9
Definisi 4
Peluang suatu kejadian A adalah jumlah semua titik sampel yang termasuk A. Jadi:
≤PA ≤1, P∅=0, PS=1. Walpole,
1995:16
Definisi 5
Misalkan A dan B menyatakan dua kejadian dalam koleksi kejadian dalam ruang sampel S, maka peluang bersyarat dari kejadian A bila diberikan
kejadian B dinotasikan dengan PA
⏐B B
P B
A P
∩ =
dengan ≠
B P
Bain, L.J,
1992:18
B. Variabel Random dan Distribusi Peluang
Variabel Random Definisi 6
Variabel random X merupakan fungsi yang memetakan setiap hasil yang mungkin e pada ruang sampel S dengan suatu bilangan real x, sedemikian
sehingga Xe = x. Bain, L.J, 1992:53
Ada dua macam variabel random, yaitu variabel random diskrit dan variabel random kontinu.
10
Definisi 7
Jika semua himpunan nilai yang mungkin dari suatu variabel random X merupakan himpunan terbilang countable set, yaitu { x
1
, x
2
,, ..., x
n
} atau {
x
1
, x
2
,, ...}, maka X disebut variabel random diskrit.
Bain, L.J, 1992:53
Definisi 8
Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari suatu variabel random X merupakan selang bilangan real, maka X disebut variabel random kontinu.
Bain, L.J, 1992:64
Distribusi peluang Distribusi Peluang Diskrit
Definisi 9
Misalkan A ruang dari variabel random diskrit X dan A terbilang. Fungsi f dari A ke dalam R yang memenuhi:
a. fx ≥ 0 untuk setiap x
di A b.
1 =
∑
xdiA
x f
dinamakan fungsi densitas probabilitas fdp dari variabel random diskrit X. Jika variabel random diskrit X dengan fdp fx, maka peluang suatu kejadian
A diberikan oleh PA =
∑
xdiA
x f
Djauhari, 1990:41
11
Definisi 10
Fungsi distribusi kumulatif Fx dari variabel random diskrit X didefinisikan untuk sembarang bilangan real x oleh
x X
P x
F ≤
= Bain, L.J, 1992:53
Distribusi Peluang Kontinu Definisi 11
Misalkan A ruang variabel random kontinu X. Fungsi f dari A ke dalam R yang memenuhi:
a. fx ≥ 0, untuk semua x di A
b.
∫
∞ ∞
−
= 1 dx
x f
dinamakan fungsi densitas probabilitas fdp dari variabel random kontinu X. Jika variabel random kontinu X memiliki fdp fx, maka peluang suatu
kejadian atau peristiwa A, diberikan oleh
∫
=
xdiA
dx x
f A
P
Djauhari, 1990:43
Definisi 12
Suatu fungsi fx yang didefinisikan pada selang nilai variabel random X disebut fungsi densitas probabilitas fdp kontinu, sehingga fungsi distribusi
kumulatifnya dapat dinyatakan sebagai Fx =
∫
∞ −
x
dt t
f .
Bain, L.J, 1992:64
12
Konsep Dasar Distribusi waktu Hidup Misalkan variabel random T menunjukkan waktu hidup dari organisme
dalam populasi. Waktu hidup T merupakan variabel random kontinu dan non negatif dalam interval [0,
∞ . Lawless 1982 menyebutkan bahwa distribusi waktu hidup dapat dinyatakan dengan tiga fungsi yaitu, fungsi densitas
probabilitas, fungsi tahan hidup Survival, dan fungsi hazard.
Fungsi Densitas Probabilitas
Menurut Lawless 1982 fungsi densitas probabilitas adalah probabilitas suatu individu mati atau gagal dalam interval waktu dari t sampai
t + Δ t, dengan waktu T merupakan variabel random. Fungsi densitas
Probabilitas dinyatakan dengan
ft = ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ Δ
Δ +
≤
→ Δ
t t
t T
t P
t
lim 2.1
Waktu hidup merupakan variabel random non negatif, sehingga waktu hidup hanya diukur untuk nilai t yang positif, maka diperoleh
ft = 0 untuk t0 dan
∫
∞
t f
dt = 1.
Fungsi Tahan Hidup Survival
Menurut Lawless 1982 fungsi tahan hidup Survival adalah probabilitas suatu individu yang masih dapat bertahan hidup sampai dengan
waktu t t 0. Jika T merupakan variabel random dari waktu hidup suatu individu dalam interval [0,
∞ , maka fungsi distribusi kumulatif Ft untuk
13
distribusi kontinu dengan fungsi densitas probabilitas ft dinyatakan sebagai berikut
Ft = P T ≤ t
atau Ft =
∫
t
x f
dx, untuk t 0 2.2
Oleh karena itu diperoleh fungsi tahan hidup Survival yang didefinisikan dengan
St = P T ≥ t
= 1 - P T ≤ t
= 1
– Ft
2.3 Dalam beberapa hal, khususnya yang mencakup tahan hidup dari komponen-
komponen industri, St ditentukan sebagai fungsi Survival. Jadi hubungan fungsi densitas probabilitas dengan fungsi tahan
hidup Survival adalah ft =
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
Δ Δ
+ ≤
→ Δ
t t
t T
t P
t
lim = F’t = - S’t
2.4 Dalam hal ini fungsi tahan hidup St merupakan fungsi monoton
turun yang mempunyai sifat i. S0 =1, artinya peluang suatu individu bertahan hidup lebih lama dari
waktu nol adalah 1 ii. S
∞ = 0 , artinya peluang suatu individu bertahan hidup pada waktu yang tak terhingga adalah 0.
14
Fungsi Hazard
Menurut Lawless 1982 fungsi hazard adalah probabilitas suatu individu mati dalam interval waktu dari t sampai t+
Δ t, jika diketahui individu tersebut masih dapat bertahan hidup sampai dengan waktu t. fungsi hazard
secara matematika dinyatakan sebagai: ht =
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
Δ ≥
Δ +
≤
→ Δ
t t
T t
t T
t P
t
lim
2.5
Misalkan ft adalah fungsi densitas probabilitas pada waktu t, maka dari persamaan 2.5 diperoleh:
ht =
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
Δ ≥
Δ +
≤
→ Δ
t t
T t
t T
t P
t
lim
=
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
Δ ≥
≥ ∩
Δ +
≤
→ Δ
t t
T P
t T
t t
T t
P
t
. ]
[ lim
=
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
Δ ≥
Δ +
≤
→ Δ
t t
T P
t t
T t
P
t
. lim
=
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
− −
Δ +
Δ
→ Δ
1 1
lim t
F t
F t
t F
t
t
=
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
Δ −
Δ +
→ Δ
1 .
lim t
S t
t F
t t
F
t
= t
S t
F
ht = t
S t
f 2.6
15
Dari persamaan 2.4 dan 2.6 diperoleh ht sebagai berikut ht
t S
t S
− =
ln .
t dS
t S
d t
S −
=
ln .
t dS
t S
d dt
t dS
− =
ht ln
t S
dt d
− =
2.7 Dari 2.7 diperoleh
∫
t
dx x
h
=
dx x
S dx
d
t o
∫
− ln
∫
− ⇔
t
dx x
h
=
dx x
S dx
d
t o
∫
ln
∫
− ⇔
t
dx x
h
= ln Sx
t
.
Karena S0 = 1, maka diperoleh
∫
−
t
dx x
h
= ln
t S
⇔ St = exp[
∫
−
t
dx x
h
].
Dari uraian di atas diperoleh hubungan antara ft, St dan ht sebagai berikut.
i ft = - S’t
2.8
16
ii ht =
t S
t f
iii St = exp[
∫
−
t
dx x
h
].
Dengan demikian jika fungsi hazard ht dari suatu distribusi dalam tahan hidup diketahui, maka ft, Ft dan St dapat dicari. Sedangkan fungsi
hazard kumulatif didefinisikan dengan Ht =
∫
t
dx x
h
2.9
melalui persamaan 2.8 fungsi hazard kumulatif yang dihubungkan dengan fungsi tahan hidup diperoleh
St = exp[-Ht] atau
Ht = -lnSt. Dan dari persamaan 2.6 dan 2.8 diperoleh
ft = ht exp[
∫
−
t
dx x
h
]. 2.10
C. Statistik Terurut
