Fungsi Tahan Hidup Empirik Distribusi Weibull Distribusi Rayleigh

19

E. Fungsi Tahan Hidup Empirik

Menurut Elandt dan Johnson 1980, misalkan t 1 ≤ t 2 ≤ t 3 ≤ … ≤ t r ≤ … ≤ t n adalah data tersensor tipe II dan t i merupakan r observasi terkecil didalam sampel yang berukuran n. misalkan juga t 1 ≤ t 2 ≤ t 3 ≤ … ≤ t r ≤ … ≤ t n adalah n order waktu kematian, sedangkan PT ≤ t i = Ft i merupakan fungsi distribusi kumulatif dan PT t i = 1 - Ft i = St i merupakan fungsi tahan hidup maka distribusi kematian atau kegagalan kumulatif empirik didefinisikan dengan F t = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ∏ = + r 1 1 i i 1 t untuk t , 1 t t untuk t , 1 1 1 t untuk t , i j j N Fungsi tahan hidup empirik adalah S t = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∏ = + r 1 1 i i 1 t untuk t , 1 t t untuk t , 1 1 t untuk t , i j j N dengan N j = n – i + 1 adalah jumlah relatif dari individu pada waktu rank observasi ke-i.

F. Distribusi Weibull

Menurut Lawless1982, distribusi Weibull merupakan distribusi yang menggambarkan kejadian ekstrim seperti waktu hidup dari makhluk hidup. Distribusi Weibull paling banyak digunakan dalam model distribusi waktu hidup. Misalkan variabel random kontinu T berdistribusi Weibull, dengan parameter θ dan β, disingkat T ~ WEI θ, β maka fungsi densitas probabilitasnya adalah 20 ft [ ] , exp 1 − = − t t t β β β θ βθ , . , β θ 2.12 Adapun fungsi tahan hidup dan fungsi hazard dari distribusi Weibull adalah St = [ ] β θ exp t − , t0 2.13 dan ht = 1 − β θ θβ t 2.14 dimana . , , t β θ sedangkan fungsi distribusi dari distribusi Weibull adalah Ft = 1 - exp [ ] 2 t θ − 2.15 Dimana . , t θ Lawless, 1982: 15

G. Distribusi Rayleigh

Menurut Bain dan Engelhardt 1992, dalam beberapa kasus khusus parameter bentuk, β, dari distribusi Weibull diberi harga β = 2, dikenal sebagai distribusi Rayleigh. Sehingga diperoleh fungsi tahan hidup dari distribusi Rayleigh sebagai berikut. St [ ] 2 exp t θ − = dinama 0 , t θ 2.16 dan diperoleh fungsi hazard dari distribusi Rayleigh yaitu: ht t 2 2 θ = 2.17 dimana t 0, θ0, dan t menunjukkan waktu hidup dari individu yang diobservasi. Dari fungsi tahan hidup, persamaan 2.16, dapat ditentukan fungsi distribusi kegagalan dari data waktu hidup yang berdistribusi Rayleigh, 21 Ft = 1 – St = 1 - exp [ ] 2 t θ − 1 - Ft = exp [ ] 2 t θ − dari persamaan 2.8 dan 2.16 diperoleh persamaan: ft = [ ] dt t d dt t dS 2 exp θ − − = − 2.18 sehingga diperoleh fungsi densitas probabilitas dari distribusi Rayleigh, yaitu sebagai berikut ft = [ ] 2 2 exp 2 t t θ θ − untuk t0, θ0.

H. Metode Estimasi Parameter Distribusi dengan Metode Maksimum