Uji Kecocokan Data Dalam Pengukuran Risiko Operasional

(1)

UJI KECOCOKAN DATA DALAM PENGUKURAN

RISIKO OPERASIONAL

SKRIPSI

NONI SULANI ALFRINA LUBIS

090823010

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2011

(2)

UJI KECOCOKAN DATA DALAM PENGUKURAN RISIKO OPERASIONAL

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

NONI SULANI ALFRINA LUBIS 090823010

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2011

(3)

PERSETUJUAN

Judul : UJI KECOCOKAN DATA DALAM PENGUKURAN

RISIKO OPERASIONAL

Kategori : SKRIPSI

Nama : NONI SULANI ALFRINA LUBIS

Nomor Induk Mahasiswa : 090823010

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di Medan, Juni 2011

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Syahrial Lubis, S.Si, M.Si Drs. Marwan Harahap, M.Eng NIP. 19461225 197403 1 001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si

(4)

PERNYATAAN

UJI KECOCOKAN DATA DALAM PENGUKURAN RISIKO OPERASIONAL

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2011

NONI SULANI ALFRINA LUBIS 090823010

(5)

PENGHARGAAN

Diawali dengan mengucap puji dan syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan penulis kesehatan, kekuatan dan semangat sehingga penyusunan skripsi ini dapat dirampungkan dengan baik dan tepat waktu. Serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sebagai pemimpin umat yang telah meninggalkan pedoman yang mulia dalam bentuk sunnah dan teladannya untuk diamalkan.

Adapun tujuan dari penulisan skripsi ini adalah salah satu syarat untuk menyelesaikan Program S1 Statistika Ekstensi pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

Sebagai salah satu perwujudan dari proses pendidikan kemahasiswaan, penyusunan skripsi ini disajikan berdasarkan pembahasan oleh penulis dari Manajemen Risiko. Selama dalam penyusunan skripsi ini penulis telah banyak memperoleh bantuan dan bimbingan, Untuk itu pada kesempatan ini, penulis dengan segala kerendahan hati ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar – besarnya kepada Ayahanda tercinta Alm. H. M. Amin Lubis (akhirnya anak ayah sarjana semua seperti keinginan ayah), Ibunda tercinta Hj. Farida Hafni, Bapak dan Ibu Mertua, Drs. H. Lahmuddin Harahap dan Hj. Asniar, kakak – kakak, abang – abang, dan adik – adik semua yang telah memberikan dukungan baik moril, semangat dan dorongan sehingga skripsi ini selesai. Terutama kepada Suamiku Muhammad Ardiansyah Harahap, ST dan anakku Annisa Nadia Alany Harahap, yang telah memberikan pengertian, dorongan semangat buat penulis sehingga skripsi ini selesai.

Bapak Dr.Sutarman M.Sc selaku Dekan Fakultas MIPA USU, Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, selaku Ketua Departemen Matematika FMIPA USU, Bapak Drs. P. Bangun, M.Si selaku Ketua Pelaksana Jurusan Program S1 Statistika Ekstensi, Bapak Drs. Marwan Harahap, M. Eng, selaku Dosen Pembimbing I yang telah bersedia memberikan arahan, bimbingan dan petunjuk kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Bapak Syahrial Lubis, M.Si, selaku Dosen Pembimbing II yang telah bersedia memberikan arahan, bimbingan dan petunjuk dalam menyelesaikan skripsi ini, Bapak Drs. Suwarno Ariswoyo dan Ibu Dra. Mardiningsih selaku Dosen Penguji I dan II dalam Ujian sarjana saya. Seluruh Staf pengajar dan staf Pegawai di Fakultas MIPA USU.

(6)

Seluruh Pegawai Bappeda Kota Tebing Tinggi, terutama di Bidang SDM dan Sosbud. Semua teman – teman di Program Studi S1 Statistika Ekstensi, terutama buat adik – adikku QQ, Melin, Citra dan Novia yang selalu membantu dalam menyelesaikan skripsi ini.

Sepenuhnya penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih terdapat kekurangan, untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun untuk kemajuan ilmu pengetahuan pada saat ini dan pada masa yang akan datang.

Semoga penulisan skripsi ini dapat memberikan manfaat dan berguna bagi pembaca dan penulis pada khususnya. Akhir kata penulis mengucapkan banyak terima kasih.

Medan, Juni 2011 Penulis,

(7)

ABSTRAK

Risiko operasional yaitu potensi terjadinya kerugian karena kesalahan manusia atau kegagalan proses dan pengendalian dalam operasional sehari-hari. Salah satu kerangka Basel menjelaskan tentang AMA (Advance Measurement Approach) yang sedianya digunakan untuk mengukur risiko operasional. Penggunaan metode AMA sebagai metode pengukuran kuantitatif lebih menekankan pada analisis kerugian operasional. Teknik Goodness of Fit telah banyak dikembangkan untuk mengukur dan membatasi penyimpangan terhadap distribusi probabiliti. Dengan kata lain, test ini menunjukkan bagaimana baiknya distribusi yang dipilih dicocokkan dengan data yang dimiliki. Distribusi data kerugian operasional dapat dikelompokkan ke dalam distribusi frekuensi dan distribusi severitas. Distribusi frekuensi merupakan distribusi diskrit, sedangkan distribusi severitas merupakan distribusi kontinu. Di antara teknik yang telah dikembangkan, yang banyak dipakai adalah Chi-square test, Kolmogorov Smirnov test dan Anderson Darling test. Dalam menguji kecocokan data, ketiga test ini akan dibandingkan untuk mengetahui metode mana yang datanya cocok dengan distribusi probabiliti. Anderson Darling test memiliki keunggulan dibandingkan dengan Chi-square test, Kolmogorov Smirnov test dalam menguji kecocokan data.

(8)

The Goodness of Fit Test on Operational Risk Measurement

ABSTRACT

Operational risk is the potential for incurring loss as a result of human error or failures in processes and control in day to day operations. On of the Basel framework provide information of AMA (Advance Measurement Approach) that can be used as quantification tools for operation risk assessment. AMA method is needed as quantification more emphasize to operational loss analysis. Goodness of Fit techniques has been developed to measure and limit deviation from probability distribution. In other words, these test show how well the distribution selected fits to the data. Distribution operational risk data can be group in frequency distribution and severitas distribution. Frequency distribution to represent discrete distribution, whereas severitas distribution represent continue distribution. Among those developed techniques that are frequently applied are Chi-square test, Kolmogorov Smirnov test and Anderson Darling test. In Goodness of Fit test, the third normality test will be compare to know which method that data fits with probability distribution. Anderson Darling test have more advantage compared with Chi-square test, Kolmogorov Smirnov test in detecting to fit data.

(9)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan i

Pernyataan ii

Penghargaan iii

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel xi

Bab 1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Tinjauan Pustaka 3

1.4 Tujuan Penelitian 5

1.5 Kontribusi Penelitian 5

1.6 Metode Penelitian 6

Bab 2 Landasan Teori 7

2.1 Risiko Operasional 7

2.1.1 Definisi 7

2.1.2 Perubahan Risiko Operasional 8

2.1.3 Kategori Kejadian Risiko Operasional 9

2.2 Pengukuran Risiko Operasional 10

2.3 Sifat-sifat Deskriptif Statistik 11 2.3.1 Distribusi Frekuensi Kerugian Operasional 11

2.3.1.1 Distribusi Poisson 11

2.3.1.2 Distribusi Geometric 12

2.3.1.3 Distribusi Binomial 13

2.3.1.4 Distribusi Hypergeometric 14

2.3.2 Distribusi Severitas Kerugian Operasional 15

2.3.2.1 Distribusi Normal 15

2.3.2.2 Distribusi Lognormal 16

2.3.2.3 Distribusi Eksponensial 17

(10)

Bab 3 Pembahasan 19 3.1 Testing Karakteristik Distribusi 19

3.2 Test Goodness of Fit 20

3.3 Chi-square Test 21

3.4 Kolmogorov Smirnov Test 22

3.5 Anderson Darling Test 23

3.6 Contoh Kasus 25

3.6.1 Testing Karakteristik Distribusi Frekuensi 25

3.6.1.1 Chi-square Test 26

3.6.1.2 Kolmogorov Smirnov Test 28

3.6.2 Testing Karakteristik Distribusi Severitas 30

3.6.2.1 Chi-square Test 31

3.6.2.2 Kolmogorov Smirnov Test 33

3.6.2.3 Anderson Darling Test 35

Bab 4 Penutup 39

4.1 Kesimpulan 39

4.2 Saran 39

(11)

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 3.1 Frekuensi Kesalahan Settlement 25

Tabel 3.2 Perhitungan Chi-square Test Distribusi Frekuensi 27 Tabel 3.3 Perhitungan Kolmogorov Smirnov Test Distribusi Frekuensi 28

Tabel 3.4 Data Kerugian Operasional 30

Tabel 3.5 Data Hasil Pengamatan dan Nilai Harapan 31 Tabel 3.6 Perhitungan Chi-square Test Distribusi Severitas 32 Tabel 3.7 Perhitungan Kolmogorov Smirnov Test Distribusi Severitas 33 Tabel 3.8 Perhitungan Anderson Darling Test Distribusi Severitas 35

(12)

ABSTRAK

(13)

The Goodness of Fit Test on Operational Risk Measurement

ABSTRACT

(14)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Manajemen risiko merupakan salah satu elemen penting dalam menjalankan bisnis perusahaan karena semakin berkembangnya dunia perusahaan serta meningkatnya kompleksitas aktivitas perusahaan mengakibatkan meningkatnya tingkat risiko yang dihadapi perusahaan. Sasaran utama dari implementasi manajemen risiko adalah melindungi perusahaan terhadap kerugian yang mungkin timbul. Lembaga perusahaan mengelola risiko dengan menyeimbangkan antara strategi bisnis dengan pengelolaan risikonya sehingga perusahaan akan mendapatkan hasil optimal dari operasionalnya.

Risiko itu sendiri adalah potensi terjadinya suatu peristiwa baik yang dapat diperkirakan maupun yang tidak dapat diperkirakan yang dapat menimbulkan dampak bagi pencapaian tujuan organisasi. Kebutuhan untuk mengelola risiko, yaitu risiko kredit dan risiko pasar di lembaga perusahaan dan asuransi sudah menjadi perhatian yang serius. Sejak Basel II (Basel Capital Accord II) dalam perannya sebagai regulator dan pengawas perbankan di Indonesia mulai disosialisasikan dan diwajibkan bagi lembaga perusahaan, mulailah dikenal jenis risiko yang jauh lebih luas daripada risiko kredit dan risiko pasar, yaitu risiko operasional.

Risiko operasional yaitu potensi terjadinya kerugian karena kesalahan manusia atau kegagalan proses dan pengendalian dalam operasional sehari-hari. Pengelolaan risiko operasional bertujuan untuk mengantisipasi potensi kerugian yang telah atau hampir terjadi yang disebabkan karena kurang memadai atau tidak berfungsinya proses-proses internal, faktor kesalahan manusia, kelemahan sistem dan teknologi atau

(15)

berbagai faktor eksternal yang dapat berpengaruh negatif terhadap operasional perusahaan.

Jika suatu perusahaan sudah memiliki database kerugian risiko operasional yang memadai, maka perusahaan dapat memanfaatkan data kerugian risiko tersebut untuk proses pemodelan dan pengukuran potensi kerugian risiko operasional. Untuk melakukan pemodelan dan pengukuran potensi kerugian risiko operasional, perusahaan harus terlebih dahulu mengetahui karakteristik dari distribusi kerugian risiko operasional.

Distribusi data kerugian risiko operasional dapat dikelompokkan ke dalam distribusi frekuensi data kerugian dan distribusi severitas data kerugian. Distribusi frekuensi menunjukkan jumlah atau frekuensi terjadinya suatu jenis kerugian operasional dalam periode waktu tertentu tanpa melihat nilai atau rupiah kerugian. Sedangkan distribusi severitas data kerugian menunjukkan nilai rupiah kerugian dari jenis kerugian operasional dalam periode waktu tertentu.

Distribusi frekuensi data kerugian merupakan distribusi discrete yaitu distribusi atas data yang nilai data harus bilangan integer atau tidak pecahan karena jumlah bilangan kejadian merupakan bilangan bulat positif. Sedangkan distribusi severitas data kerugian merupakan distribusi yang bersifat kontinu yang nilai datanya bernilai pecahan. Untuk melakukan pengujian karakteristik distribusi frekuensi dan distribusi severitas kerugian operasional akan digunakan test Goodness of Fit dengan menggunakan Chi-square test, Kolmogorov Smirnov test dan Anderson Darling test.

1.2Perumusan Masalah

Pada penelitian ini rumusan masalah yang dibahas adalah bagaimanakah menguji test Goodness of Fit dalam pengukuran risiko operasional.

(16)

1.3Tinjauan Pustaka

Seperti dijelaskan oleh Muslich, Muhammad. 2007. Manajemen Risiko Operasional – Teori dan Praktek dijelaskan bahwa test Goodness of Fit (GoF) didasarkan pada dua karakteristik distribusi dasar yaitu cumulative distribution function (cdf) dan

probability density function (pdf). Test GoF merupakan test dengan mempergunakan pengujian distribusi normal berdasarkan data pdf sehingga test GoF masuk dalam kelompok area test.

Distribusi data kerugian risiko operasional dapat dikelompokkan ke dalam distribusi frekuensi data kerugian dan distribusi severitas data kerugian. Distribusi frekuensi data kerugian dapat dikelompokkan dalam distribusi Poisson, geometric, binomial dan hypergeometric. Sedangkan distribusi severitas data kerugian dapat dikelompokkan dalam distribusi normal, distribusi lognormal, distribusi eksponensial dan distribusi weibull.

Uji kenormalan data adalah uji yang digunakan untuk mengetahui apakah data menyebar mengikuti sebaran normal atau tidak. Beberapa uji kenormalan data antara lain adalah Chi-square test, Kolmogorov Smirnov test dan Anderson Darling test.

Metode Chi-square termasuk uji kenormalan yang berbasis statistik uji X2. Kegunaan metode _X2_{ini ditujukan untuk menguji apakah ada perbedaan yang cukup} signifikan antara jumlah pengamatan suatu objek pada tiap klasifikasinya terhadap nilai harapannya yang berdasarkan hipotesa nolnya. Dalam metode ini H0 dapat diuji

sebagai berikut:









  k

i i

E E O X

2 2

Dengan: Oi = nilai pengamatan yang diperoleh pada kategori yang ke-i

Ei = nilai harapan (expected value) pada kategori yang ke-i





i 1

(17)

Apabila perbedaan Oi dan Ei relatif kecil, maka X2 juga akan semakin kecil dan sebaliknya jika perbedaan antara Oi dan Ei sangat besar akan menyebabkan pula

X menjadi besar. Pada pengujian X2 ini, distribusi dari X2 memiliki derajat kebebasan k-1 atau db(k-1).

Metode Kolmogorov Smirnov yang merupakan uji kenormalan paling populer, didasarkan pada nilai D yang didefinisikan sebagai berikut:

 



F Z F Z



Dsup_x _n  ₀

Dengan: D = nilai deviasi absolut maksimum antara F_n

 

Z dan F₀

 

F = fungsi kumulatif distribusi dari distribusi normal

Nilai D ini selanjutnya dibandingkan dengan nilai D kritis untuk tes .

Stephens memberikan nilai kritis tersebut untuk berbagai kondisi pengujian. Nilai kritis tersebut adalah sebagai berikut:

a. Untuk  1% , nilai D kritis adalah _   



 _ _



n n 0,01 0,85 035

, 1

b. Untuk  5% , nilai D kritis adalah _   



 _ _



n n 0,01 0,85 895

, 0

c. Untuk  10% , nilai D kritis adalah _   



 _ _



n n 0,01 0,85 819

, 0

Pendekatan Anderson Darling (AD) digunakan untuk menguji kenormalan data dengan jumlah data yang kecil yaitu n kurang dari sama dengan 25



n25



Anderson Darling test ini digunakan untuk mengetahui distribusi dari data sampel. Untuk menghitung Anderson Darling test dapat dilakukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

(18)

 

 









 









_

  



  _ _ _





 

i n

i F Z n

Z F n

i AD

1 0

0 ln1

ln 2 1

Dengan: AD = Anderson Darling test

F = fungsi kumulatif distribusi dari distribusi normal n = jumlah sampel

Untuk menghitung nilai critical value (CV) dapat kita liat pada penjelasan

Muslich, Muhammad. 2007. Manajemen Risiko Operasional – Teori dan Praktek

dengan rumus sebagai berikut:

2 25 , 2 75 , 0 1

752 , 0

n n CV

  

1.4Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui jenis distribusi mana yang cocok dalam pengukuran risiko operasional dengan menggunakan Chi-square test, Kolmogorov Smirnov test dan Anderson Darling test.

1.5Kontribusi Penelitian

Kesimpulan yang diperoleh setelah dilakukan penelitian, diharapkan:

a. Sebagai bahan pertimbangan bagi para pembuat keputusan untuk menghadapi risiko dan ketidakpastian dalam keadaan yang nyata, mengkuantifikasi, mengukur, meminimumkan dan mengalokasikan, serta mengestimasi modal risiko operasional demi kelangsungan usaha perusahaan pada masa yang akan datang.

(19)

b. Agar dapat mengetahui dalam melakukan pemodelan kerugian risiko operasional dalam mempergunakan parameter data dengan tepat.

c. Menambah wawasan dan memperkaya literatur dalam bidang statistika terutama yang berhubungan dengan manajemen risiko.

1.6Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah :

a. Memaparkan langkah-langkah yang diperlukan untuk membentuk suatu pengukuran risiko operasional dengan penerapan uji kenormalan data.

b. Pengukuran risiko operasional dilakukan dengan mengemukakan contoh kasus.

c. Menguji karakteristik distribusi mana yang cocok dengan data frekuensi dan data severitas kerugian dengan menggunakan uji kecocokan data Chi-square test, Kolmogorov Smirnov test dan Anderson Darling test.

(20)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1Risiko Operasional 2.1.1 Definisi

Dewasa ini risiko operasional semakin diakui sebagai salah satu faktor kunci yang perlu dikelola dan dicermati oleh para pelaku usaha, khususnya di bidang jasa keuangan. Dalam industri lain yang memiliki aktivitas perdagangan, risiko operasional pun dianggap sebagai komponen vital dalam kerangka pengelolaan risiko perusahaan yang lebih luas. Oleh karena itu, pemahaman mengenai konsep risiko operasional beserta pendekatan matematis dan probabilistik menjadi sangat penting dikuasai oleh para praktisi dunia usaha dan akademis.

Manajemen risiko operasional itu sendiri merupakan serangkaian prosedur dan metodologi yang digunakan untuk mengidentifikasi, mengukur, memantau dan mengendalikan risiko pasar yang timbul dari kegiatan perusahan. Untuk memahami pengertian risiko operasional terlebih dahulu kita harus mengetahui apa sebenarnya risiko itu sendiri.

Secara umum risiko dapat diartikan sebagai potensi terjadinya suatu peristiwa yang dapat menimbulkan kerugian bagi perusahaan. Maka risiko operasional merupakan risiko yang antara lain disebabkan adanya ketidakcukupan atau tidak berfungsinya proses internal, kesalahan manusia, kegagalan sistem atau adanya problem eksternal yang mempengaruhi operasional perusahaan.

(21)

2.1.2 Perubahan Risiko Operasional

Baik Lembaga Pengawas maupun bank menyadari bahwa perubahan dalam industri perbankan telah mendorong pula perubahan karakteristik risiko operasional bank. Event yang secara historis berasal dari kesalahan yang mengandung biaya rendah sebagai pelengkap atau diganti dengan event yang memiliki frekuensi rendah tetapi memiliki dampak yang besar.

Peristiwa risiko operasional dikelompokkan dalam dua faktor yaitu frekuensi dan dampak. Frekuensi adalah seberapa sering suatu peristiwa operasional itu terjadi, sedangkan dampak adalah jumlah kerugian yang timbul dari peristiwa tersebut. Pengelompokkan risiko operasional didasarkan pada seberapa sering peristiwa terjadi dan dampak kerugian yang ditimbulkan (severity). Misalkan ada empat jenis kejadian operasional (events), yaitu:

a. Low Frequency/High Impact (LFHI) b. High Frequency/High Impact (HFHI) c. Low Frequency/Low Impact (LFLI) d. High Frequency/Low Impact (HFLI)

Impact

Frequency

Gambar 2.1 Jenis Peristiwa Risiko Operasional HFLI

LFLI

(22)

Secara umum manajemen risiko operasional memfokuskan kepada dua jenis peristiwa, yaitu low frequency/high impact (LFHI) dan high frequency/low impact

(HFLI). Bank mengabaikan suatu kejadian yang memiliki low frequency/low impact

(LFLI) karena membutuhkan biaya yang lebih besar untuk mengelola dan memantau dibandingkan dengan tingkat kerugian yang timbul bila terjadi. Sedangkan high frequency/high impact (HFHI) tidak relevan karena bila kejadian ini terjadi bank secara cepat akan menderita kerugian yang besar dan harus menghentikan usahanya. Kerugian ini juga tidak berkelanjutan dan pengawasan bank akan mengambil langkah-langkah untuk menyelesaikan praktek-praktek bisnis yang buruk.

2.1.3 Kategori Kejadian Risiko Operasional

Cara sederhana untuk mengerti risiko operasional dalam bank adalah dengan mengkategorikan setiap risiko yang tidak dicakup dalam risiko kredit dan risiko pasar. Namun demikian, ini merupakan definisi yang terlalu luas dan tidak membantu dalam mengelola risiko operasional

Meskipun Basel II Accord tidak secara resmi melakukan ini, operational risk events dapat dikelompokkan dalam kategorik-kategorik seperti risiko yang melekat pada:

a. Risiko proses internal didefinisikan sebagai risiko yang timbul dari kegagalan proses dan prosedur bank

b. Risiko manusia didefinisikan sebagai risiko yang melekat pada karyawan suatu bank

c. Risiko sistem adalah risiko yang melekat pada teknologi dan sistem yang digunakan

d. Risiko eksternal adalah risiko yang terjadi di luar kendali bank secara langsung

e. Risiko hukum adalah risiko ketidakpastian dari tindakan hukum atau ketidakpastian untuk mengaplikasikan atau menginterprestasikan suatu kontrak, peraturan dan perundang-undangan

(23)

2.2Pengukuran Risiko Operasional

Basel II Accord membolehkan bank untuk menggunakan salah satu dari tiga pendekatan untuk menghitung pendapatan risiko operasional. Pengukuran potensi kerugian risiko operasional dapat dilakukan dengan metode standard atau metode internal. Pengukuran potensi kerugian risiko operasional berdasarkan pendekatan metode standard dapat dilakukan melalui tiga pendekatan yaitu:

a. The Basic Indicator Approach (BIA) b. The Standardized Approach (SA)

c. The Alternative Standardized Approach (ASA)

Sedangkan pengukuran potensi kerugian risiko operasional dengan metode internal tersebut disebut sebagai The Advanced Measurement Approach (AMA). The Advanced Measurement Approach adalah cara yang paling canggih. Pendekatan ini membolehkan bank menggunakan internalnya untuk menghitung operasional risk capital. Namun, ini terkena standard regulator yang ketat.

Basel Committee tidak menentukan model untuk Advanced Measurement Approach karena bank diperbolehkan menggunakan sistem pengukuran risiko operasional internal mereka. Pengukuran potensi kerugian risiko operasional dengan metode internal dapat dipergunakan oleh semua perusahaan termasuk juga bank yang ingin mengukur risiko operasionalnya dengan metode internal.

Dibandingkan dengan model yang standard, pendekatan model AMA lebih menekankan pada analisis kerugian operasional. Untuk bank yang ingin menerapkan model AMA dalam pengukuran risiko operasional harus mempunyai database

kerugian operasional sekurang-kurangnya dua hingga lima tahun ke belakang. Bank yang ingin menggunakan metode ini harus memiliki teknologi yang tinggi sehingga dengan bantuan teknologi tersebut dapat dibuat model yang menangkap, menyeleksi dan melaporkan informasi risiko operasional eksternal untuk tujuan validasi model. Pendekatan menggunakan metode The Advanced Measurement Approach (AMA) ini ada beberapa pendekatan yang sering digunakan yaitu sebagai berikut:

(24)

a. Internal Measurement Approach (IMA) b. Loss Distribution Approach (LDA)

c. Risk Driver and Control Approach (RDCA) – Scorecards

2.3Sifat-Sifat Deskriptif Statistik

Pengukuran potensi kerugian risiko operasional dan untuk melakukan pemodelan pada suatu bank perlu terlebih dahulu mengetahui karakteristik dari distribusi kerugian operasional. Adapun distribusi kerugian risiko operasional dapat dikelompokkan menjadi distribusi frekuensi kerugian operasional dan distribusi severitas kerugian operasional.

2.3.1 Distribusi Frekuensi Kerugian Operasional

Distribusi frekuensi menunjukkan jumlah atau frekuensi terjadinya suatu jenis kerugian operasional dalam suatu periode tertentu, tanpa melihat nilai atau rupiah kerugian. Distribusi frekuensi kerugian operasional merupakan distribusi diskrit yaitu distribusi atas data yang nilai data harus bilangan integer atau tidak pecahan. Frekuensi kejadian bersifat integer karena jumlah bilangan merupakan bilangan bulat positif. Distribusi frekuensi kerugian operasional dapat dikelompokkan dalam distribusi Poisson, geometric, binomial dan hypergeometric.

2.3.1.1Distribusi Poisson

Distribusi frekuensi Poisson merupakan distribusi frekuensi kerugian operasional yang paling banyak terjadi karena karakteristiknya yang sederhana dan paling sesuai dengan frekuensi terjadinya kerugian operasional. Distribusi Poisson mencerminkan probabilitas jumlah atau frekuensi.

(25)

Rata-rata jumlah atau frekuensi terjadinya kesalahan bayar kasir atau rata-rata frekuensi terjadinya kecelakaan kerja dapat dinyatakan sebagai (lambda) dalam suatu periode waktu tertentu. Dengan demikian secara umum frekuensi terjadinya kerugian operasional atas suatu kejadian tertentu dapat dinyatakan sebagai distribusi Poisson. Distribuisi Poisson dari suatu kejadian kerugian tertentu dapat ditentukan probabilitasnya dengan rumus:

k e P

k k



 



Dengan: k = variabel acak diskrit yang menyatakan jumlah atau frekuensi kejadian per interval waktu dimana k! = k(k-1)(k-2)...1

 = rata-rata jumlah atau frekuensi kejadian k per interval waktu

e = 2,71828 (bilangan konstan) Parameter  dapat diestimasi sebagai berikut:





 

 

0 0

k k k

n kn



Distribusi Poisson memiliki mean dan varians sebagai berikut:

Mean: E

 

X 

Varians:

 





1 0

  







k k

n k X



2.3.1.2Distribusi Geometric

Distribusi geometric digunakan untuk mengetahui berapa banyak kegagalan akan terjadi sebelum terjadinya kejadian sukses dari suatu seri aktivitas yang bersifat independen. Karakteristik dari distribusi geometric adalah suatu kejadian yang gagal

(26)

dan sukses pertama. Distribusi geometric tidak berkaitan dengan kepentingan sukses pertama, sukses kedua dan seterusnya. Distribusi geometric mempunyai probabilitas fungsi sebagai berikut:





1   k _k

 

Parameter  dapat diestimasi dengan







k k

kn n



Distribusi geometric memiliki mean dan varians sebagai berikut:

Mean:

 

p X

E  

Varians:

 

₂

p X

V  

2.3.1.3Distribusi Binomial

Distribusi binomial merupakan salah satu distribusi diskrit yang berguna untuk memodelkan masalah probabilitas dari frekuensi atau jumlah sukses atas suatu aktivitas yang bersifat independen. Distribusi binomial dinyatakan dengan dua parameter yaitu m yang menunjukkan kerugian operasional tertentu yang bersifat independen dan identik sedangkan q yang menunjukkan probabilitasnya dan k

menyatakan kejadian ke-i dimana k 0. Probabilitas fungsi distribusi binomial dinyatakan sebagai berikut:





m k

k m k

k q q

P   

    

 1 , dengan k = 1,2,…..,m

Dengan parameter distribusi binomial yang dapat diestimasi sebagai berikut:

kejadian kemungkina

jumlah maksimum

kejadian observasi

jumlah 

(27)

Distribusi binomial memiliki mean dan varians sebagai berikut:

Mean: E

 

X mq

Varians: V

 

X mq



1q



2.3.1.4Distribusi Hypergeometric

Distribusi hypergeometric menunjukkan suatu proses yang dilakukan secara acak tanpa perubahan jumlah sampel dari suatu populasi dan menentukan berapa jumlah atau frekuensi kejadian yang terdapat dalam sampel yang memiliki karakteristik tertentu. Probabilitas fungsi distribusi hypergeometric dinyatakan sebagai berikut:

 

                     n M x n D M x D x f

Sedangkan probabilita kumulatifnya adalah sebagai berikut:

 

_

                        x i n M i n D M i D x F 0

Dengan: M = jumlah kelompok individu item yang diteliti

D = jumlah atau frekuensi yang memiliki karakteristik tertentu yang diinginkan

Distribusi hypergeometric memiliki mean dan varians sebagai berikut:

Mean:

 



      M D n x E

(28)

Varians:

 



  

 

     

         

1 1

M n M M

D M

D n x V

2.3.2 Distribusi Severitas Kerugian Operasional

Distribusi severitas kerugian operasional sangat perlu diketahui agar dalam pemodelan kerugian risiko operasional dapat mempergunakan parameter data yang tepat. Dalam menentukan jenis distribusi severitas kerugian, pendekatan yang dilakukan adalah memilih kelompok umum dari distribusi probabilitas dan kemudian menetapkan nilai parameter yang paling cocok dengan data severitas kerugian yang diobservasi.

Distribusi severitas data kerugian menunjukkan nilai rupiah kerugian dari jenis kerugian operasional dalam periode waktu tertentu. Distribusi severitas kerugian operasional dapat dikelompokkan dalam distribusi normal, distribusi lognormal, distribusi eksponensial dan distribusi weibull.

2.3.2.1Distribusi Normal

Distribusi normal kerugian banyak terjadi pada risiko pasar dan risiko kredit. Distribusi normal atas suatu kerugian memiliki karakteristik parameter mean () dan standard deviasi ( ). Probabilitas fungsi densitas distribusi normal dinyatakan dengan:

 





  

  



_ _

 x x

f ,untuk

-2 1 exp 2

1 2

2  



Jika =0 dan  =1 maka distribusinya disebut distribusi normal standard. Distribusi normal standard mempunyai bentuk umum yang simetris disekitar nilai meannya. Hal ini berarti bahwa distribusi normal mempunyai karakteristik nilai skewness sama dengan nol dan nilai median serta modusnya sama dengan nilai

(29)

meannya. Parameter  dan  dapat diestimasi dengan rumus momen kesatu dan kedua sebagai berikut:

n X

i i



  1







n X X

i i





  1



2.3.2.2Distribusi Lognormal

Distribusi normal sangat bermanfaat untuk mengantisipasi kerugian risiko pasar karena karakteristik kerugian pasar dapat terdistribusi secara normal. Namun distribusi kerugian operasional tidak cocok dengan distribusi normal yang bersifat simetris. Distribusi lognormal mempunyai bentuk yang tidak simetris dan merupakan salah satu bentuk distribusi severitas yang cocok untuk kerugian operasional.

Suatu data kerugian operasional dikatakan terdistribusikan secara lognormal, jika logaritma natural dari data kerugian tersebut terdistribusi secara normal. Probabilitas fungsi densitas dari variabel x dapat dirumuskan dengan:

 





_

  



_ 

 ₂

2 ln exp 2 1

  



x x

x f

Dengan:  = parameter scale x = variabel random

Distribusi lognormal mempunyai mean dan varians sebagai berikut:

Mean:

 

  e X E

(30)

2.3.2.3Distribusi Eksponensial

Distribusi eksponensial menjelaskan probabilita waktu menunggu diantara kejadian dalam distribusi Poisson. Sebagai contoh adalah jika rata-rata jumlah pemalsuan kartu kredit adalah dua per bulan atau = 2, maka waktu terjadinya pemalsuan kartu kredit dijelaskan dengan distribusi eksponensial. Fungsi densitas eksponensisal dari suatu variabel random kerugian eksponensial dirumuskan sebagai berikut:

 

1exp





,untuk  dan 0 

 

_ 

  _ _

 

 x x

x f

Distribusi eksponensial juga dapat digunakan untuk menjelaskan tingkat kegagalan atau failure rate, dimana failure rate dalam distribusi eksponensial adalah bersifat konstan dan selalu sama dengan. Besarnya failure rate dapat ditentukan dengan persamaan sebagai berikut:

 

_{ }

 

  _ 



 __xx

e e t F

t f t

Distribusi eksponensial mempunyai nilai mean dan varians sebagai berikut:

Mean:

 



1 

X E

Varians:

 

1₂





X V

2.3.2.4Distribusi Weibull

Dalam distribusi eksponensial di atas telah diketahui bahwa tingkat kegagalan dinyatakan sebagai konstan. Jika tingkat kegagalan meningkat bersamaan dengan waktu atau umur, maka distribusi Weibull merupakan model yang digunakan. Dalam distribusi Weibull tingkat kegagalan dinyatakan sebagai 

 

x x1. Jika

(31)

0 dan 0 

 

 , maka tingkat kegagalan akan meningkat dengan meningkatnya nilai

x. Fungsi densitas distribusi Weibull adalah sebagai berikut:

 

 1  ,untuk 0dan 0dan 0       x e x x f x        

Nilai mean dan varians dari distribusi Weibull dihitung dengan fungsi gamma 

 

yaitu:

Mean:

 

   1 1 1         x E

Varians:

 

                          2 2 1 1 2 1 1    x V

(32)

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Testing Karakteristik Distribusi

Bila dalam pemodelan karakteristik distribusi kerugian operasional hanya diasumsikan mengikuti suatu jenis atau tipe distribusi tertentu maka kita telah mengambil risiko yang cukup serius. Jika distribusi yang diasumsikan ternyata tidak terpenuhi maka testing hipotesis yang dilakukan sepenuhnya tidak benar. Dampak dari identifikasi distribusi kerugian operasional yang salah akan sangat merugikan dalam pemodelan dan perhitungan kebutuhan modal.

Distribusi frekuensi menunjukkan jumlah atau frekuensi terjadinya suatu jenis kerugian operasional dalam suatu periode tertentu, tanpa melihat nilai atau rupiah kerugian. Distribusi frekuensi kerugian operasional merupakan distribusi diskrit yaitu distribusi atas data yang nilai data harus bilangan integer atau tidak pecahan. Sedangkan dalam menentukan jenis distribusi severitas kerugian, pendekatan yang dilakukan adalah memilih kelompok umum dari distribusi probabilitas dan kemudian menetapkan nilai parameter yang cocok dengan data severitas kerugian yang diobservasi.

(33)

3.2 Test Goodness of Fit

Dalam pengujian karakteristik distribusi kerugian terdapat dua pendekatan. Pendekatan yang pertama adalah melalui prosedur empiris. Pendekatan ini mudah untuk diterapkan dan dimengerti serta didasarkan pada karakteristik grafik distribusi yang dievaluasi. Namun, pendekatan ini memiliki kekurangan dalam arti dapat diinterpretasikan secara berbeda-beda antara satu peneliti dengan peneliti lainnya. Karena itu, dilakukan pendekatan yang kedua yaitu dengan tes statistik.

Untuk melakukan pengujian karakteristik distribusi frekuensi dan distribusi severitas kerugian operasional dengan tes statistik akan dilakukan test Goodness of Fit. Pengujian karakteristik distribusi data kerugian operasional dengan test Goodness of Fit dilakukan secara numerik bukan grafik sehingga hasil pengujiannya dapat lebih dipercaya daripada dengan menggunakan pendekatan empiris.

Test Goodness of Fit (GoF) merupakan suatu prosedur statistik yang memungkinkan untuk mengetahui distribusi kerugian yang diasumsikan itu memang ternyata benar sebagaimana yang diasumsikan. Tes GoF didasarkan pada dua karakteristik distribusi dasar, yaitu cumulative distribution function (cdf) dan

probability density function (pdf).

Prosedur tes statistik yang mempergunakan karakteristik distribusi cdf disebut sebagai distance test karena ukuran yang dipergunakan adalah jarak (distance) terbesar antara cdf data yang ada dengan cdf distribusi yang diasumsikan. Sedangkan prosedur tes statistik yang mempergunakan karakteristik distribusi pdf disebut sebagai area tes karena ukuran yang dipergunakan adalah area antara pdf data yang dievaluasi dengan pdf distribusi yang diasumsikan. Test Goodness of Fit (GoF) merupakan test dengan mempergunakan pengujian Chi-square test berdasarkan data pdf sehingga test Goodness of Fit (GoF) masuk dalam kelompok area test.

(34)

3.3 Chi-squae Test

Metode Chi-square test termasuk uji kenormalan yang berbasis statistik uji X2. Kegunaan metode X2 ini ditujukan untuk menguji apakah ada perbedaan yang cukup signifikan antara jumlah pengamatan suatu objek pada tiap klasifikasinya terhadap nilai harapannya (expected value) yang berdasarkan hipotesa nolnya. Dilain pihak pengujian X2 ini dapat pula digunakan untuk menguji independensi antara suatu variabel terhadap variabel lainnya. Uji Chi-square untuk satu sampel dapat dipakai untuk menguji apakah data sebuah sampel yang diambil menunjang hipotesa yang menyatakan bahwa populasi asal sampel tersebut mengikuti suatu distribusi yang ditetapkan. Oleh karena itu, uji ini disebut juga uji keselarasan karena untuk menguji apakah sebuah sampel selaras dengan salah satu distribusi teoritis. Dalam metode ini H0 dapat diuji sebagai berikut:









  k

i i

E E O X

2 2

Dengan: Oi = nilai pengamatan yang diperoleh pada kategori yang ke-i

Ei = nilai harapan (expected value) pada kategori yang ke-i





i 1

= jumlah kategori yang diamati

Apabila perbedaan Oi dan Ei relatif kecil, maka X2 juga akan semakin kecil dan sebaliknya jika perbedaan antara Oi dan Ei sangat besar akan menyebabkan pula

X menjadi besar. Pada pengujian X2 ini, distribusi dari X2 memiliki derajat kebebasan k-1 atau db(k-1).

Uji X2 dapat digunakan untuk menguji kesesuaian suatu distribusi sampel dievaluasi apakah sesuai dengan populasi tertentu dan untuk menguji ketidaktergantungan apakah dua buah variabel dari sebuah sampel saling tergantung atau tidak serta untuk menguji homogenitas beberapa sampel dievaluasi apakah

(35)

berasal dari populasi-populasi yang sama dalam hal variabel tertentu. Dalam melakukan uji _X2_{harus memenuhi syarat-syarat berikut ini:}

a. Sampel dipilih acak

b. Semua pengamatan dilakukan independen

c. Setiap sel paling sedikit berisi frekuensi harapan sebesar 1 (satu). Sel-sel dengan frekuensi harapan kurang dari 5 tidak melebihi 20% dari total sel.

Dalam uji 2

X memiliki dasar pengambilan keputusan yaitu dengan membandingkan X2 hitung dengan X2 tabel. Jika X2 hitung < X2 tabel, H0

diterima. Sedangkan, jika X2 hitung > X2 tabel, H0 ditolak.

3.4 Kolmogorov Smirnov Test

Uji Kolmogorov Smirnov biasa digunakan untuk memutuskan jika sampel berasal dari populasi dengan distribusi tertentu. Uji ini membandingkan serangkaian data pada sampel terhadap distribusi normal serangkaian nilai dengan mean dan standard deviasi yang sama. Uji Kolmogorov Smirnov merupakan uji yang lebih kuat daripada uji Chi-square ketika asumsi-asumsi terpenuhi. Uji ini juga tidak memerlukan asumsi bahwa populasi terdistribusi secara normal.

Prinsip dari uji Kolmogorov Smirnov adalah menghitung selisih absolut antara fungsi distribusi frekuensi kumulatif sampel Fs

 

Z_i dan fungsi distribusi frekuensi kumulatif teoritis Ft

 

Z_i pada masing-masing interval kelas. Uji Kolmogorov Smirnov yang merupakan uji kenormalan paling populer, didasarkan pada nilai D yang didefinisikan sebagai berikut:

 



Fs Z_i Ft Z_i



maks

D 

Dengan: D = nilai deviasi absolut maksimum antara Fs

 

Z_i dan Ft

 

Z_i

 

(36)

Nilai D ini selanjutnya dibandingkan dengan nilai D kritis untuk tes .

Stephens memberikan nilai kritis tersebut untuk berbagai kondisi pengujian. H0

ditolak bila nilai teramati D maksimum lebih besar atau sama dengan nilai kritis D

maksimum. Nilai kritis tersebut adalah sebagai berikut:

a. Untuk  1% , nilai D kritis adalah _   



 _ _



n n 0,01 0,85 035

, 1

b. Untuk  5% , nilai D kritis adalah _   



 _ _



n n 0,01 0,85 895

, 0

c. Untuk  10% , nilai D kritis adalah _   



 _ _



n n 0,01 0,85 819

, 0

Keunggulan uji Kolmogorov Smirnov dibandingkan uji Chi-square adalah sebagai berikut:

a. Chi-square memerlukan data yang terkelompok, sedangkan Kolmogorov Smirnov tidak memerlukannya

b. Chi-square tidak bisa untuk sampel kecil, sedangkan Kolmogorov Smirnov

bisa

c. Oleh karena data Chi-square bersifat kategorik, maka ada data yang terbuang maknanya

d. Kolmogorov Smirnov lebih fleksibel dibandingkan dengan Chi-square

3.5 Anderson Darling Test

Anderson Darling test adalah nama dri Theodore Wilbur Anderson, Jr. dan Donald A. Darling. Keduanya menemukan statistik untuk menguji kenormalan data dengan jumlah data yang kecil yaitu n kurang dari sama dengan 25



n25



. Data dengan sampel yang banyak mungkin tidak dapat menggunakan uji ini, namun dalam beberapa industri dengan data lebih dari 200 dapat menggunakan Anderson Darling test.

(37)

D’Angostris dan Stephen menyatakan bahwa uji ini berdasarkan pada pengujian fungsi sebaran kumulatif empiris yang mendasari fungsi sebaran dari data. Dalam pengujian ini, fungsi sebaran empiris menaksir fungsi sesungguhnya dari sebaran tersebut, karena fungsi sebaran empiris mendekati (konvergen ke fungsi sebaran sesungguhnya). Uji ini digunakan untuk memutuskan apakah contoh acak (data) berasal dari fungsi normal atau tidak. Menurut Stephens, uji Anderson Darling

digunakan sebagai uji kenormalan atau kebaikan suai (Goodness of Fit) untuk peubah kuantitatif. Anderson Darling test bisa digunakan untuk menguji kenormalan berbagai macam sebaran data, yaitu sebaran Normal, Lognormal, Exponensial, Weibull.

Anderson Darling test ini digunakan untuk mengetahui distribusi dari data sampel. Uji ini merupakan modifikasi dari Kolmogorov Smirnov test (K-S test), yaitu K-S test yang telah diboboti. K-S test merupakan uji yang bebas distribusi, artinya tidak bergantung pada distribusi data tertentu yang diuji. Sedangkan Anderson Darling test, menggunakan distribusi data tertentu dalam menghitung nilai kritis.

Kelebihan Anderson Darling test adalah uji ini lebih sensitif daripada K-S test, namun mempunyai kelemahan yaitu nilai kritis tersebut harus dihitung dari setiap distribusi data sampel. Anderson Darling test yang merupakan variasi dari

Kolmogorov Smirnov test, menggunakan p-value untuk mengukur apakah sebaran tertentu tersebut menyebar normal atau tidak. P-value adalah peluang bahwa sampel yang diuji terletak pada distribusi normal dari suatu populasi. Jika p-value lebih kecil dari 0,05 maka tolak hipotesa awal (H0).

Rumus yang digunakan dalam Anderson Darling test adalah sebagai berikut:

 

 









 









_

  



  _ _ _





 

i n

i F Z n

Z F n

i AD

1 0

0 ln1

ln 2 1

Dengan: AD = Anderson Darling test

F = fungsi kumulatif distribusi dari distribusi normal n = jumlah sampel

(38)

Sedangkan untuk menghitung nilai critical value (CV) dengan rumus sebagai berikut:

2 25 , 2 75 , 0 1

752 , 0

n n CV

  

3.6 Contoh Kasus

3.6.1 Testing Karakteristik Distribusi Frekuensi

Untuk tujuan simulasi pengukuran risiko operasional dengan menguji jenis distribusi mana yang cocok dengan menggunakan Chi-square test, Kolmogorov Smirnov test

dan Anderson Darling test diambil contoh data kerugian risiko operasional sebagaimana terdapat pada tabel berikut:

Tabel 3.1 Frekuensi Kesalahan Settlement Bulan Frekuensi

Kesalahan Bulan

Frekuensi Kesalahan

Maret 2004 2 April 2005 6

April 2004 0 Mei 2005 5

Mei 2004 2 Juni 2005 6

Juni 2004 1 Juli 2005 6

Juli 2004 4 Agustus 2005 8

Agustus 2004 4 September 2005 9

September 2004 2 Oktober 2005 7

Oktober 2004 3 November 2005 8

November 2004 3 Desember 2005 10

Desember 2004 2 Januari 2006 2

Januari 2005 2 Februari 2006 1

Februari 2005 1 Maret 2006 1

Maret 2005 3

Sumber: Muslich, Muhammad, “Manajemen Risiko Operasional – Teori dan Praktek”, Sinar Grafika Offset, PT. Bumi Aksara, Jakarta, 2007

(39)

Untuk dapat menduga karakteristik distribusi kerugian operasional terlebih dahulu dilakukan perhitungan moment dari data. Dengan mempergunakan data kerugian operasional sebagaimana pada Tabel 3.1, di bawah ini besaran momentnya dapat diketahui sebagai berikut:

a. Rata-rata (mean)

n x x 



92 , 3 25 98 25 1 1 2 10 8 7 ... 4 4 1 2 0 2                x x x

b. Standard Deviasi





1 2     n x x s i









84 , 2 24 193,84 1 25 ) 92 , 3 1 ( ) 92 , 3 1 ( 92 , 3 2 ) 92 , 3 10 ( ) 92 , 3 8 ( ) 92 , 3 7 ( ... ... ) 92 , 3 4 ( ) 92 , 3 4 ( 92 , 3 1 ) 92 , 3 2 ( ) 92 , 3 0 ( ) 92 , 3 2 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                             s s s

3.6.1.1 Chi-square Test

Tabel 3.2 merupakan data hasil pengamatan (Oi) dan nilai harapan (Ei) dengan pendekatan Chi-square test dengan mempergunakan data kerugian operasional sebagaimana pada Tabel 3.1.

(40)

Tabel 3.2 Perhitungan Chi-square Test Distribusi Frekuensi xi Oi P(x)

[P(x) * n)] (Oi- Ei)





i i i E E

O  2

0 1 0,020 0,496 0,504 0,512

1 4 0,078 1,944 2,056 2,173

2 6 0,152 3,811 -2,189 1,257

3 3 0,199 4,980 1,980 0,787

4 2 0,195 4,880 2,880 1,700

5 1 0.153 3,826 2,826 2,087

6 3 0,100 2,500 -0,500 0,100

7 1 0,056 1,400 0,400 0,114

8 2 0,027 0,686 -1,314 2,518 9 1 0,012 0,299 -0,701 1,646 10 1 0,005 0,117 -0,883 6,656 Jumlah 25 0,998 24,939 0,061 19,550

Probabilita P(x) didapat dengan cara sebagai berikut:

! k e P k k    





0,020

! 0 92 , 3 0 92 , 3 0  

 e

x P





0,078

! 1 92 , 3 1 92 , 3 1  

 e

x P

Sehingga nilai untuk Chi-square test diperoleh sebesar:







   k i i i i E E O X 1 2 2 550 , 19 19,550 6,656 1,646 2,518 0,114 0,100 2,087 1,700 0,787 1,257 2,173 0,512 2 2              X X

(41)

Sedangkan untuk mengetahui derajat kebebasannya dipakai  0,05. Maka nilai X2 tabel didapatkan hasil yaitu k = 25 sehingga db = k – 1 = 24. Maka db = 24 dan  0,05 sehingga _X2_{tabel = 36,415.}

Dari nilai X2 tabel dan X2 hitung yang diperoleh dapat dilihat bahwa hasil dari perbandingan keduanya nilai _X2_{tabel lebih besar dari nilai} _X2_{hitung yaitu} 36,415 > 19,550. Maka Ho diterima berarti bahwa distribusi severitas kerugian

operasional dari data yang dimiliki didistribusikan menurut distribusi poisson.

3.6.1.2 Kolmogorov Smirnov Test

Tabel 3.3 merupakan hasil yang diperoleh dengan pendekatan Kolmogorov Smirnov

test dengan mempergunakan data kerugian operasional sebagaimana pada Tabel 3.1 dengan x = 3,92 dan s = 2,84.

Tabel 3.3 Pehitungan Kolmogorov Smirnov Test Distribusi Frekuensi xi Frek.

Frek.

Kumultatif

 

Fs Ft

 

P_i



 

P_i Ft

 

P_i



0 1 1 0,04 0,0198 0,0202

1 4 5 0,02 0,0976 0,1024

2 6 11 0,44 0,2501 0,1899

3 3 14 0,56 0,4493 0,1107

4 2 16 0,64 0,6445 0,0045

5 1 17 0,68 0,7975 0,1175

6 3 20 0,80 0,8975 0,0975

7 1 21 0,84 0,9535 0,1135

8 2 23 0,92 0,9809 0,0609

9 1 24 0,96 0,9929 0,0329

(42)

Probabilita standardized Fs

 

P_i didapat dengan cara nilai dari masing-masing frekuensi kumulatif dibagi dengan banyaknya sampel (n).

a. Misal xi = 0 , frekuensi kumulatif =1

 

0,04 25 1   i i P Fs P Fs

b. Misal xi = 5 , frekuensi kumulatif =17

 

0,68 25 17   i i P Fs P Fs

Sehingga dari tabel dapat kita ketahui bahwa nilai



 

P_i Ft

 

P_i



tertinggi sebagai angka penguji kecocokan data yaitu sebesar 0,1899. Untuk nilai D kritis dipakai  5% , maka akan diperoleh hasil sebesar:





4,62 kritis 5,16 0,895 kritis 17 , 0 01 , 0 5 895 , 0 kritis 25 85 , 0 01 , 0 25 0,895 kritis 85 , 0 01 , 0 895 , 0 kritis              _ _         _ _   D D D D n n D

Dari sekian banyak nilai D ternyata statistik uji D maksimum adalah 0,1899. Sedangkan nilai D kritis didapat sebesar 4,62. Maka dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai D kritis lebih besar dari nilai D maksimum yaitu 4,62 > 0,1899. Maka Ho

diterima berarti bahwa distribusi severitas kerugian operasional dari data yang dimiliki didistribusikan menurut distribusi poisson.

(43)

3.6.2 Testing Karakteristik Distribusi Severitas

Untuk tujuan simulasi pengukuran risiko operasional dengan menguji jenis distribusi mana yang cocok dengan menggunakan Chi-square test, Kolmogorov Smirnov test

dan Anderson Darling test diambil contoh data kerugian risiko operasional sebagaimana terdapat pada tabel berikut:

Tabel 3.4 Data Kerugian Operasional No. Data Kerugian Data Kerugian

Diurutkan

1 270.200.000 270.200.000

2 280.500.000 280.500.000

3 325.900.000 317.750.000

4 317.750.000 325.800.000

5 325.800.000 325.900.000

6 350.100.000 350.100.000

Total 1.870.250.000

Sumber: Muslich, Muhammad, “Manajemen Risiko Operasional – Teori dan Praktek”, Sinar Grafika Offset, PT. Bumi Aksara, Jakarta, 2007

Untuk dapat menduga karakteristik distribusi kerugian operasional terlebih dahulu dilakukan perhitungan moment dari data. Dengan mempergunakan data kerugian operasional sebagaimana pada Tabel 3.4, di bawah ini besaran momentnya dapat diketahui sebagai berikut:

a. Rata-rata (mean)

n x x 



6 000 . 250 . 870 . 1 

x= 311.708.334

(44)

b. Standard Deviasi





1 2     n x x s i 48 . 566 . 355 . 30 5 0 083.333.34 4.607.302. 1 6 ) 334 . 708 . 311 000 . 100 . 350 ( ) 334 . 708 . 311 000 . 900 . 325 ( ) 334 . 708 . 311 000 . 800 . 325 ( ) 334 . 708 . 311 000 . 750 . 317 ( ) 334 . 708 . 311 000 . 500 . 280 ( ) 334 . 708 . 311 000 . 200 . 270 ( 2 2 2 2 2 2                s s s

s = 30.360.000 (pembulatan)

3.6.2.1 Chi-square Test

Tabel 3.5 merupakan data hasil pengamatan dan nilai harapan dimana setiap kategori pengamatan (Oi) memiliki nilai harapan (Ei) yang sama yaitu:

4 311.708.33 000 1.870.250. 6 1 i    E E_i

Ei = 311.710.000 (pembulatan)

Tabel 3.5 Data Hasil Pengamatan dan Nilai Harapan

Kategori Data 1 Data 2 Data 3 Data 4 Data 5 Data 6 Pengamatan

(Oi)

270.200 280.500 317.750 325.800 325.900 350.100

Nilai

Harapan (Ei)

(45)

Tabel 3.6 merupakan data hasil yang diperoleh dalam perhitungan distribusi normal dengan pendekatan Chi-square test dengan mempergunakan data kerugian operasional sebagaimana pada Tabel 3.4.

Tabel 3.6 Perhitungan Chi-square Test Distribusi Severitas Kategori Oi Ei (Oi- Ei)





I i i

E E

O  2

Data 1 270.200 311.710 -41.510 5.528 Data 2 280.500 311.710 -31.210 3.125 Data 3 317.750 311.710 6.040 117 Data 4 325.800 311.710 14.090 637 Data 5 325.900 311.710 14.190 646 Data 6 350.100 311.710 38.390 4.728

Total 1.870.250 1.870.250 14.781

Sehingga nilai untuk Chi-square test diperoleh sebesar:









  k

i i

E E O X

2 2

781 . 14

728 . 4 646 637 117 125 . 3 528 . 5 2 2



    



X X

Sedangkan untuk mengetahui derajat kebebasannya dipakai  0,05. Maka nilai _X2_{tabel didapatkan hasil yaitu k = 6 sehingga db = k – 1 = 5. Maka db = 5 dan}

05 , 0 

 sehingga X2tabel = 11,0705.

Dari nilai _X2_{tabel dan} _X2_{hitung yang diperoleh dapat dilihat bahwa hasil} dari perbandingan keduanya nilai X2 tabel lebih kecil dari nilai X2 hitung yaitu 11,0705 < 14.781. Maka Ho ditolak berarti bahwa distribusi severitas kerugian

(46)

3.6.2.2 Kolmogorov Smirnov Test

Tabel 3.7 merupakan hasil yang diperoleh dengan pendekatan Kolmogorov Smirnov

test dengan mempergunakan data kerugian operasional sebagaimana pada Tabel 3.4 dengan x= 311.710.000 dan s= 30.360.000.

Tabel 3.7 Perhitungan Kolmogorov Smirnov Test Distribusi Severitas X Frek. Frek.

Kumultatif

 

Z Fs

 

  X

Z Ft

 

Z_i



 

Z_i Ft

 

Z_i



270.200 1 1 0,167 -1,37 0,085 0,082

280.500 1 2 0,333 -1,03 0,152 0,181

317.750 1 3 0,500 0,20 0,579 0,079

325.800 1 4 0,667 0,46 0,677 0,010

325.900 1 5 0,833 0,47 0,681 0,152

350.100 1 6 1,000 1,26 0,896 0,104

Probabilita standardized Ft

 

Z_i didapat dengan cara sebagai berikut: a. Misal X=270.200.000

37 , 1

000 . 360 . 30

000 . 710 . 311 000 . 200 . 270

 

Z Z

X Z

 

Perpotongan antara baris 1,37 dengan kolom 0,00 = 0,4147

P(Z ≥ 1,37) = P(Z ≥ 0) – P(Z ≤ 1,37)

= 0,5000 – 0,4147 = 0,085 (Luas Kurva)

(47)

b. Misal X=325.900.000 47 , 0 000 . 360 . 30 000 . 710 . 311 000 . 900 . 325      Z Z X Z  

Perpotongan antara baris 0,47 dengan kolom 0,00 = 0,1808 P(Z  0,47) = P(Z ≥ 0) + P(Z 0,47)

= 0,5000 + 0,1808 = 0,681 (Luas Kurva)

Untuk nilai D kritis dipakai  5% , maka akan diperoleh hasil sebesar:





2,45 kritis 2,79 0,895 kritis 35 , 0 01 , 0 45 , 2 895 , 0 kritis 6 85 , 0 01 , 0 6 0,895 kritis 85 , 0 01 , 0 895 , 0 kritis              _ _         _ _   D D D D n n D

Dari sekian banyak nilai D ternyata statistik uji D maksimum adalah 0,181. Sedangkan nilai D kritis didapat sebesar 2,45. Maka dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai D kritis lebih besar dari nilai D maksimum yaitu 2,45 > 0,181. Maka Ho diterima

berarti bahwa distribusi severitas kerugian operasional dari data yang dimiliki didistribusikan menurut distribusi normal.

(48)

3.6.2.3 Anderson Darling Test

Tabel 3.8 merupakan hasil yang diperoleh dalam perhitungan distribusi normal dengan pendekatan Anderson Darling test dengan mempergunakan data kerugian operasional sebagaimana pada Tabel 3.4 dengan x= 311.710.000 dan s = 30.360.000.

Tabel 3.8 Perhitungan Anderson Darling Test Distribusi Severitas i X F(Z) lnF(Z) n-i+1 Z(n-i+1) F(Z(n-i+1)) 1-F(Z(n-i+1)) ln(1-F)

1 270.2 0,085 -2,456 6 1,26 0,896 0,104 -2,263 2 280.5 0,152 -1,884 5 0,47 0,681 0,319 -1,143 3 317.75 0,579 -0,547 4 0,46 0,677 0,323 -1,130 4 325.8 0,677 -0,390 3 0,20 0,579 0,421 -0,865 5 325.9 0,681 -0,384 2 -1,03 0,152 0,848 -0,165 6 350.1 0,896 -0,110 1 -1,37 0,085 0,915 -0,090

Probabilita standardized F(Z) didapat dengan cara sebagai berikut: a. Misal X=270.200.000

37 , 1

000 . 360 . 30

000 . 710 . 311 000 . 200 . 270

 

Z Z

X Z

 

Perpotongan antara baris 1,37 dengan kolom 0,00 = 0,4147

P(Z ≥ 1,37) = P(Z ≥ 0) – P(Z ≤ 1,37)

= 0,5000 – 0,4147 = 0,085 (Luas Kurva)

(49)

b. Misal X=325.900.000

47 , 0

000 . 360 . 30

000 . 710 . 311 000 . 900 . 325



 

Z Z

X Z

 

Perpotongan antara baris 0,47 dengan kolom 0,00 = 0,1808 P(Z  0,47) = P(Z ≥ 0) + P(Z 0,47)

= 0,5000 + 0,1808 = 0,681 (Luas Kurva)

Untuk mendapatkan nilai Z(n-i+1) diperoleh dengan cara:

Z(n-i+1) = Z(6-1+1) = Z(6)

= Z(350.100.000)

Sehingga nilai Z(n-i+1) diperoleh sebesar:

26 , 1

000 . 360 . 30

000 . 710 . 311 000 . 100 . 350



 

Z Z

X Z

 

Untuk mendapatkan nilai F(Z(n-i+1)) caranya sama seperti untuk mendapatkan

nilai pada F(Z) didapat dengan cara sebagai berikut:

a. Misal nilai Z(n-i+1) yang didapat adalah 1,26 maka perpotongan antara baris

1,26 dengan kolom 0,00 = 0,3980

P(Z  1,26) = P(Z ≥ 0) + P(Z 1,26) = 0,5000 + 0,3962 = 0,896 (Luas Kurva)

(50)

b. Misal nilai Z(n-i+1) yang didapat adalah -1,03 maka perpotongan antara baris

1,03 dengan kolom 0,00 = 0,3485

P(Z ≥ 1,028) = P(Z ≥ 0) – P(Z ≤ 1,028)

= 0,5000 – 0,3485 = 0,152 (Luas Kurva)

Berdasarkan rumus risiko operasional dengan menggunakan test Goodness of Fit (GoF) dengan pendekatan Anderson Darling (AD) tersebut dapat dihitung sebagai berikut:  

 









 









_       _ _ _ 



  n i i n

i F Z n

Z F n i AD 1 1 0

0 ln1

ln 2 1

Dengan: AD = Anderson Darling test

F = fungsi kumulatif distribusi dari distribusi normal n = jumlah sampel

Sehingga nilai untuk Anderson Darling test diperoleh sebesar:

 

 









 









_       _ _ _ 



  n i i n

i F Z n

Z F n i AD 1 1 0

0 ln1

ln 2 1



 











 







 











 







 











 





6 090 , 0 110 , 0 6 x6 2 1 165 , 0 384 , 0 6 x5 2 1 865 , 0 390 , 0 6 x4 2 1 130 , 1 547 , 0 6 x3 2 1 143 , 1 884 , 1 6 x2 2 1 263 , 2 456 , 2 6 x1 2 1                           _ _ _         _ _ _         _ _ _         _ _ _         _ _ _         _ _ _  AD



 





 



 



 



 





 





 



 



 



 



0,200 -x 833 , 1 0,549 -x 500 , 1 1,255 -x 167 , 1 1,677 -x 833 , 0 3,027 -x 500 , 0 4,719 -x 167 , 0                    AD



0,7881,5141,3971,4650,8240,367



6  AD 355 , 0 6 355 , 6    AD AD

(51)

Untuk critical value diperoleh dengan rumus sebagai berikut:

633 , 0

0625 , 0 125 , 0 1

752 , 0

6 25 , 2 6

75 , 0 1

752 , 0

25 , 2 75 , 0 1

752 , 0

2 2



 



  

CV CV CV

n n CV

3 , 63 

CV %

Dari nilai critical value (CV) dan Anderson Darling (AD) yang diperoleh dapat dilihat bahwa hasil dari perbandingan keduanya nilai critical value lebih besar dari nilai Anderson Darling yaitu 0,633 > 0,355. Maka Ho diterima berarti bahwa

distribusi severitas kerugian operasional dari data yang dimiliki didistribusikan menurut distribusi normal.

Dari pengujian distribusi frekuensi dan pengujian distribusi severitas di atas diperoleh hasil dimana untuk distribusi frekuensi dari data yang dimiliki diuji dengan metode Chi-square, Kolmogorov Smirnov dan Anderson Darling ternyata menghasilkan data yang berdistribusi Poisson. Sedangkan untuk distribusi severitas dari data yang dimiliki diuji dengan metode Chi-square, Kolmogorov Smirnov dan

(52)

BAB 4

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Setelah dilakukan proses pengukuran terhadap data kerugian operasional dengan menggunakan pendekatan Chi-square, Kolmogorov Smirnov, dan Anderson Darling, maka test Goodness of Fit untuk distribusi frekuensi dari data yang dimiliki ternyata berdistribusi Poisson. Sedangkan test Goodness of Fit untuk distribusi severitas dari data yang dimiliki ternyata berdistribusi secara normal. Dari ketiga metode test Goodness of Fit tersebut dapat diketahui bahwa Chi-square test dan

Kolmogorov Smirnov test bisa digunakan untuk menguji karakteristik distribusi frekuensi. Sedangkan Kolmogorov Smirnov test dan Anderson Darling test bisa digunakan untuk menguji karakteristik distribusi severitas.

4.2 Saran

lebih praktis dengan menggunakan software Minitab. Disamping itu juga sebuah perusahaan harus menyediakan anggaran perawatan yang efektif dan kontribusi yang diambil dari pengukuran risiko operasional dengan menggunakan pendekatan-pendekatan pengukuran risiko operasional diharapkan dapat bermanfaat bagi pihak manajemen perusahaan dalam proses pengukuran risiko operasional.

(53)

DAFTAR PUSTAKA

Global Association of Risk Professionals dan Badan Sertifikasi Manajemen Risiko. 2007. Indonesia Certificate in Banking Risk and Regulation – Workbook. Level 1 dan 2. London: GARP.

Global Association of Risk Professionals dan Badan Sertifikasi Manajemen Risiko. 2008. Indonesia Certificate in Banking Risk and Regulation – Workbook. Level 3. London: GARP.

Idroes, Ferry N. 2008. Manajemen Risiko Perbankan. Jakarta: PT. RajaGrafindo Persada.

Muslich, Muhammad. 2007. Manajemen Risiko Operasional – Teori dan Praktek. Jakarta: PT. Bumi Aksara.

Surjadi, P.A. 1980. Pendahuluan Teori Kemungkinan dan Statistika. Bandung: Penerbit ITB.

Walpole, Ronald E. 1992. Pengantar Statistika Edisi ke-3. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.

Walpole, Ronald E. and Raymond H. Myers. 2002. Probability and Statistics for Engineers & Scientists. 7th Ed. New Jersey: Prentice Hall.

http://www.google.com/anderson darling. 05 Februari 2011.

http://www.google.com/distribusi normal. 05 Februari 2011.

http://www.google.com/normality test. 05 Februari 2011.

(1)

3.6.2.3 Anderson Darling Test

Tabel 3.8 merupakan hasil yang diperoleh dalam perhitungan distribusi normal dengan pendekatan Anderson Darling test dengan mempergunakan data kerugian operasional sebagaimana pada Tabel 3.4 dengan x= 311.710.000 dan s = 30.360.000.

Tabel 3.8 Perhitungan Anderson Darling Test Distribusi Severitas i X F(Z) lnF(Z) n-i+1 Z(n-i+1) F(Z(n-i+1)) 1-F(Z(n-i+1)) ln(1-F)

Probabilita standardized F(Z) didapat dengan cara sebagai berikut:

a. Misal X=270.200.000

37 , 1

000 . 360 . 30

000 . 710 . 311 000 . 200 . 270

 

Z Z

X Z

 

Perpotongan antara baris 1,37 dengan kolom 0,00 = 0,4147 P(Z ≥ 1,37) = P(Z ≥ 0) – P(Z ≤ 1,37)

= 0,5000 – 0,4147 = 0,085 (Luas Kurva)

(2)

b. Misal X=325.900.000

47 , 0

000 . 360 . 30

000 . 710 . 311 000 . 900 . 325



 

Z Z

X Z

 

Perpotongan antara baris 0,47 dengan kolom 0,00 = 0,1808 P(Z  0,47) = P(Z ≥ 0) + P(Z 0,47)

= 0,5000 + 0,1808 = 0,681 (Luas Kurva)

Untuk mendapatkan nilai Z(n-i+1) diperoleh dengan cara:

Z(n-i+1) = Z(6-1+1) = Z(6)

= Z(350.100.000)

Sehingga nilai Z(n-i+1) diperoleh sebesar:

26 , 1

000 . 360 . 30

000 . 710 . 311 000 . 100 . 350



 

Z Z

X Z

 

Untuk mendapatkan nilai F(Z(n-i+1)) caranya sama seperti untuk mendapatkan

nilai pada F(Z) didapat dengan cara sebagai berikut:

a. Misal nilai Z(n-i+1) yang didapat adalah 1,26 maka perpotongan antara baris

1,26 dengan kolom 0,00 = 0,3980

P(Z  1,26) = P(Z ≥ 0) + P(Z 1,26) = 0,5000 + 0,3962 = 0,896 (Luas Kurva)

(3)

b. Misal nilai Z(n-i+1) yang didapat adalah -1,03 maka perpotongan antara baris

1,03 dengan kolom 0,00 = 0,3485

P(Z ≥ 1,028) = P(Z ≥ 0) – P(Z ≤ 1,028) = 0,5000 – 0,3485 = 0,152 (Luas Kurva)

Berdasarkan rumus risiko operasional dengan menggunakan test Goodness of Fit (GoF) dengan pendekatan Anderson Darling (AD) tersebut dapat dihitung sebagai berikut:  

 









 









_       _ _ _ 



  n i i n

i F Z n

Z F n i AD 1 1 0

0 ln1

ln 2 1

Dengan: AD = Anderson Darling test

F = fungsi kumulatif distribusi dari distribusi normal

n = jumlah sampel

Sehingga nilai untuk Anderson Darling test diperoleh sebesar:

 

 









 









_       _ _ _ 



  n i i n

i F Z n

Z F n i AD 1 1 0

0 ln1

ln 2 1



 











 







 











 







 











 







 





 



 



 



 





 





 



 



 



 



0,200 -x 833 , 1 0,549 -x 500 , 1 1,255 -x 167 , 1 1,677 -x 833 , 0 3,027 -x 500 , 0 4,719 -x 167 , 0                    AD



0,7881,5141,3971,4650,8240,367



6

 AD 355 , 0 6 355 , 6    AD AD

(4)

Untuk critical value diperoleh dengan rumus sebagai berikut:

633 , 0

0625 , 0 125 , 0 1

752 , 0

6 25 , 2 6

75 , 0 1

752 , 0

25 , 2 75 , 0 1

752 , 0

2 2



 



  

CV CV CV

n n CV

3 , 63



CV %

Dari nilai critical value (CV) dan Anderson Darling (AD) yang diperoleh dapat dilihat bahwa hasil dari perbandingan keduanya nilai critical value lebih besar dari nilai Anderson Darling yaitu 0,633 > 0,355. Maka Ho diterima berarti bahwa

distribusi severitas kerugian operasional dari data yang dimiliki didistribusikan menurut distribusi normal.

Dari pengujian distribusi frekuensi dan pengujian distribusi severitas di atas diperoleh hasil dimana untuk distribusi frekuensi dari data yang dimiliki diuji dengan metode Chi-square, Kolmogorov Smirnov dan Anderson Darling ternyata menghasilkan data yang berdistribusi Poisson. Sedangkan untuk distribusi severitas dari data yang dimiliki diuji dengan metode Chi-square, Kolmogorov Smirnov dan Anderson Darling ternyata berdistribusi secara normal.

(5)

BAB 4

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Setelah dilakukan proses pengukuran terhadap data kerugian operasional dengan menggunakan pendekatan Chi-square, Kolmogorov Smirnov, dan Anderson Darling, maka test Goodness of Fit untuk distribusi frekuensi dari data yang dimiliki ternyata berdistribusi Poisson. Sedangkan test Goodness of Fit untuk distribusi severitas dari data yang dimiliki ternyata berdistribusi secara normal. Dari ketiga metode test Goodness of Fit tersebut dapat diketahui bahwa Chi-square test dan Kolmogorov Smirnov test bisa digunakan untuk menguji karakteristik distribusi frekuensi. Sedangkan Kolmogorov Smirnov test dan Anderson Darling test bisa digunakan untuk menguji karakteristik distribusi severitas.

4.2 Saran

Dari analisis dan kesimpulan yang telah didapat, ada beberapa saran yang mungkin bisa membantu dalam melakukan pengambilan keputusan yaitu untuk menyelesaikan persoalan ini dapat lebih praktis dengan penggunakan software Microsoft Excel untuk metode Chi-square. Sedangkan metode Anderson-Darling dan Kolmogorov-Smirnov lebih praktis dengan menggunakan software Minitab. Disamping itu juga sebuah perusahaan harus menyediakan anggaran perawatan yang efektif dan kontribusi yang diambil dari pengukuran risiko operasional dengan menggunakan pendekatan-pendekatan pengukuran risiko operasional diharapkan dapat bermanfaat bagi pihak manajemen perusahaan dalam proses pengukuran risiko operasional.

(6)

DAFTAR PUSTAKA

Global Association of Risk Professionals dan Badan Sertifikasi Manajemen Risiko. 2007. Indonesia Certificate in Banking Risk and Regulation – Workbook. Level 1 dan 2. London: GARP.

Global Association of Risk Professionals dan Badan Sertifikasi Manajemen Risiko. 2008. Indonesia Certificate in Banking Risk and Regulation – Workbook. Level 3. London: GARP.

Idroes, Ferry N. 2008. Manajemen Risiko Perbankan. Jakarta: PT. RajaGrafindo Persada.

Muslich, Muhammad. 2007. Manajemen Risiko Operasional – Teori dan Praktek. Jakarta: PT. Bumi Aksara.

Surjadi, P.A. 1980. Pendahuluan Teori Kemungkinan dan Statistika. Bandung: Penerbit ITB.

Walpole, Ronald E. 1992. Pengantar Statistika Edisi ke-3. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.

Walpole, Ronald E. and Raymond H. Myers. 2002. Probability and Statistics for Engineers & Scientists. 7th Ed. New Jersey: Prentice Hall.

http://www.google.com/anderson darling. 05 Februari 2011.

http://www.google.com/distribusi normal. 05 Februari 2011.

http://www.google.com/normality test. 05 Februari 2011.