Rayi Syahfitri : Penerapan Algoritma Prim Pada Jaringan Listrik Perumahan PT Inalum, 2009. USU Repository © 2009
Gambar 2.6 Subgraph
Dari gambar 2.6 diterangkan bahwa, Gambar 2.6.b merupakan spanning subgraph dari Gambar 2.6.a.
2.4 Graph Berbobot Weighted Graph dan Berlabel Labeled Graph
Graph berbobot adalah graph yang setiap edgenya mempunyai nilai berupa bilangan non negatif.
Contoh 7. Diberikan weighted graph
Gambar 2.7 Weighted graph Dari gambar 2.7 dapat dijelaskan bobot dari masing-masing edge, yaitu:
19 ,
13 ,
2 ,
3 ,
2 ,
4 ,
3 ,
8 7
5 3
4 3
4 2
3 2
3 1
2 1
= =
= =
= =
=
v v
v v
v v
v v
v v
v v
v v
8 ,
3 ,
3 ,
6 ,
12 ,
2 ,
8 6
7 6
7 5
7 4
4 6
5 4
= =
= =
= =
v v
v v
v v
v v
v v
v v
Sedangkan labeled graph yaitu disetiap edgenya hanya ditandai dengan simbol yang bukan merupakan bilangan non-negatif.
v
2
v
4
v
6
v
3
v
7
v
5
v
8
v
1
3
19 8
13 3
3 4
2 2
2 12
6
3
12
Rayi Syahfitri : Penerapan Algoritma Prim Pada Jaringan Listrik Perumahan PT Inalum, 2009. USU Repository © 2009
Contoh 8. Diberikan labeled graph
Gambar 2.8 Labeled graph
2.5 Tree
Tree adalah suatu connected graph yang tidak memuat cycle, loop dan multiple edge. Pada sebuah tree hanya terdapat satu path antara setiap pasangan
verteksnya. Tree yang hanya terdiri dari 1 verteks disebut tree yang menyusut atau tree yang mengalami degenerasi. Forest adalah himpunan dari paling
sedikit 2 tree atau lebih.
Contoh 9. Diberikan beberapa contoh tree
Gambar 2.9 Representasi Tree
Dari gambar 2.9 dapat dilihat, Gambar 2.9.a merupakan tree yang menyusut
Gambar 2.9.b merupakan tree dengan 5 verteks dan 4 edge Gambar 2.9.c merupakan forest yang memuat 4 komponen tree.
Sifat-sifat tree, Misalkan G = V, E adalah graph tak-berarah sederhana dan jumlah simpulnya n. Maka, semua pernyataan di bawah ini adalah ekivalen:
- G adalah tree.
v
1
v
2
e
2
e
1
a b
c 13
Rayi Syahfitri : Penerapan Algoritma Prim Pada Jaringan Listrik Perumahan PT Inalum, 2009. USU Repository © 2009
- Setiap pasang verteks di dalam G terhubung dengan edge tunggal. - G terhubung dan memiliki
1 −
= n m
edge. - G tidak mengandung cycle acyclic dan memiliki
1 −
= n m
edge. - G tidak mengandung cycle acyclic dan multiple edge.
- G terhubung dan setiap edge-nya adalah bridgejembatan penghubung. jurnal: Universitas Gunadharma
2.6 Spanning Tree
Spanning tree T atau pohon rentangan dari suatu connected graph adalah suatu subgraph dari graph G yang mengandung semua verteks dari G,
dan merupakan suatu tree. Edge pada suatu spanning tree T biasa disebut branch cabang. Dan edge di G yang tidak terdapat di spanning tree T disebut
chord tali.
Contoh 10. Diberikan graph G yang memuat spanning tree
Gambar 2.10 Graph G yang memuat spanning tree
Dari gambar 2.10 dapat dilihat bahwa salah satu spanning tree yang merupakan subgraph G ditandai oleh yang bergaris tebal. Sehingga dapat dilihat juga
bahwa e
1
, e
13
, e
11
, e
15
, e
6
, e
5
dan e
3
merupakan branch-branch yang termuat pada spanning tree tersebut. Dan e
2
, e
14
, e
9
, e
8
, e
4
, e
10
dan e
7
merupakan chord.
v
3
v
1
v
2
v
8
v
4
v
5
v
6
v
7
e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
e
7
e
8
e
9
e
10
e
11
e
13
e
14
e
15
14
Rayi Syahfitri : Penerapan Algoritma Prim Pada Jaringan Listrik Perumahan PT Inalum, 2009. USU Repository © 2009
Pada gambar 2.11 berikut menunjukkan hubungan dari graph G dengan spanning treenya. jurnal: Universitas Gunadharma
Gambar 2.11 Hubungan antara Graph G dengan spanning tree-nya
Jika T merupakan spanning tree didalam suatu weighted graph G maka bobot dari suatu spanning tree didefinisikan sebagai berikut: bobot dari suatu
spanning tree adalah jumlah dari semua bobot yang terdapat pada branch di tree tersebut, dinotasikan sebagai berikut:
∑
∈
=
T y
x
y x
T W
,
, Secara umum untuk spanning tree yang berbeda pada graph G akan mempunyai
bobot yang berbeda pula, karena pada suatu connected graph G mungkin mempunyai banyak spanning tree dengan total bobot yang masing-masing
mungkin berbeda. Sehingga karena persoalan ini pula dapat dipilih satu spanning tree yang memiliki total bobot yang paling minimum disebut sebagai
minimum spanning treeMST atau pohon merentang minimum.
Contoh 11. Diberikan graph G yang memuat minimum spanning tree
Graph G Spanning tree
n verteks n verteks
m edge
1 −
n
edge
1 −
− n m
edge BRANCH
CABANG
CHORD
3 3
1
2 1
1 1
2 10
3 3
1 1
1 10
4 4
4 4
5 15
Rayi Syahfitri : Penerapan Algoritma Prim Pada Jaringan Listrik Perumahan PT Inalum, 2009. USU Repository © 2009
