1
d u
uV dV
B u
d r
− =
− +
. 4
Bukti: lihat Lampiran 1
Dengan menggantikan nilai
A
dan
B
ke
V AS
B =
+
, diperoleh nilai proyek sebagai berikut:
1 1
1
u d
r d
u r
V V
u d
u d
V r
+ − −
+ +
− −
= +
atau
1 1
u d
pV p V
V r
+ −
= +
5 dengan
1 r t d p
u d
+ ∆ − =
−
.
Bukti: lihat Lampiran 2.
p
menyatakan peluang risk-neutral dalam keadaan naik. Nilai
p
dan
1 p −
selalu konstan di setiap periode.
Jika nilai proyek mengikuti Geometric Brownian Motion
GBM maka perkiraan nilai proyek memiliki distribusi lognormal dan
menghasilkan
t
u e
σ ∆
=
. Penentuan nilai proyek dapat
menggunakan pohon keputusan binomial pada nilai saham seperti pada gambar 1. Pada
waktu 0, nilai proyek diketahui, dan pada waktu
t ∆
, terdapat dua kemungkinan nilai proyek, yaitu nilai proyek dalam keadaan naik
dan nilai proyek dalam keadaan turun. Untuk waktu
2 t ∆
, terdapat tiga kemungkinan nilai proyek, dan seterusnya.
2.6 Model Binomial
Model penentu harga opsi binomial atau dikenal dengan model binomial dapat
digunakan untuk mengestimasi nilai suatu opsi put atau opsi call. Model binomial
memperhitungkan naik atau turunnya harga saham dalam periode tertentu.
2.6.1 Model Binomial Satu periode
Misalkan harga saham dalam sebuah opsi yang tersedia adalah S. Misalkan pula opsi
call memiliki satu periode eksekusi sebelum
jatuh tempo. Periode investasi dimulai pada saat
. Ketika opsi call jatuh tempo, harga saham akan mengambil satu di antara dua
nilai: meningkat dengan faktor u atau menurun dengan faktor d. Jika meningkat
maka harga saham akan menjadi Su dan jika menurun menjadi Sd.
Misalkan suku bunga bebas risiko dinyatakan dengan r, merupakan suku bunga
yang dihasilkan dari investasi selama periode opsi. Suku bunga ini berada di antara tingkat
imbal hasil jika harga saham naik atau turun. Sehingga
6 7 2 + 7 8 6
Misalnya sebuah portofolio terdiri dari h bagian saham dan satu opsi call. Nilai
portofolio tersebut sama dengan nilai beli h bagian saham dikurangi nilai jual satu opsi
call
. Nilai portofolio saat ini dimisalkan sebagai
V , dengan
9 dan h sebagai rasio
hedge penghindar. Pada akhir periode,
nilai portofolio akan menjadi
:
jika harga saham naik dan
;
jika harga saham turun. Sehingga nilai V menjadi
:
9
: :
atau
;
9
; ;
. Posisi bebas risiko diperoleh jika
: ;
, sehingga dapat ditentukan nilai h dengan menyelesaikan persamaan berikut
9
: :
9
; ;
Nilai h menjadi 9
= ?
= ?
.
7 Nilai portofolio V setelah satu periode
dimisalkan menjadi
:
sehingga 2 +
:
A 9 2 +
9 8
:
. 8 Substitusikan persamaan di atas ke dalam
persamaan sehingga diperoleh
B
=
B
?
9 dengan
; :;
.
2.6.2 Model Binomial Dua Periode
Misalkan harga saham dalam sebuah opsi yang tersedia adalah S. Misalkan
pula opsi call memiliki dua periode eksekusi sebelum jatuh tempo. Periode
investasi dimulai pada saat . Ketika
opsi call jatuh tempo, harga saham akan mengambil satu di antara dua nilai:
meningkat dengan faktor u atau menurun dengan faktor d. Jika meningkat maka
harga saham menjadi Su dan jika menurun menjadi Sd.
Misalkan pada akhir periode harga saham meningkat menjadi Su.
Selama periode kedua mungkin berada pada salah satu
di antara dua keadaan, yaitu naik atau turun menjadi Su
2
atau Sud. Jika pada periode pertama harga saham turun menjadi Sd, pada
periode kedua akan berada pada posisi naik
menjadi Sdu atau turun lagi menjadi Sd
2
, sehingga
:
,
8
:;
86
;
,
6 Dengan menggunakan model satu periode,
harga c
u
dan c
d
menjadi:
: B
=,
B
=?
10
; B
=?
B
?,
11 Substitusikan ke persamaan
:
+ 2
;
2 + Sehingga diperoleh
B
, =,
B B
=?
B
, ?,
,
12
2.6.3 Model Binomial n Periode
Dengan cara yang sama dapat diturunkan nilai opsi call Eropa model binomial 3 periode
dan n periode. Pada kedua model binomial, nilai opsi call tersebut adalah c
3
dan c
n
dan dinyatakan sebagai berikut:
C B
D =D
CB
,
B
=,? D
+
CB B
, =?,
B
D ?D
D
13
E
FG
E :
H
+ F 2G
E
2
:
HI
;
2 +
E
+
F E E GB
HI,
B
, =HI,?,
H
+ -
+
FEGB B
HI =?HI
FEJG B
H ?H
H
.
Atau secara sederhana model binomial n periode dapat ditulis sebagai berikut:
E K
FELGB
M
B
HIM =M?HIM
H MNO
H
K FELGB
M
B
HIM
1:
M
;
HIM
P3
Q H
MNO H
14 dengan
:
M
;
HIM
1 8
L
6
EL
3 dan
1R3 R
2.7 Model Binomial dengan Suku Bunga Diskret
