Fungsi Beta Fungsi Gamma
10 Setelah perhitungan fungsi beta di atas, kemudian dilakukan perhitungan dengan
menggunakan fungsi gamma, yaitu sebagai berikut.
Dengan mengambil definisi fungsi gamma, diperoleh
a
=
1
dx e
x
x a
ambil
udu dx
u x
2
2
, maka memenuhi
= du
u e
u
u a
2
2
2
2
du e
u
u a
1 2
2
2
b
=
1
dx e
x
x b
ambil
vdv dx
v x
2
2
, maka memenuhi =
2
2
2
2
vdv e
v
v n
1 2
2
2 dv
e v
v n
b a
=
1
2
2
2 du
e u
u a
1
2
2
2 dv
e v
v b
= 4
1 2
1 2
2 2
dudv e
v u
v u
b a
11
θ r
u v
u,v=r,θ
X Y
Dengan menggunakan transformasi koordinat kutub, yaitu sebagai berikut.
Sehingga diperoleh u = r cos θ dan v = r sin θ, maka dengan menggunakan transformasi parameter diperoleh persamaan berikut:
b a
= 4
θ θ
θ θ
π
d v
d u
dr v
dr u
e r
r
r b
a
1 2
1 2
2
2
sin cos
dr d
θ
= 4
1 2
1 2
2
2
sin cos
r b
a
e r
r θ
θ
π
θ θ
θ θ
cos .
sin .
sin cos
r r
dr d
θ
= 4
1 2
1 2
2
2
sin cos
r b
a
e r
r θ
θ
π
r dr d
θ
= 4
1 2
1 2
1 2
2
sin cos
2
θ θ
π b
a r
b a
e r
dr d
θ
=
1
2
2
2 dr
e r
r b
a
θ θ
θ
π
d Sin
Cos
b a
2 1
2 1
2
2
, b
a B
b a
b a
Jadi, diperoleh rumus umum untuk menghitung nilai fungsi beta menggunakan fungsi gamma, yaitu :
, b
a b
a b
a B
12