16
ii ht =
t S
t f
iii St = exp[
∫
−
t
dx x
h
].
Dengan demikian jika fungsi hazard ht dari suatu distribusi dalam tahan hidup diketahui, maka ft, Ft dan St dapat dicari. Sedangkan fungsi
hazard kumulatif didefinisikan dengan Ht =
∫
t
dx x
h
2.9
melalui persamaan 2.8 fungsi hazard kumulatif yang dihubungkan dengan fungsi tahan hidup diperoleh
St = exp[-Ht] atau
Ht = -lnSt. Dan dari persamaan 2.6 dan 2.8 diperoleh
ft = ht exp[
∫
−
t
dx x
h
]. 2.10
C. Statistik Terurut
Definisi 13
Himpunan variabel random X
1
, X
2
, …, X
n
disebut sampel random yang berukuran n dari suatu populasi denga fungsi densitas fx maka fungsi densitas
probabilitas bersama dari variabel random independen akan diberikan sebagai fx
1
, x
2
, ....,x
n
= fx
1
fx
2
... fx
n
Bain, L.J,
1992:159
17
Jika sampel random yang berukuran n tersebut diurutkan dalam suatu
urutan naik maka disebut statistik terurut atau order statistik dari X
1
, X
2
, …, X
n
dan dinyatakan dengan X
1.n
, X
2.n
, …, X
n.n
atau Y
1
, Y
2
, …, Y
n
dengan X
in
= Y
i
, i = 1, 2, … , n.
Dan misalkan X
1
, X
2
, …, X
n
adalah sampel random yang berukuran n dari fungsi densitas probabilitas, fx, dimana untuk fx kontinu dan fx0; axb, maka
fungsi densitas probabilitas dari statistik terurut ke-k, Y
k
adalah g
k
y
k
=
[ ] [
]
1 1
1 k
k n
k k
k
y f
y F
y F
k n
k n
− −
− −
− jika ay
k
b. Bain, L.J, 1992:217
D. Data Tersensor
Dalam penyensoran sering terjadi individu yang diamati tersensor. Masalah penyensoran ini merupakan suatu hal yang membedakan antara uji hidup
dengan bidang ilmu statistik yang lain. Data tersensor adalah data yang diperoleh sebelum hasil yang diinginkan dari pengamatan terjadi, sedangkan waktu
pengamatan telah berakhir atau oleh sebab lain. Data yang mengalami penyensoran hanya memuat sebagian informasi mengenai variabel random yang
diperhatikan, namun berpengaruh terhadap pengertian-pengertian dan perhitungan statistik.
Ada tiga macam metode yang sering digunakan dalam eksperimen uji hidup, yaitu sebagai berikut.
1. Sampel lengkap, bila uji dihentikan setelah semua unit gagal atau mati
2. Sensor tipe I, bila uji dihentikan setelah waktu tertentu.
18
3. Sensor tipe II, bila uji dihentikan setelah diperoleh sejumlah kegagalan
tertentu. Lawless 1982 menyebutkan bahwa data tersensor tipe II merupakan data
kematian atau kegagalan yang tidak lengkap incomplete mortality data yaitu data waktu kematian atau kegagalan dari r observasi terkecil dalam
sampel random yang berukuran n dengan 1 n
r ≤
≤ . Dalam eksperimen
menunjukkan penyensoran tipe II lebih sering digunakan sebagai contoh dalam uji hidup dari total observasi sebanyak n, tetapi uji hidup akan
berhenti pada waktu observasi sampel mempunyai waktu kematian atau kegagalan ke-r. Oleh karena itu uji hidup ini dapat menghemat waktu dan
biaya, karena uji hidup memakan waktu yang lama untuk penyensoran terhadap kegagalan dari observasi. Data tersensor tipe II diperoleh dari
penyelidikan terhadap n observasi, sehingga penyensoran berhenti sampai observasi sampel yang mempunyai waktu kematian atau kegagalan ke-r.
Oleh karena itu dalam penyensoran tipe II umumnya data terdiri dari r waktu hidup terkecil t
1
≤t
2
≤... ≤t
r
dari sampel random berukuran n. Bila t
1,
t
2
, ..., t
r
i.i.d dan berdistribusi kontinu dengan fungsi densitas probabilitas ft dan fungsi survivor St maka fungsi densitas probabilitas fdp bersama dari t
1,
t
2
, ..., t
r
adalah
r n
r r
r n
r r
i i
r
t S
t f
t f
r n
n t
F t
f r
n n
t t
t g
− −
=
− =
− ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ −
=
∏
... ]
1 [
] ,...,
, [
1 1
2 1
Lawless, 1982:32
... 2.11
19
E. Fungsi Tahan Hidup Empirik
