Penerapan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

E. Penerapan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat ¾ menyusun persamaan kuadrat berdasarkan akar-akar yang diketahui, ¾ menyusun persamaan kuadrat berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat lain, ¾ menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan persamaan

dan pertidaksamaan kuadrat.

1. Menyusun Persamaan Kuadrat

Jika x 1 dan x 2 akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya adalah sebagai berikut

Rumus perkalian faktor atau Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut.

a. Menggunakan rumus perkalian faktor Menggunakan rumus jumlah dan hasil

Misalkan x 1 = -2 dan x 2 =5

kali akar

(x – (-2))(x – 5) = 0 Misalkan x 1 = -2 dan x 2 =5 (x + 2)(x – 5) = 0

2 – (3)x + (-10) = 0 x

2 – 3x – 10 = 0 x

70 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi

b. x 1 = 1 – 2 dan x 2 = 1 + 2 (gunakan rumus jumlah dan hasil kali)

2 x 2 – 2x + (-1) = 0, sehingga x – 2 x –1 = 0

c. x 1 = dan x 2 = -2

1 x +x 2 = +(-2) =

x –( −)x+( − ) = 0, sehingga 3x +4x–4=0

) = 0, sehingga 10x – 13 x – 3 = 0

2. Menyusun Persamaan Kuadrat Berdasarkan Akar- akar Persamaan Kuadrat Lain

Untuk menentukan persamaan kuadrat berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat lain, perhatikan contoh-cotoh soal di bawah ini.

Contoh 27

Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali akar-akar persamaan kuadrat x 2 – 2x – 10 = 0.

Jawab: Misalkan akar-akar persamaan x 2 – 2x – 10 = 0 adalah x

1 dan x 2 , Dari persamaan diperoleh a = 1, b = -2 dan c = -10, sehingga

a dan

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru yang akan dicari adalah α dan β yang akarnya dua kali akar-akar persamaan yang diketahui atau α = 2x 1 dan β = 2x 2 . α + β = 2x 1 + 2x 2 dan α ⋅ β =2 x 1 ⋅ 2 x 2 =4 x 1 ⋅ x 2

= 2(x 1 +x 2 )= 2 ⋅=4 2 = 4(-10) = -40

BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan

Persamaan kuadrat baru yang mempunyai akar-akar α dan β adalah

x 2 –( α + β)x + α ⋅ β =0

2 x – (4)x + (-40) = 0

2 – 4x – 40 = 0 x

Contoh 28

Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x + 2 dan 1 x + 2 dari 2 persamaan kuadrat x 2 = 3x – 6 yang mempunyai akar-akar x

1 dan x 2 .

Jawab: x 2 = 3x – 6

x 2 – 3x + 6 = 0 diperoleh a = 1, b= -3 dan c = 6 x 1 +x 2 =- b =3

misal akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah α dan β, α= x + 2 dan 1 β= x + 2, maka 2

α+β= x+ 2 + 1 x+2 2 α ⋅ β = ( x + 2) . ( 1 x + 2) 2

= x+ 1 x+ 4 2 =

x 1 ⋅ x 2 + 2 x + 2 1 x + 4 2 = 3 + 4 = x 1 ⋅ x 2 + 2( x + 1 x)+4 2

3. Aplikasi Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Contoh 29

Sebuah pabrik mainan menjual produknya seharga Rp6.000,00 per unit. Biaya pembuatan x unit produk didapat menurut persamaan B = x 2 + 1.000 x. Berapa unit

produk harus diproduksi dan dijual agar mendapatkan laba Rp6.000.000,00?

Gambar 2.3 Hasil produksi pabrik pembuatan mainan

Jawab: Laba = Pendapatan – Biaya pembuatan = Harga jual x jumlah yang diproduksi – Biaya pembuatan

72 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi 6.000.000 = 6.000 x – (x 2 + 1.000 x)

0=x 2 – 5.000 x + 6.000.000

0 = (x – 3.000)(x – 2.000) x – 3.000 = 0 atau x – 2.000 = 0

1 = 3.000 atau x x 2 = 2.000

Jadi, untuk mendapatkan laba Rp6.000.000,00 harus diproduksi dan terjual sebanyak 3.000 unit atau 2.000 unit.

Contoh 30

Pak Somad memiliki sebidang tanah berbentuk persegi dengan ukuran (2x + 5) meter dan Pak Karta juga memiliki sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang (10x– 5) meter dan lebar 2x meter. Luas tanah Pak Karta dua kalinya luas tanah pak Somad. Tentukan luas tanah Pak Somad dan Pak Karta. Jawab: Luas tanah Pak Somad = sisi x sisi

= (2x + 5)(2x + 5) = 4x 2 + 20x + 25

Luas tanah Pak Karta = Panjang x lebar

= (10x – 5 ) 2x = 20x 2 ⋅ – 10x

Luas tanah Pak Karta = dua kalinya luas tanah Pak Somad

(6x + 5)(x – 5) = 0 6x + 5 = 0 atau x – 5 = 0

1 x = -1,2 (tidak memenuhi) atau x 2 =5 Jadi, luas tanah Pak Somad = ( 2 ⋅ + 5)( 5 2 ⋅ + 5) = 225 m 5 2 luas tanah Pak Karta = ( 2 10 ⋅–5⋅ 5 ) 2 ⋅ = 450 m 5