribusi gamma digunakan untuk mentransformasi fungsi karakteristik distribusi G2R menjadi
bentuk yang lebih sederhana. Mc Donald 1995 telah menjelaskan bahwa untuk menghitung nilai fungsi beta digunakan hasil dari fungsi gamma.
Dengan menggunakan koordinat polar, dilakukan perhitungan berikut : Ambil :
θ
2
sin
x
θ θ
θ d
dx cos
sin 2
Batas-batas integral :
2 1
π θ
θ
x
x
1 1
1
1 ,
dx x
x b
a B
b a
2 1
2 1
2
cos sin
2 sin
1 sin
π
θ θ
θ θ
θ d
b a
2 1
2 2
2
cos sin
2 cos
sin
π
θ θ
θ θ
θ d
b a
2 2
2 2
2
cos sin
2 cos
sin
π
θ θ
θ θ
θ d
b a
2 1
2 1
2
cos sin
2
π
θ θ
θ d
b a
10 Setelah perhitungan fungsi beta di atas, kemudian dilakukan perhitungan dengan
menggunakan fungsi gamma, yaitu sebagai berikut.
Dengan mengambil definisi fungsi gamma, diperoleh
a
=
1
dx e
x
x a
ambil
udu dx
u x
2
2
, maka memenuhi
= du
u e
u
u a
2
2
2
2
du e
u
u a
1 2
2
2
b
=
1
dx e
x
x b
ambil
vdv dx
v x
2
2
, maka memenuhi =
2
2
2
2
vdv e
v
v n
1 2
2
2 dv
e v
v n
b a
=
1
2
2
2 du
e u
u a
1
2
2
2 dv
e v
v b
= 4
1 2
1 2
2 2
dudv e
v u
v u
b a
Kategori