Dalam membangun sistem fuzzy, ada hal-hal yang terdapat dalam sistem fuzzy tersebut yaitu sebagai berikut:
a. Variabel fuzzy merupakan variabel yang dibahas dalam suatu sistem fuzzy seperti
umur, temperatur, permintaan dan sebagainya. b.
Himpunan fuzzy, merupakan suatu grup yang mewakili suatu kondisi atau keadaan tertentu dalam suatu variabel fuzzy. Contoh: variabel umur, terbagi atas 3
himpunan fuzzy, yaitu: MUDA, PAROBAYA, TUA. c.
Semesta pembicaraan adalah keseluruhan nilai yang diperbolehkan untuk dioperasikan dalam suatu variabel fuzzy. Semesta pembicaraaan merupakan
himpunan bilangan real yang selalu naik bertambah secara monoton dari kiri ke kanan. Nilai semesta pembicaraan dapat berupa bilangan positif maupun negatif.
Adakalanya nilai semesta pembicaraan tidak dibatasi batas atasnya. Contoh: Semesta pembicaraan untuk variabel umur: [0 +∞]
d. Domain adalah keseluruhan nilai yang diijinkan dalam semesta pembicaraan dan
boleh dioperasikan dalam himpunan fuzzy.
2.1.3. Fungsi Keanggotaan
Fungsi keanggotaan membership function adalah kurva yang mendefinisikan bagaimana masing-masing titik dalam ruang input dipetakan ke dalam nilai
keanggotaannya. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mendapatkan nilai keanggotaan adalah adalah dengan pendekatan fungsi. Ada beberapa fungsi yang bisa
digunakan yaitu:
a. Representasi Linier
Pada representasi linier, pemetaan input ke derajat keanggotaannya digambarkan sebagai suatu garis lurus. Bentuk ini paling sederhana dan menjadi pilihan yang baik
untuk mendekati konsep yang kurang jelas.
Universitas Sumatera Utara
Ada dua himpunan fuzzy yang linier. Pertama, kenaikan himpunan dimulai pada nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan nol [0] bergerak ke kanan
menuju nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih tinggi Gambar 2.2
1
0 domain a b
Gambar 2.2 Representasi Linier Naik
Fungsi keanggotaan:
Kedua merupakan kebalikan yang pertama. Garis lurus dimuali dari nilai domain dengan derajat keanggotaan tertinggi pada sisi kiri, kemudian bergerak
menurun ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih rendah Gambar
2.3
1
0 domain a b
Gambar 2.3. Representasi Linier Turun
Universitas Sumatera Utara
Fungsi keanggotaan:
b. Representasi Kurva Segitiga
Kurva Segitiga pada dasarnya merupakan gabungan antara dua garis linier seperti
terlihat pada Gambar 2.4
1
0 domain a b c
Gambar 2.4. Kurva Segitiga
Fungsi Keanggotaan:
c. Representasi Kurva Trapesium
Kurva segitiga pada dasarnya seperti bentuk segitiga, hanya saja ada beberapa titik
yang memiliki nilai keanggotaan 1 Gambar 2.5
Universitas Sumatera Utara
1
.
0 domain a b c d
Gambar 2.5. Kurva Trapesium Fungsi Keanggotaan:
2.1.4. Relasi Fuzzy
Relasi tegas hanya menyatakan ada atau tidak ada hubungan antara elemen-elemen dari suatu himpunan dengan elemen-elemen himpunan lainnya, sedangkan relasi
fuzzy lebih luas dari itu juga menyatakan derajat eratnya hubungan tersebut. Dengan
demikian relasi fuzzy memperluas konsep relasi tegas untuk dapat menangkap dan menyajikan realita dunia nyata dengan lebih baik Susilo, 2006.
Konsep dasar dari sistem pendukung keputusan fuzzy adalah relasi antar elemen dalam himpunan-himpunan. Suatu relasi fuzzy mempresentasikan derajat
keanggotaan hubungan antar elemen dari 2 atau lebih himpunan. Relasi fuzzy antara suatu elemen x
dan suatu elemen y didefinisikan sebagai X Y yang
merupakan cartesian product dan diwujudkan dalam himpunan pasangan x,y Bourke, 1998, dalam Kusumadewi, 2006
Universitas Sumatera Utara
Relasi fuzzy C merupakan himpunan bagian dari X Y yang ditetapkan
sebagai: C x,y = {x,y,
Untuk melakukan agregasi terhadap para expert ke dalam grup preferensi, dibutuhkan relasi preferensi. Pada relasi preferensi, setiap expert menghubungkan
nilai preferensi antara setiap alternatif Fodor 1994, dalam Kusumadewi, 2006 Ada 2 macam relasi preferensi yang sering digunakan, yaitu: relasi preferensi
multiplikatif multiplicatice preference relations dan relasi preferensi fuzzy fuzzy preference relations
. Relasi preferensi multiplikatif A, pada himpunan alternatif X direpresentasikan sebagai matriks A
X, A = merupakan rasio preferensi
alternatif terhadap
, berarti bahwa kali lebih baik daripada
Prof. Thomas Saaty Pengembang Metode Analytical Hierarchy Process merekomendasikan untuk
menggunakan nilai 1, 2, 3 , …, 9 untuk
. Jika = 1 berarti tidak ada perbedaan
antara dan
. Jika = 9 maka
mutlak lebih baik daripada .
Relasi preferensi fuzzy, P, pada himpunan alternatif X adalah himpunan fuzzy dalam bentuk X
X, yang dicirikan dengan fungsi keanggotaan:
.
dengan P = dan
i, j = {1,2,…,n adalah derajat preferensi
alternatif x
i
terhadap alternatif x
j
. Jika =
berarti tidak ada perbedaan antara x
i
dan x
j
x
i
x
j
; jika = 1
berarti x
i
mutlak lebih baik daripada x
j
; dan jika berarti
x
i
lebih baik daripada x
j
.
2.2 Multi-Attribute Decision Making MADM
Multiple Criteria Decision Making MCDM adalah suatu metode pengambilan
keputusan untuk menetapkan alternatif terbaik dari sejumlah alternatif berdasarkan
Universitas Sumatera Utara
beberapa kriteria tertentu. Kriteria biasanya berupa ukuran-ukuran, aturan-aturan atau standar yang digunakan dalam pengambilan keputusan.
Berdasarkan tujuannya, MCDM dapat dibagi menjadi 2 model Zimermann, 1991, dalam Kusumadewi, 2006: Multi-Attribute Decision Making MADM dan
Multi-Objective Decisiom
Making MODM.
MODM digunakan
untuk menyelesaikan masalah-masalah pada ruang kontinu seperti permasalahan pada
pemrograman matematis. Sedangkan MADM digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah dalam ruang diskrit.. Secara umum dapat dikatakan bahwa MADM
menyeleksi alternatif terbaik dari sejumlah alternatif, sedangkan MODM merancang alternatif terbaik.
Pada dasarnya, proses MADM dilakukan melalui 3 tahap, yaitu penyusunan komponen-komponen situasi, analisis, dan sintesis informasi Kusumadewi, 2006.
Pada tahap penyusunan komponen-komponen situasi, akan dibentuk tabel taksiran yang berisi identifikasi alternatif dan spesifikasi tujuan, kriteria dan atribut. Salah satu
cara menspesifikasikan tujuan situasi 1, 2, …,t | adalah dengan cara
mendaftar konsekuensi –konsekuensi yang mungkin dari alternatif yang telah
teridentifikasi 1, 2, …, n |. Selain itu juga disusun atribut-atribut yang akan
digunakan 1, 2, …,m |
Tahap analisis dilakukan melalui 2 langkah. Pertama, mendatangkan taksiran dari besaran yang potensial, kemungkinan dan ketidakpastian yang berhubungan
dengan dampak-dampak yang mungkin pada setiap alternatif. Kedua, meliputi pemilihan dan preferensi pengambilan keputusan untuk setiap nilai, dan pengabaian
resiko yang timbul. Pada langkah pertama beberapa menggunakan fungsi distribusi | yang menyatakan probabilitas kumpulan atribut
| terhadap setiap alternatif |. Konsekuensi juga dapat ditentukan secara langsung dari agregasi sederhana yang
dilakukan pada informasi terbaik yang tersedia. Demikian pula ada beberapa cara untuk menentukan preferensi pengambilan keputusan pada setiap konsekuen yang
dapat dilakukan pada langkah kedua.
Universitas Sumatera Utara
Secara umum, model multi-attribute decision making dapat didefenisikan sebagai berikut Zimermann, 1991, dalam Kusumadewi, 2006:
Misalkan A = | i = 1, 2, …,n} adalah himpunan alternatif-alternatif keputusan dan
C = | j = 1, 2, …,m} adalah himpunan tujuan yang diharapkan, maka akan
ditentukan alternatif yang memiliki derajat harapan tertinggi terhadap tujuan-
tujuan yang relevan .
Sebagian besar pendekatan MADM dilakukan melalui 2 langkah, yaitu: pertama, melakukan agregasi terhadap keputusan-keputusan yang tanggap terhadap
semua tujuan pada setiap alternatif. Kedua, melakukan perangkingan alternatif- alternatif keputusan tersebut berdasarkan hasil agregasi keputusan.
Dengan demikian, bisa dikatakan bahwa, masalah MADM adalah mengevaluasi m alternatif
1, 2, …, m | terhadap sekumpulan atribut atau kriteria
| j = 1, 2 , …,n}, di mana setiap atribut saling tidak bergantung satu
dengan yang lainnya. Matriks keputusan setiap alternatif terhadap setiap atribut, X diberikan sebagai:
X=
dimana merupakan rating kinerja alternatif ke-i terhadap atribut ke-j. Nilai bobot
yang menunjukkan tingkat kepentingan relatif setiap atribut diberikan sebagai, W: W= {
Rating kinerja X dan nilai bobot W merupakan nilai utama yang mempresentasikan preferensi absolut dari pengambil keputusan. Masalah MADM
diakhiri dengan proses perankingan untuk mendapatkan alternatif terbaik yang diperoleh berdasarkan nilai keseluruhan preferensi yang diberikan Yeh, 2002, dalam
Kusumadewi, 2006
Universitas Sumatera Utara
Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah MADM, antara lain Kusumadewi, 2006:
a. Simple Additive Weighting SAW b. Weighted Product WP
c. ELECTRE d. Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution TOPSIS
e. Analytic Hierarchy Process AHP
2.2.1. Analytical Hierarchy Process AHP
Metode Analytical Hierrchy Process AHP dikembangkan oleh Prof. Thomas Lorie Saaty dari Wharton Business School di awal tahun 1970, yang digunakan untuk
mencari rangking atau urutan prioritas dari berbagai alternatif dalam pemecahan suatu permasalahan. Dalam kehidupan sehari-hari, seseorang senantiasa dihadapkan
untuk melakukan pilihan dari berbagai alternatif. Disini diperlukan penentuan prioritas dan uji konsistensi terhadap pilihan pilihan yang telah dilakukan. Dalam
situasi yang kompleks, pengambilan keputusan tidak dipengaruhi oleh satu faktor saja melainkan multi-faktor dan mencakup berbagai jenjang maupun kepentingan.
Pada dasarnya AHP adalah suatu teori umum tentang pengukuran yang digunakan untuk menemukan skala rasio, baik dari perbandingan berpasangan yang
diskrit maupun kontinu. Perbandingan-perbandingan ini dapat diambil dari ukuran aktual atau skala dasar yang mencerminkan kekuatan perasaan dan preferensi relatif.
Metode ini adalah sebuah kerangka untuk mengambil keputusan dengan efektif atas persoalan dengan menyederhanakan dan mempercepat proses pengambilan keputusan
dengan memecahkan persoalan tersebut kedalam bagian-bagiannya, menata bagian atau variabel ini dalam suatu susunan hirarki, memberikan nilai numerik pada
pertimbangan subjektif tentang pentingnya tiap variabel dan mensintesis berbagai pertimbangan ini untuk menetapkan variabel yang mana yang memiliki prioritas
paling tinggi dan bertindak untuk mempengaruhi hasil pada situasi tersebut.
Universitas Sumatera Utara
Misalkan dan
adalah tujuan. Tingkat kepentingan relatif tujuan-tujuan
ini dapat dilihat dalam 9 poin, seperti pada Tabel 2.1 Kusumadewi, 2006
Tabel 2.1 Tingkat kepentingan
Nilai Interpretasi
1 dan
sama penting 3
sedikit lebih penting daripada 5
kuat kepentingannya daripada 7
sangat kuat kepentingannya daripada 9
mutlak lebih penting daripada 2,4,6,8
Nilai-nilai diantara dua pilihan yang berdekatan
Contoh: angka 8 menunjukkan bahwa delapan kali lebih penting daripada
, atau terletak antara sangat kuat dan mutlak lebih penting daripada
Misalkan , …,
; n adalah tujuan, matriks perbandingan berpasangan
adalah matriks berukurasan n n dengan elemen
merupakan nilai relatif tujuan ke- i terhadap tujuan ke-j.
Matriks perbandingan berpasangan dikatakan konsisten jika dan hanya jika untuk setiap i, j, k
i {1, 2, …, n} 1.
= 1 2.
=
Universitas Sumatera Utara
3. =
Matriks perbandingan berpasangan dapat dibangun hanya dengan n-1 perbandingan, yaitu:
Misalkan atribut merupakan tujuan, maka matriks berpasangan dengan
n-1 perbandingan adalah:
Matriks di atas merupakan matriks berpasangan yang konsisten yang dapat dibuat kedalam matriks berpasangan sebagai berikut:
Andaikan ada n tujuan dalam AHP, matriks A adalah matriks perbandingan berpasangan yang konsisten, maka A dapat berupa matriks:
Universitas Sumatera Utara
Dimana adalah bobot tujuan ke-i. Secara umum vektor bobot w
= { untuk n tujuan dapat diakomodasi matriks A dengan mencari
solusi non-trivial dari himpunan n persamaan dengan n variabel yang tidak diketahui sebagai berikut:
A Jika A konsisten, maka v = n memberikan suatu solusi non-trivial yang unik.
A
Jumlah semua bobot sama dengan satu. Jika A adalah matriks perbandingan berpasangan berurutan n
n yang konsisten, maka:
=
Apabila A adalah matriks perbandingan berpasangan yang tidak konsisten, maka vektor bobot yang berbentuk A
dapat didekati dengan cara: i.
Menormalkan setiap kolom j dalam matriks A, sedemikian hingga: sebut sebagai A’
ii. Untuk setiap baris I dalam A’, hitunglah nilai rata-ratanya:
dengan adalah bobot tujuan ke-i dari vektor bobot.
Universitas Sumatera Utara
Misalkan A adalah matriks perbandingan berpasangan , dan w adalah vektor bobot, maka konsistensi dari vektor bobot w dapat diuji sebagai berikut:
i. Hitung: A
ii. Hitung:
t=
iii. Hitung indeks konsistensi:
iv. Jika CI = 0 maka A konsisten; jika
maka A cukup konsisten; dan jika jika
maka A tidak konsisten
Indeks random adalah nilai rata-rata CI yang dipilih secara acak pada A dan
diberikan sebagai: Tabel 2.2 Nilai Random Indeks RI
N 1
2 3
4 5
6 7
8 9
10 11
12 RI 0,00 0,00 0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49 1,51 1,48
2.3. Fuzzy Multi-Attribute Decision Making Fuzzy MADM
Apabila data atau informasi yang diberikan, baik oleh pengambil keputusan, maupun data tentang atribut suatu alternatif tidak dapat disajikan secara tegas atau bersifat
fuzzy , maka metode multiple criteria decision making MCDM biasa tidak dapat
digunakan untuk menyelesaikan permasalahan ini. Masalah kekaburan fuzzy bisa disebabkan oleh beberapa hal, seperti: Informasi yang tidak dapat dihitung, informasi
yang tidak lengkap, informasi yang tidak jelas, dan pengabaian parsial Kusumadewi, 2006 Chen, 1997. Untuk mengatasi masalah tersebut dilakukan penelitian tentang
pengunaan metode fuzzy MCDM dan terbukti memiliki kinerja yang baik. Fuzzy
MCDM dapat diklasifikasikan dalam 2 model Ribeiro, 1996, dalam Kusumadewi, 2006 yaitu: Fuzzy Multi-Objective Decision Making Fuzzy MODM
dan Fuzzy Multi-Attribute Decision Making Fuzzy MADM. Pada fuzzy MODM
Universitas Sumatera Utara
berisi sejumlah tujuan yang berbeda yang biasanya sangat sulit diselesaikan secara simultan. Alternatif-alternatif tidak didefenisikan sebelumnya, sehingga pengambil
keputusan harus menyeleksi beberapa kemungkinan alternatif dengan jumlah sumber yang sangat terbatas. Sedangkan pada fuzzy MADM, alternatif-alternatif sudah
diketahui dan ditentukan sebelumnya. Pengambil keputusan harus menentukan prioritas atau ranking berdasarkan kriteria yang diberikan.
Secara umum, fuzzy MADM memiliki suatu tujuan tertentu, yang dapat diklasifikasikan menjadi dua tipe, yaitu Simoes-Marques, 2000, dalam Kusumadewi,
2006, menyeleksi alternatif dengan atribut kriteria dengan ciri-ciri terbaik; dan mengklasifikasi alternatif berdasarkan peran tertentu. Untuk menyelesaikan masalah
Fuzzy MADM, dibutuhkan 2 tahap, yaitu:
a. Membuat rating pada setiap alternatif berdasarkan agregasi derajat kecocokan
pada semua kriteria b.
Merangking semua alternatif untk mendapatkan alternatif terbaik. Ada 2 cara yang dapat digunakan dalam proses perangkingan, yaitu melaui defuzzy atau
melalui relasi preferensi fuzzy. Metode defuzzy dilakukan dengan pertama- tama membuat bentuk crisp dari bilangan fuzzy, proses perankingan
didasarkan atas bilangan crisp tersebut. Model ini memang mudah diimplementasikan namun sangat mungkin kehilangan beberapa informasi
terutama yang menyangkut ketidakpastian. Penggunaan relasi preferensi fuzzy lebih menjamin ketidakpastian yang melekat pada bilangan fuzzy hingga
proses perankingan Lee, 2003, dalam Kusumadewi, 2006. Metode-metode Multi-Attribute Decision Making MADM klasik memiliki
beberapa kelemahan, antara lain: a.
Tidak cukup efisien untuk menyelesaikan masalah-masalah pengambilan keputusan yang melibatkan data yang tidak tepat, tidak pasti, dan tidak jelas
Zhang, 2005, dalam Kusumadewi, 2006
Universitas Sumatera Utara
b. Biasanya diasumsikan bahwa keputusan akhir terhadap altenatif-alternatif
diekspresikan dengan bilangan riil, sehingga tahap perankingan menjadi kurang mewakili beberapa permasalahan tertentu, dan penyelesaian masalah
hanya terpusat pada tahap agregasi. Zimermann, 1991, dalam Kusumadewi, 2006.
Salah satu cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut adalah dengan menggunakan Fuzzy Multi-Attribute Decision Making
FMADM Zhang, 2005, dalam Kusumadewi, 2006 Pada dasarnya, ada 2 model Fuzzy MADM, yaitu model yang diperkenalkan
oleh Yager 1978 dan model yang diperkenalkan oleh Baas dan Kwakernaak 1977. Fuzzy
MADM model Yager ini merupakan bentuk standar dari fuzzy MADM. Misalkan A={
adalah himpunan alternatif, dan atribut dipresentasikan dengan himpunan fuzzy
. Bobot yang menunjukkan tingkat kepentingan atribut ke-j dinotasikan dengan
nilai capaian alternatif terhadap
atribut diekpresikan dengan derajat keanggotaan
. Keputusan akhir diambil berdasarkan interseksi dari semua atribut fuzzy sebagai berikut:
= Alternatif optimal didefenisikan sedemikian rupa sehingga alternatif tersebut
memberikan kontribusi derajat keanggotaan tertinggi pada Langkah-langkah penyelesaian untuk model Yager ini adalah Zimmemann,
1991, dalam Kusumadewi, 2006 : a.
Tetapkan matriks perbandingan berpasangan antar atribut, berdasarkan prosedur hirarki saaty sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
M=
Dengan adalah kepentingan relative atribut
terhadap atribut .
b. Tentukan bobot
yang konsisten untuk setiap atribut berdasarkan metode eigenvector
dari saaty. c.
Hitung nilai dari d.
Tentukan interseksi dari semua , sebagai:
={ ,
e. Pilih
dengan derajat keanggotaan terbesar dalam dan tetapkan sebagai
alternatif optimal.
2.4. Perumahan
