Operasi pada Matriks

C. Operasi pada Matriks

Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat ¾ menyelesaikan penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dengan matriks dan

perkalian matriks dengan matriks; ¾ menyelesaikan kesamaan matriks menggunakan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks.

1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Dua Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau digunakan operasi pengurangan bila ordo (baris x kolom) kedua matriks tersebut sama. Hasil jumlah atau selisih didapat dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks tersebut.

A–B= ⎜⎜

A + C tidak dapat dijumlahkan, karena ordo kedua matriks tersebut tidak sama.

Untuk setiap matriks A, B dan C yang berordo sama, berlaku sifat-sifat operasi penjumlahan dan pengurangan matriks sebagai berikut:

a. A + (B + C) = (A + B) + C sifat asosiatif,

b. A + B = B + A sifat komutatif,

c. A(B + C) = AB + AC sifat distributif,

88 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi

d. A(B – C) = AB – AC,

e. A + 0 = 0 + A = A,

f. terdapat matriks X sedemikian sehingga A + X = B.

2. Perkalian Matriks

a. Perkalian Matriks dengan Skalar ( k)

Misalkan k sebuah skalar dan A sebuah matriks, maka kA adalah sebuah matriks yang didapat dengan cara mengalikan setiap elemen (entri) matriks A dengan skalar k.

Contoh 17

Diketahui A = ⎜⎜

⎛ 2 − 1 ⎞ Tentukan a, b, dan c jika diketahui P = ⎜⎜

⎝ b − 4 ⎜⎜ ⎝ − 3 8 ⎠ ⎟⎟ ⎠ sehingga berlaku P – 2Q = R.

dari persamaan matriks tersebut didapat

a=0 b=1 c–2=2 ⇔ c=4

Contoh 19

Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut ini. ⎛ 1 − 2 ⎞

⎛ 2 0 a. 4X – 3 = ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜⎜

⎟ b + 1X =2 ⎜ ⎟ ⎝ 2 − 6 ⎟⎟

BAB III Matriks

Untuk setiap skalar k 1 dan k 2 , dan untuk setiap matriks A dan B yang berordo sama dan AB terdefinisi, berlaku sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar sebagai berikut:

a. (k 1 +k 2 )A=k 1 A+k 2 A

b. (k 1 – k 2 )A=k 1 A–k 2 A

c. (k 1 k 2 )A=k 1 (k 2 A)

b. Perkalian Matriks dengan Matriks

Dua matriks A dengan ordo m x n dan matriks B dengan ordo n x p, hasil kali antara A dan B adalah sebuah matriks C =

⋅ A B yang berordo m x p, didapat dengan cara mengalikan setiap elemen baris matriks A dengan elemen kolom matriks B.

Jika matriks A berordo m x n dan B berordo p x q dimana n ≠ p maka ⋅ A B tak terdefinisi. Perhatikan ilustrasi kartu domino pada Gambar 3-2 untuk perkalian dua mariks yang berordo masing-masing 2 x 4 dan 4 x 1.

90 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi

2x4

4x1

Syarat dua matriks Dapat dikalikan

Hasil kali kedua matriks dengan ordo 2 x 1

Gambar 3- 2 Contoh perkalian matriks

, tentukan AB ⋅

Jawab: Matriks A berordo 2 x 2 dan B berordo 2 x 3, hasil kali ⋅ A B adalah matriks yang berordo 2 x 3. Perhatikan ilustrasi di bawah ini.

A ⋅ B = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜

=- 2 ⋅ ( − 1 ) + 1 ⋅ 4 = 6 adalah entri baris ke-1 dan kolom ke-2 dari matriks A yang diperoleh dengan cara mengalikan elemen-elemen baris ke-1 matriks sebelah kiri

(matriks A) dengan elemen-elemen kolom ke-2 matriks sebelah kanan (matriks B) kemudian menjumlahkannya. Demikian seterusnya untuk mengisi kotak-kotak tersebut.

Diketahui matriks A = ⎜

⎟ dan C = 1

Tentukan a. AB ⋅

B ⋅ b. A c. AC ⋅

d. Apakah AB = ⋅ B ⋅. A

Jawab:

a. AB =

b. B ⋅ = A

BAB III Matriks

⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 c. 1 AC = ⎞ ⎜ ⎟ ⋅

⎜ = Tidak dapat diselesaikan karena kolom matriks pertama ⎠ ⎜ ⎟

(sebelah kiri) dengan banyaknya baris matriks kedua (sebelah kanan) tidak sama.

d. Dari hasil penyelesaian a dan b di atas, ternyata AB ⋅ ≠ B ⋅ . Jadi, perkalian tidak A komutatif.

Contoh 22

Tentukan hasil kali dari matriks-matriks di bawah ini. ⎛ 3 ⎞

b. ( 6 − 2 ) ⎜⎜

⎟⎟ c. ( 1 − 2 5 ) ⎜ 6 ⎟

b. ( 6 − 2 ) ⎜⎜ ⎟⎟ = ( 6 ⋅ 2 + ( − 2 ) ⋅ ( − 1 ) 6 ⋅ ( − 3 ) + ( − 2 ) ⋅ 4 )( = 14 − 26 )

c. ( 1 − 2 5 ) ⎜ 6 ⎟ = ( 1 ⋅ 3 + − 2 ⋅ 6 + 5 ⋅ ( − 5 ) ) = ( 3 − 12 − 25 ) = ( − 34 )

Contoh 23

Ibu Ahmad berbelanja di Toko ”Sembako Sejahtera” sebanyak 5 kg beras dengan harga Rp6.000,00 per kg, 4 kg terigu dengan harga Rp7.000,00 per kg, dan 3 liter minyak goreng dengan harga Rp9.000,00 per liter. Ibu Susan berbelanja barang yang sama di toko yang sama dengan kuantitas 10 kg beras, 8 kg terigu, dan 2 liter minyak goreng. Sederhanakan persoalan di atas dalam bentuk perkalian matriks dan tentukan jumlah yang harus dibayar oleh Ibu Ahmad dan Ibu Susan.

Jawab: Persoalan di atas jika disajikan dalam bentuk

Matriks adalah sebagai berikut

Keterangan A = Ibu Ahmad dan S = Ibu Susan .j

Jumlah yang harus dibayar Ibu Ahmad dan

Ibu Susan adalah: w

Gambar 3- 3 Toko kehidupan sehari- hari

92 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi ⎛ 6 . 000 ⎞

Jadi, jumlah yang harus dibayar Ibu Ahmad adalah Rp85.000,00 dan Ibu Susan adalah Rp134.000,00.