II.2a terlibat bahwa N konstan sepanjang X dan dari kondisi batas x=0 dan x=1, kita lihat bahwa N = -P. Dengan demikian persamaann II.2b dapat disederhanakan
menjadi bentuk lazim dikenal : – P
= 0 II.2e
Atau EI
+ P = 0
II.2f Persamaan diatas adalah differensial dari kolom ramping yang mengalami
tekukan. Dari persamaan dapat ditentukan besarnya pada saat struktur akan runtuh. Misalnya
= dan subtitusikan kedalam persamaan sehingga
diperoleh : + K
= 0 II.2g
Persamaan umum dari persamaan differensial adalah : Y = A sin kx + B cos kx + Cx + D
II.2h Dimana : A, B, C, D adalah tetapan tertentu yang dapat ditentukan dengan
menggunakan syarat-syarat batas yaitu kondisi batas ujung-ujung batang boundary condition .
II.2.1 Kolom Euler
Rumus kolom Euler diturunkan dengan membuat berbagai anggaan sebagai berikut :
- Bahan elastic sehingga memenuhi Hukum Hooke
- Material homogen sempurna dan isotropis
- Batang pada mualnya lurus sempurna, prismatic dan beban terpusat
dikerjakan sepanjang sumbu titik berat penampang
Universitas Sumatera Utara
- Penampang batang tidak terpuntir, elemennya tidak dipengaruhi tekuk
setempat dan distorsi lainnya selama melentur -
Batang bebas dari tegangan residu -
Ujung-ujung batang ditumpu sederhana. Ujung bawah ditumpu pada sendi yang tidak dapat berpindah, ujung atas ditumpu pada tumpuan yang dapat
berotasu dengan bebas dan bergerak vertical tetapi tidak dapat bergerak horizontal.
- Deformasi dari batang cukup kecil sehingga bentuk y’ ² dari persamaan
kurva dapat diabaikan. Dari sini kurva dapat didekati
dengan y”.
Gambar II.2.1a Kolom Euler
Bahwa batang yang ditekan akan mengalami bentuk yang sedikit melengkung seperti pada gambar II.2.1a. Jika sumbu koordinat diambil seperti
dalam gambar, momen dalam yang terjadi pada penampang sejauh x dari sumbu asal adalah :
M
x
= -EI
y
” II.2.1.a
Dengan menyamakan momen lentur luar P.y, maka diperoleh persamaan : EIy” + P.y = 0
II.2.1.b
Universitas Sumatera Utara
Persamaan II.2.1.a adalah persamaan differential linear dengan koefisien konstan dan dapat dirubah menjadi :
y” + k².y = 0 II.2.1.b
dimana, k² = II.2.1.c
Penyelesaian umum persamaan II.2.1.b y = A sin kx + B cos kx
II.2.1.d Untuk menentukan besaran konstanta A dan B, maka menggunakan syarat
batas : y = 0 dan x = 0
y = 0 dan x = 1 Dengan memasukkan syarat batas pertama kedalam persamaan II.2.1.d
maka diperoleh : B = 0
Sehingga diperoleh : y = A sin kx
II.2.1.e Dari syarat batas kedua diperoleh :
A sin kl = 0 II.2.1.f
Persamaan II.2.1.f dapat dipenuhi oleh tiga keadaan yaitu : a.
Konstanta A = 0, yaitu tidak ada lendutan II.2.1.g1
b. kl = 0, yaitu tidak ada beban luar
II.2.1.g2 c.
kl = nл, yakni syarat terjadi tekuk II.2.1.g3
Universitas Sumatera Utara
Subtitusi persamaan II.2.1.g3 kedalam persamaan II.2.1.c dan persamaan II.2.1.e diperoleh :
II.2.1.h II.2.1.i
Pada beban yang diberikan oleh persamaan II.2.1.h kolom berada dalam keadaan kesetimbangan dalam bentuk yang agak bengkok, dimana bentuk
deformasinya diberikan oleh persamaan II.2.1.i. Ragam mode tekuk dasar yaitu lendutan dengan lengkungan tunggal
akan diperoleh jika nilai n diambil sama dengan 1, dengan demikian beban kritis Euler untuk kolom adalah :
= II.2.1.j
Dan persamaan lendutan menjadi : Y = A sin
II.2.1.k
Kelakuan kolom Euler dapat digambarkan secara grafik seperti pada gambar:
=
Gambar II.2.1b Grafik kolom Euler
Dari grafik dapat dilihat bahwa sampai beban Euler dicapai, kolom harus tetap lurus. Pada beban Euler ada percabangan kesetimbangan yaitu kolom dapat
Universitas Sumatera Utara
a d
c b
d
Gambar II.2.2.1
tetap lurus atau dapat dianggap berubah bentuk dengan amplitude tidak tentu. Kelakuan ini menunjukkan bahwa keadaan kesetimbangan pada saat beban Euler
merupakan transisi dari kesetimbangan stabil dan tidak stabil.
II.2.2 Rumus Kolom Euler II.2.2.1
