19
E. Fungsi Tahan Hidup Empirik
Menurut Elandt dan Johnson 1980, misalkan t
1
≤ t
2
≤ t
3
≤ … ≤ t
r
≤ … ≤ t
n
adalah data tersensor tipe II dan t
i
merupakan r observasi terkecil didalam sampel yang berukuran n. misalkan juga t
1
≤ t
2
≤ t
3
≤ … ≤ t
r
≤ … ≤ t
n
adalah n order waktu kematian, sedangkan PT
≤ t
i
= Ft
i
merupakan fungsi distribusi kumulatif dan PT t
i
= 1 - Ft
i
= St
i
merupakan fungsi tahan hidup maka distribusi kematian atau kegagalan kumulatif empirik didefinisikan dengan
F t =
⎪ ⎪
⎩ ⎪
⎪ ⎨
⎧
≥ ≤
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
∏
= +
r 1
1 i
i 1
t untuk t
, 1
t t
untuk t ,
1 1
1 t
untuk t ,
i j
j
N
Fungsi tahan hidup empirik adalah
S t =
⎪ ⎪
⎩ ⎪
⎪ ⎨
⎧
≥ ≤
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
−
∏
= +
r 1
1 i
i 1
t untuk t
, 1
t t
untuk t ,
1 1
t untuk t
,
i j
j
N
dengan N
j
= n – i + 1 adalah jumlah relatif dari individu pada waktu rank observasi ke-i.
F. Distribusi Weibull
Menurut Lawless1982, distribusi Weibull merupakan distribusi yang menggambarkan kejadian ekstrim seperti waktu hidup dari makhluk hidup.
Distribusi Weibull paling banyak digunakan dalam model distribusi waktu hidup. Misalkan variabel random kontinu T berdistribusi Weibull, dengan parameter
θ dan
β, disingkat T ~ WEI θ, β maka fungsi densitas probabilitasnya adalah
20
ft
[ ]
, exp
1
− =
−
t t
t
β β
β
θ βθ
, .
, β
θ 2.12
Adapun fungsi tahan hidup dan fungsi hazard dari distribusi Weibull adalah St =
[ ]
β
θ exp
t −
, t0 2.13
dan ht =
1 −
β
θ θβ t
2.14 dimana .
, ,
t β
θ sedangkan fungsi distribusi dari distribusi Weibull adalah
Ft = 1 - exp
[ ]
2
t θ
− 2.15
Dimana . ,
t θ
Lawless, 1982: 15
G. Distribusi Rayleigh
Menurut Bain dan Engelhardt 1992, dalam beberapa kasus khusus parameter bentuk,
β, dari distribusi Weibull diberi harga β = 2, dikenal sebagai distribusi Rayleigh. Sehingga diperoleh fungsi tahan hidup dari distribusi
Rayleigh sebagai berikut. St
[ ]
2
exp t
θ −
= dinama 0
, t
θ 2.16
dan diperoleh fungsi hazard dari distribusi Rayleigh yaitu: ht
t
2
2 θ
= 2.17
dimana t 0, θ0, dan t menunjukkan waktu hidup dari individu yang
diobservasi. Dari fungsi tahan hidup, persamaan 2.16, dapat ditentukan fungsi
distribusi kegagalan dari data waktu hidup yang berdistribusi Rayleigh,
21
Ft = 1 – St
= 1 - exp
[ ]
2
t θ
− 1 - Ft = exp
[ ]
2
t θ
− dari persamaan 2.8 dan 2.16 diperoleh persamaan:
ft =
[ ]
dt t
d dt
t dS
2
exp θ
− −
= −
2.18 sehingga diperoleh fungsi densitas probabilitas dari distribusi Rayleigh, yaitu
sebagai berikut ft =
[ ]
2 2
exp 2
t t
θ θ
− untuk
t0, θ0.
H. Metode Estimasi Parameter Distribusi dengan Metode Maksimum