33
Eliminasi z dengan mengoperasikan persamaan ii dan iii. Beri nama persamaan baru yang terbentuk dari operasi persamaan ii dan iii dengan persamaan v.
Langkah ke-2 : Eliminasi variabel y dari SPLDV iv dan v untuk menemukan
nilai x Langkah ke-3 : Temukan nilai dari y dan z menggunakan nilai x yang telah
diketahui
MENEMUKAN KONSEP SUBTITUSI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL SPLDV
CONTRAST: Membandingkan Metode Subtitusi dengan Tingkatan Berbeda Perhatikan persoalan SPLDV berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah
ini. Persoalan SPLDV 1
Jika pembilang dan penyebut sebuah pecahan kedua-duanya dikurangi 5, maka pecahan itu akan sama dengan .
Persoalan SPLDV 2 Jika pembilang dan penyebut sebuah pecahan kedua-duanya dikurangi 5, maka pecahan
itu akan sama dengan . Jika pembilang dan penyebut kedua-duanya ditambah 1, maka pecahan itu akan sama dengan .
4. Menyelesaikan SPLDV dan SPLTV dengan Subtitusi
Aktivitas 2.1
34
1. Tentukan nilai penyebut dari pecahan pada persoalan SPLDV 1 saat diketahui pembilangnya bernilai 2.
2. Buatlah model matematika dan tentukan nilai pecahan pada SPLDV 2 menggunakan metode yang sama dengan metode yang kamu terapkan saat
menyelesaikan SPLDV 1. Petunjuk: buatlah model matematika pada SPLDV 2 serupa dengan model matematika SPLDV 1
3. Metode yang kamu temukan di atas disebut dengan metode subtitusi. Jelaskan pengertian metode subtitusi dengan kata-katamu sendiri berdasarkan jawabanmu
pada nomor-nomor sebelumnya. Misalkan pembilang pecahan adalah x dan penyebut pecahan adalah y, maka
model matematika dari persoalan SPLDV 1 adalah = . Jika y=2, maka
kita tinggal mengganti nilai y dengan 2 untuk memperoleh nilai x, sehingga = − + 5 = .
− 5 − 5 =
1 2 ⇒ 2 − 10 = − 5 ⇒ = 2 − 5
+ 1 + 1 =
2 3 ⇒ 3 + 3 = 2 + 2 ⇒ 3 − 2 = −1
Misalkan pembilang pecahan adalah x dan penyebut pecahan adalah y, maka model matematika dari persoalan SPLDV 2 adalah:
Dengan menggunakan metode yang sama saat menyelesaikan persoalan SPLDV 1, kita dapat mensubtitusikan nilai y dari persamaan pertama ke
persamaan kedua. = 2 − 5 ⇒ 3 − 22 − 5 = −1 ⇒ 3 − 4 + 10 = −1 ⇒ =
11. = 11 ⇒ = 211 − 5 = 17.
Sehingga nilai pecahannya adalah .
Metode subtitusi adalah salah satu metode untuk menyelesaikan SPL dengan mengganti nilai salah satu variabel ke nilai variabel yang lain guna
menemukan nilai dari variabel lain tersebut.
35
MENGGUNAKAN SUBTITUSI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL SPLDV
BAGIAN A
SEPARATION: Memisahkan variabel tertentu dari aspek lainnya Perhatikan persoalan SPLDV berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah
ini. “Dua kali umur Damar ditambah umur Mayang adalah 27, sedangkan empat kali umur
Damar dikurang lima kali umur Mayang adalah 5. Misalkan x adalah umur Damar dan y adalah umur Mayang, tentukan umur keduanya.”
1. Bagaimana model matematika dari persoalan di atas?
2. Selesaikan model matematika dari persoalan di atas dengan dua cara jika memungkinkan pada kolom berikut.
Mensubtitusikan variabel yang mengandung x dahulu
Mensubtitusikan variabel yang mengandung y dahulu
Jika 2 + = 27 ⇒ 2 = 27 − , maka 4 − 5 = 5 ⇒ 2
2 − 5 = 5
⇒ 2 27 −
− 5 = 5 ⇒ 54 − 7 = 5
⇒ −7 = −49 ⇒ = 7.
Sehingga = 7 ⇒ 2 + 7 = 27 ⇒ = 10. Maka umur Damar adalah 10 tahun dan
umur Mayang adalah 7 tahun. Jika 2 + = 27 ⇒ = 27 − 2 , maka
4 − 5 = 5 ⇒ 4 − 527 − 2 = 5 ⇒ 4 − 135 + 10 = 5
⇒ 14 = 140 ⇒ = 10
Sehingga = 10 ⇒ 210 + = 27 ⇒
= 7. Maka umur Damar adalah 10 tahun dan
umur Mayang adalah 7 tahun.
3. Perhatikan persamaan-persamaan berikut dan tentukan variabel yang efektif disubtitusikan terlebih dahulu.
a. 3 + 4 = 10 2 − 4 = 5 c.
4 − 8 = 6 −5 + 4 = 3
b. + 2 = 6
+ 3 = 5 d. 3 − 11 = 14
12 + 3 = 9
Aktivitas 2.2
2 + = 27 4 − 5 = 5
Misalkan x adalah umur Damar dan y adalah umur Mayang, maka sistem persamaan linear dari persoalan di atas adalah
Poin a: subtitusikan 4 ke salah satu persamaan untuk mencari x. Poin b: subtitusikan ke persamaan pertama untuk mencari y.
Poin c: subtitusikan 4 ke persamaan pertama untuk mencari n.
Poin d: subtitusikan 3 ke persamaan kedua untuk mencari n.
36
4. Secara umum, apa yang perlu diperhatikan untuk memilih variabel yang disubtitusikan terlebih dahulu?
MENGGUNAKAN SUBTITUSI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL SPLDV
BAGIAN B
FUSION: Memperhatikan semua elemen SPLDV karena nilai koefisien x saling prima dan nilai koefisien y juga saling prima
Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 10 atau 11 dengan menggunakan subtitusi pada Tes Pemahaman Awal dengan tepat.
Selesaikanlah SPLDV berikut dengan metode subtitusi. 3 − 11 = 14
7 + 5 = −12
MENGGUNAKAN SUBTITUSI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL SPLTV
Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 12 pada Tes Pemahaman Awal dengan tepat.
Perhatikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel SPLDV berikut dan selesaikanlah dengan mengikuti langkah-langkah di bawah ini.
+ 3 + = 0 2 − + = 5
3 − 3 + 2 = 10
Langkah pertama : Subtitusikan nilai z dari persamaan i ke persamaan lainnya
Aktivitas 2.3
Kita dapat memilih variabel yang disubtitusikan terlebih dahulu dengan memperhatikan koefisien dari setiap variabel dan memilih variabel yang
koefisiennya saling berkelipatan untuk mempermudah perhitungan.
7 + 5 = −12 ⇒ 74 + 3 + 5 = −12 ⇒ 28 + 21 + 5 = −12
⇒ 33 = −33 ⇒ = −1.
Jika 3 − 12 = 9 ⇒ = = 4 + 3, maka
Jika = −1,maka = 4−1 + 3 = −1. Sehingga solusi dari SPLDV adalah -1,-1.
37
Subtitusikan nilai z dari persamaan i ke persamaan ii dan namai SPLDV yang baru terbentuk dengan persamaan iv.
Subtitusikan nilai z dari persamaan i ke persamaan iii dan namai SPLDV yang baru
terbentuk dengan persamaan v. Langkah ke-2 : Selesaikan SPLDV dari persamaan iv dan v untuk
menemukan nilai x dan y dengan subtitusi Langkah ke-3 : Temukan nilai dari z dengan nilai x dan y yang telah diketahui
38
Selesaikanlah persoalan-persoalan berikut. 1. Selesaikan sistem persamaan di bawah ini.
a. − 4 = 2
6 + 2 = 4 b.
+ = 2 − 3
+ 2 = 2 − 6 c. 2 − + 3 − 2 = − 3 = 3
− = 2 + 3
2. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik potong garis 3 + 2 − 7 = 0 dan 5 − − 3 = 0 serta tegak lurus dengan garis + 3 − 6 = 0.
Latihan Soal
39
3. Jika tiga garis lurus: + 2 + 3 = 0; + + 1 = 0; 2 + 3 + 4 = 0 melalui
sebuah titik yang sama, tentukan nilai a.
4. Tentukan solusi dari x, y, z yang memenuhi sistem persamaan berikut dan tentukan nilai dari + : .
2 = 2 = 5 3 + 5 − 2 = 23
40
MENEMUKAN KONSEP DETERMINAN MATRIKS 2x2 DIKAITKAN DENGAN SPLDV
SEPARATION: Memisahkan koefisien variabel tertentu dan konstanta persamaan dari aspek lainnya
Pada bab sebelumnya, kamu telah mempelajari tentang matriks dan determinan matriks. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel SPLDV secara umum dapat
dinyatakan dalam bentuk matriks berikut. =
Perhatikan matriks di atas dan Tabel 1. Temukan konsep determinan yang dikaitkan dengan SPLDV melalui menjawab pertanyaan-pertanyaan di bawah ini.
Tabel 7 Determinan dan SPLDV
SPLDV Determinan D Determinan X D
x
Determinan Y D
y
4 − 5 = 10 3 + 7 = 14
= 4 −5 3
7 = 28 + 15 = 43
= 10 −5 14
7 = 70 + 70 = 140
= 4 10 3 14
= 56 − 30 = 43 2 − 3 = 7
−4 + 6 = 10 = 2
−3 −4
6 = 12 − 12 = 0
= 7 −3 10
6 = 42 + 30=72
= 2 7
−4 10 = 20 + 28 =48
+ = −2 −3 − 3 = 6
= 1 1
−3 −3 = −3 + 3 = 0
= −2 1
6 −3
= 6 − 6 = 0 = 1
−2 −3
6 = 6 − 6 = 0
1. Jika SPLDV pada tabel tersebut dinyatakan dalam bentuk umum +
= +
= , tentukan D.
2. Jika SPLDV pada tabel tersebut dinyatakan dalam bentuk umum
+ =
+ = , tentukan .
5. Menyelesaikan SPLDV dan SPLTV dengan Determinan Aturan Cramer
