tempat dalam satu arah saja yaitu arah horizontal. Karena simpangan yang terjadi hanya terjadi dalam satu bidang atau dua dimensi, maka simpangan suatu massa pada
setiap saat hanya mempunyai posisi atau ordinat tertentu baik bertanda negatif ataupun bertanda positif. Pada kondisi dua dimensi tersebut, simpangan suatu massa
pada saat t dapat dinyatakan dalam koordinat tunggal yaitu Y t. Struktur seperti itu dinamakan struktur dengan derajat kebebasan tunggal SDOF system.
Model system SDOF atau berderajat kebebasan tunggal, setiap massa m, kekakuan k, mekanisme kehilangan atau redaman c, dan gaya luar yang dianggap
tertumpu pada elemen fisik tunggal. Struktur yang mempunyai n-derajat kebebasan atau struktur dengan derajat kebebasan banyak disebut multi degree of freedom
MDOF. Akhirnya dapat disimpulkan bahwa jumlah derajat kebebasan adalah jumlah koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu massa pada saat tertentu.
2.4.1 Persamaan Differensial Pada Struktur SDOF
System derajat kebebasan tunggal SDOF hanya akan mempunyai satu koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi massa pada saat tertentu yang ditinjau.
Bangunan satu tingkat adalah salah satu contoh bangunan derajat kebebasan tunggal. Pada gambar 2.2 menunjukkan bahwa model matematik untuk SDOF system.
Tampak bahwa Pt adalah beban dinamik yaitu beban yang intensitasnya merupakan fungsi dari waktu. Struktur seperti pada gambar 2.2.a kemudian digambar secara ideal
seperti tampak pada gambar 2.2.b yaitu gambar yang telah dimodelkan. Notasi m, k, c dan pt seperti yang tampak pada gambar berturut-turut adalah massa, kekakuan
kolom dan redaman.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.2 Permodelan Struktur SDOF
Apabila beban dinamik Pt bekerja ke arah kanan, maka akan terdapat perlawanan pegas, damper dan gaya redaman seperti pada gambar 2.2.c. gambar-
gambar tersebut umumnya disebut free body diagram. Berdasarkan prinsip keseimbangan dinamik pada free body diagram tersebut, maka dapat diperoleh
hubungan, t
f
I
+ t
f
D
+ t
f
s
= t
p 2.4.1
Sedangkan untuk waktu singkat yang berikutnya
t ∆
persamaan akan menjadi t
t f
I
∆ +
+ t
t f
D
∆ +
+ t
t f
s
∆ +
= t
t p
∆ +
2.4.2 Dengan mengurangkan Pers. 2.4.1 dengan Pers.2.4.2 maka diperoleh bentuk
pertambahan dari persamaan gerak untuk interval waktu t : t
f
I
∆ +
t f
D
∆ +
t f
s
∆ =
t p
∆ 2.4.3
Gaya-gaya yang bertambah dalam persamaan ini dapat dinyatakan sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara
t f
I
∆ =
t v
m t
f t
t f
I I
∆ =
− ∆
+ t
f
D
∆ =
t c
t f
t t
f
D D
= −
∆ +
t v
∆ t
f
s
∆ =
t k
t f
t t
f
s s
= −
∆ +
t v
∆ t
p ∆
= t
p t
t p
− ∆
+ 2.4.4
dimana telah diasumsikan bahwa massa selalu konstan, dan faktor-faktor ct dan kt masing-masing menunjukkan sifat-sifat redaman dan kekakuan yang sesuai dengan
kecepatan dan perpindahan yang terjadi selama interval waktu seperti dinyatakan pada Gambar 2.3c dan d. Dalam praktek, kemiringan garis potong yang ditunjukkan dapat
dievaluasi hanya dengan cara iterasi karena kecepatan dan perpindahan pada akhir pertambahan waktu tergantung dari sifat-sifat ini, atas dasar ini kemiringan garis
singgung yang ditetapkan pada permulaan interval waktu sering digunakan sebagai gantinya.
c t =
t D
v d
df
k t
=
t S
dv df
Dengan mensubsitusi pernyataan gaya Pers.2.4.4 ke dalam Pers.2.4.3 diperoleh bentuk akhir persamaan kesetimbangan yang bertambah untuk waktu t :
m t
v
∆ + ct
t v
∆ + kt
t v
∆ =
t p
∆ 2.4.5
Sifat-sifat bahan yang ditinjau dari bahan analisis ini bisa mencakup setiap bentuk yang nonlinear. Jadi, gaya pegas
S
f tidak perlu tergantung hanya dari perpindahan, seperti pada bahan elastik yang nonlinear. Suatu bahan histeretik yang
nonlinear juga dapat ditentukan, dimana gaya tersebut tergantung dari riwayat deformasi yang telah lewat serta nilai arus perpindahan. Persyaratannya ialah bahwa
sifat-sifat kekakuan harus ditetapkan secara lengkap baik dengan deformasi yang telah lewat maupun keadaan arusnya. Selain itu, di sini jelas bahwa asumsi implisit dari
Universitas Sumatera Utara
massa yang konstan adalah sembarang, jadi harus juga dinyatakan sebagai suatu besaran yang bervariasi menurut waktu.
2.4.2 ANALISIS NON-LINEAR PADA BANGUNAN TIDAK BERTINGKAT
