Dan bila F
hitung
≥ F
tabel
, maka ada heteroskedastisitas dalam hal lain tidak ada heteroskedastisitas.
Estimasi Unsur Heteroskedastisitas dengan Weighted Least Square WLS Apabila variansi error
2
diketahui atau dapat diperkirakan, cara yang paling mudah untuk mengatasi adanya heteroskedastisitas adalah dengan
metode kuadrat terkecil terboboti Weighted Least Square yang memberikan hasil bersifat BLUE.
Gujarati, 2010: 493. Untuk menggambarkan metode ini, akan diberikan model sebagai berikut:
i ki
k i
i i
i
X X
X X
Y
...
3 3
2 2
1 1
untuk mendapatkan taksiran variansi parameter regresi, diasumsikan untuk sementara bahwa variansi error sebenarnya
2
untuk setiap observasi diketahui, sehingga transformasi persamaan yang dihasilkan dari model regresi
linier berganda adalah:
i i
i i
X X
Y
... 1
2 2
1 1
1.5 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah yang telah ditetapkan, maka didapat tujuan sebagai berikut:
1. Mengetahui cara mendeteksi unsur heteroskedastisitas pada regresi linier
berganda. 2.
Mengetahui cara mengatasi unsur heteroskedastisitas pada regresi linier berganda.
Universitas Sumatera Utara
1.6 Kontribusi Penelitian
1. Dapat diketahui bahwa dalam penggunaan regresi terdapat beberapa
asumsi dasar yang harus dipenuhi agar taksiran parameter dalam regresi linier berganda memenuhi sifat BLUE Best Linier Unbiased Estimator
salah satunya adalah homoskedastisitas. 2.
Menambah wawasan dan memperkaya literatur dalam bidang statistika tentang heteroskedastisitas pada regresi linier berganda dan cara
mengatasinya.
1.7 Metode Penelitian
Penelitian ini merupakan sebuah penelitian kepustakaan Library Research, yakni mengumpulkan data secara literatur yang akan dipergunakan sebagai acuan dalam
menganalisis masalah. Penelitian ini mengikuti langkah –langkah sebagai berikut:
1. Mengumpulkan dan mempelajari pustaka – pustaka yang berkenaan
dengan materi
penelitian seperti
regresi linier
berganda, heteroskedastisitas, Uji Grafik, Uji Golfeld Quant, dan Weighted Least
Squares WLS. 2.
Menganalisis dan menyusun hasil langkah pertama yang mencakup tentang:
a. Konsep dasar heteroskedastisitas pada regresi linier berganda
b. Mendeteksi adanya heteroskedastisitas pada regresi linier berganda
c. Akibat adanya heteroskedastisitas pada regresi linier berganda
d. Mengatasi unsur heteroskedastisitas pada regresi linier berganda
e. Mengestimasi parameter model regresi linier berganda dengan unsur
heteroskedastisitas 3.
Mengambil kesimpulan dari analisa yang diperoleh.
Universitas Sumatera Utara
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Aljabar Matriks
2.1.1 Definisi
Matriks
Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi
panjang, dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom dan baris serta dibatasi tanda “[ ]” atau “ ”. Sebuah matriks dinotasikan dengan simbol huruf
besar seperti A, X, atau Z dan sebagainya. Sebuah matriks A yang berukuran m baris dan n kolom dapat ditulis sebagai berikut :
Atau juga dapat ditulis : A = [
] i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n
Universitas Sumatera Utara
Determinan Matriks
Determinan adalah semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari suatu matriks A dan dinyatakan dengan det A. Misalkan A = [
] adalah matriks nxn. Fungsi determinan dari A ditulis dengan det A atau |A|. Secara matematiknya ditulis :
Dengan merupakan himpunan S = {1, 2, …, n}.
Teorema
Jika A = [ ] adalah matriks nxn yang mengandung sebaris bilangan nol, maka detA
= 0.
Teorema
Jika A adalah matriks segitiga nxn, maka detA adalah hasil kali elemen – elemen
pada diagonal utama, yaitu
Teorema
Jika A adalah sebarang matriks kuadrat, maka .
Invers Matriks
Misalkan A matriks nxn disebut non singular invertible jika terdapat matriks B maka AB = BA = I
Matriks B disebut invers dari A jika tidak terdapat matriks B maka matriks A disebut singular non-invertible.
Secara umum invers matriks A adalah :
Universitas Sumatera Utara
Adjoint matriks A adalah suatu matriks yang elemen-elemennya terdiri dari semua elemen-elemen kofaktor matriks A, dengan
adalah kofaktor elemen-elemen Sehingga dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :
dengan :
Sifat – sifat invers :
a. Jika A adalah matriks non singular, maka
adalah non singular dan
b. Jika A dan B adalah matriks non singular, maka AB adalah non singular dan
2.2 Regresi Linier Berganda
Dalam menentukan nilai variabel tidak bebas Y, perlu diperhatikan variabel –
variabel bebas X yang mempengaruhinya terlebih dahulu, dengan demikian harus diketahui hubungan antara satu variabel tidak bebas Dependent Variable dengan
beberapa variabel lain yang bebas Independent Variable. Untuk meramalkan Y, apabila semua variabel bebas diketahui, maka dapat dipergunakan model persamaan
regresi linier berganda sebagai berikut:
i ki
k i
i i
X X
X X
Y
...
3 3
2 2
1 1
2.1 dimana:
Y = variabel tidak bebas
ki i
i
X X
X ,...,
,
2 1
= variabel bebas
Universitas Sumatera Utara
k
,..., ,
2 1
= parameter koefisien regresi variabel bebas = intersep yaitu titik potong antara regresi dengan sumbu tegak y bila
x= 0 k = Jumlah variabel bebas pada observasi ke-i
i = Banyak pengamatan
i
= Variabel kesalahan ke-i Apabila dinyatakan dalam bentuk matriks
n k
kn n
n n
k k
k
n
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
Y Y
Y Y
... ...
... 1
... ...
... ...
1 ...
1 ...
1
...
3 2
1 2
1
3 2
1 3
33 23
13 2
32 22
12 1
31 21
11 3
2 1
Dengan k n yang berarti banyak observasi harus lebih banyak dari pada banyak variabel bebas, akan diperoleh:
2.2 atau
Salah satu metode estimasi parameter untuk regresi linier berganda adalah Ordinary Least Square OLS. Konsep dari metode OLS adalah menaksir parameter
regresi dengan meminimumkan jumlah kuadrat dari error. Tujuan OLS adalah
meminimumkan jumlah kuadrat error yaitu:
S
=
n
i i
1 2
=
2 2
2 2
1
...
n
Universitas Sumatera Utara
=
2 2
2 2
1 2
2 2
2 1
... ...
n n
=
T
=
X y
X y
T
=
X y
X y
T T
=
X y
X y
T T
T
=
X X
y X
X y
y y
T T
T T
T T
Karena
X y
T
adalah scalar, maka matriks transpose –nya adalah
y X
X y
T T
T T
2.3 Jadi
S
=
X X
y X
y y
T T
T T
T
2
2.4 Untuk mengestimasi parameter regresi
maka jumlah kuadrat error harus diminimumkan Supranto, 2009: 241 -242, hal tersebut bisa diperoleh dengan
melakukan turunan pertama terhadap
, dengan aturan penurunan skalar berikut: Misalkan z dan w adalah vektor vektor berordo mx1, sehingga y =z
T
w adalah skalar, maka,
w dz
dy ,
T T
w dz
dy , z
dw dy ,dan
T T
z dw
dy Sehingga didapatkan hasil turunan jumlah kuadrat error sebagai berikut:
S
=
T T
T T
T
X X
X X
y X
2
=
X X
X X
y X
T T
T
2
=
X X
y X
T T
2 2
2.5 dan hasil estimasi parameter
didapatkan dengan menyamakan hasil turunan jumlah kuadrat error dengan nol, sehingga pada saat hasil turunan jumlah kuadrat error
disamakan dengan nol parameter menjadi
ˆ
, dan diperoleh: ˆ
2 2
X X
y X
T T
y X
X X
T T
2 ˆ
2
Universitas Sumatera Utara
ˆ
=
y X
X X
T T
1
2.6
Akan ditunjukan bahwa
ˆ
adalah estimasi linier tak bias dari
y X
X X
E E
T T
1
ˆ
y E
X X
X
T T
1
X X
X X
T T
1
dari sini terbukti bahwa
ˆ
adalah estimasi linier tak bias dari .
Dengan mensubtitusi persamaan 2.2 ke dalam persamaan 2.5 didapat:
ˆ
=
y X
X X
T T
1
X X
X X
T T
1
T T
T T
X X
X X
X X
X
1 1
T T
X X
X
1
2.7 Untuk dapat menunjukkan bahwa
ˆ
adalah penaksir OLS yang paling baik Best Estimator dalam arti taksiran variansi parameter Var
ˆ
adalah yang terendah, maka bisa diperlihatkan sebagai berikut:
T
E E
E Cov
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 2
1 1
2 2
1 1
k k
k k
E E
E E
E E
Universitas Sumatera Utara
2 2
2 1
1 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
2 2
1 1
2 1
1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
k k
k k
k k
k k
k k
E E
E E
E E
E E
E E
E E
E E
E
ˆ
ˆ ,
ˆ ˆ
, ˆ
ˆ ,
ˆ ˆ
ˆ ,
ˆ ˆ
, ˆ
ˆ ,
ˆ ˆ
2 1
2 2
2 1
1 2
1 1
k k
k k
k
Var Cov
Cov Cov
Var Cov
Cov Cov
Var
Jelas terlihat bahwa variansi adalah anggota dari diagonal utama, sedangkan kovarian adalah unsur
–unsur diluar diagonal utama. Kovariansi tersebut bisa dituliskan dalam notasi matriks sebagai berikut:
T
E E
E Cov
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
T
E
ˆ ˆ
T T
T T
T
X X
X X
X X
E
1 1
T T
T T
T
X X
X X
X X
E
1 1
1 1
X
X X
X X
X E
T T
T T
1 1
X
X X
E X
X X
T T
T T
1 1
X
X X
V X
X X
T T
T
2.8
Dengan
V adalah matriks diagonal. Pada saat variansi error bersifat
homoskedastisitas, maka bisa ditulis
I V
2
dengan asumsi tersebut persamaan
menjadi:
1 2
1
ˆ
X
X IX
X X
X Var
T T
T
Universitas Sumatera Utara
I X
X X
X X
X
T T
T 1
1 2
I X
X
T 1
2
1 2
X
X
T
2.9
Apabila variansi error tidak diketahui, maka harus didapat taksirannya, dan untuk taksiran variansi error dilakukan dengan menaksir konstanta variansi error
ˆ
2
sebagai berikut:
k n
n i
i
1 2
2
ˆ
2.10 dengan variansi taksiran ini diperoleh variansi parameter regresi sebagai berikut:
1 2
ˆ ˆ
X
X Var
T
2.11 Dalam regresi linier berganda, ada beberapa asumsi yang harus dipenuhi agar tahap
estimasi yang diperoleh benar dan efektif, bila memenuhi teorema Gauss Markov sebagai berikut Nachrowi, 2002:123:
1. Rata –rata harapan variabel bernilai nol atau E
=0 2.
Tidak terdapat korelasi serial atau autokorelasi antar variabel error untuk setiap observasi atau Cov
i
,
j
=0 ; i j. 3.
Memiliki error yang bersifat homoskedastisitas atau Var
2
i i
X .
4. Nilai variabel X tetap atau nilainya independen terhadap factor error
atau CovX,
=0 5.
Model regresi dispesifikasi secara benar, dan 6.
Tidak ada hubungan linier kolinieritas antar variabel –variabel bebas.
Ada beberapa penyimpangan asumsi dalam regresi linier berganda, yakni: 1.
Multikolinieritas
Universitas Sumatera Utara
Istilah ini diciptakan oleh Ragner Frish, yang berarti ada hubungan linier yang sempurna atau eksak diantara variabel-variabel bebas dalam model regresi
2. Heteroskedastisitas
