23
2.1.6.2 Persegi Panjang
Persegi panjang adalah suatu jajar genjang yang satu sudutnya siku-siku. Berakibat, persegi panjang keempat sudutnya siku-siku dan semua sifat jajar
genjang berlaku untuk persegi panjang. Teorema-teorema persegi panjang adalah sebagai berikut.
1 Dalam persegi panjang diagonal-diagonalnya sama panjang.
Bukti: Diketahui: ABCD persegi panjang.
Akan dibuktikan bahwa AC = BD.
Lihat ΔABC dan ΔBAD.
BC = AD diketahui. AB = AB berimpit.
∠ABC = ∠BAD 90°. Maka
ΔABC ΔBAD S Sd S. Akibatnya AC = BD terbukti.
2 Jika dalam suatu jajar genjang, diagonal-diagonalnya sama panjang maka
jajar genjang itu suatu persegi panjang. Bukti:
Diketahui: ABCD jajargenjang dan AC = BD. A B
C D
O
Gambar 2.8. Persegi panjang
24
Akan dibuktikan bahwa ABCD persegi panjang. Lihat
ΔABC dan ΔBAD. BC = AD diketahui.
AC = BD diketahui. AB = AB berimpit.
Maka ΔABC ΔBAD S S S.
Akibatnya ∠ABC = ∠BAD.
∠ABC = ∠BAD bersesuaian menghadap sisi yang sama yaitu sisi DC dan ∠ABC + ∠BAD = 180° karena ∠ABC dan ∠BAD sudut-sudut dalam
sepihak sehingga: ∠ABC + ∠BAD = 180° ⇔ ∠ABC + ∠ABC = 180°
⇔ 2.∠ABC = 180° ⇔ ∠ABC = 90°
Karena ∠ABC = ∠BAD = 90° atau siku-siku maka ABCD persegi panjang
terbukti Kusni dan Kadaruslan, 2001: 15-16.
2.1.6.3 Belah Ketupat
Belah ketupat adalah jajar genjang yang dua sisinya yang berurutan sama panjang. Berakibat, belah ketupat keempat sisinya sama panjang dan sifat-sifat
pada jajar genjang berlaku untuk belah ketupat. Beberapa teorema belah ketupat adalah sebagai berikut.
1 Dalam belah ketupat diagonal-diagonalnya membagi sudut-sudut sama
besar dan diagonal-diagonal itu tegak lurus sesamanya. Bukti:
25
Diketahui: ABCD belah ketupat.
Akan dibuktikan: i
∠A
1
= ∠A
2
; ∠B
1
= ∠B
2
; ∠C
1
= ∠C
2
; dan ∠D
1
= ∠D
2
ii AC
⊥ BD Bukti:
i ∠A
1
= ∠C
2
sudut dalam berseberangan. ∠A
2
= ∠C
1
sudut dalam berseberangan. ∠B
1
= ∠D
2
sudut dalam berseberangan. ∠B
2
= ∠D
1
sudut dalam berseberangan. ∠A
1
= ∠C
1
ΔACD samakaki. ∠A
2
= ∠C
2
ΔABC samakaki. ∠B
1
= ∠D
1
ΔABD samakaki. ∠B
2
= ∠D
2
ΔBCD samakaki. Jika
∠A
1
= ∠C
2
dan ∠A
2
= ∠C
2
maka ∠A
1
= ∠A
2
. Jika
∠A
1
= ∠C
2
dan ∠A
1
= ∠C
1
maka ∠C
1
= ∠C
2
. Jika
∠B
1
= ∠D
2
dan ∠B
2
= ∠D
2
maka ∠B
1
= ∠B
2
.
1 1
1 1
2
2 2
2 2
1 3
4
Gambar 2.9. Belah Ketupat
A
B C
D
O
26
Jika ∠B
1
= ∠D
2
dan ∠B
1
= ∠D
1
maka ∠D
1
= ∠D
2
. Jadi
∠A
1
= ∠A
2
; ∠B
1
= ∠B
2
; ∠C
1
= ∠C
2
; dan ∠D
1
= ∠D
2
terbukti. ii
Lihat ΔOBC dan ΔODC.
BC = DC diketahui. OC = OD diketahui.
∠ C
1
= ∠ C
2
sudah dibuktikan. Maka
ΔOBC ΔODC S Sd S. Akibatnya
∠O
1
= ∠O
2
= 90 ° atau OC ⊥ BD atau AC ⊥ BD terbukti.
2 Jika dalam jajar genjang suatu diagonal membagi dua suatu sudut sama
besar maka jajar genjang itu suatu belah ketupat. Bukti:
Diketahui: ABCD jajar genjang.
Akan dibuktikan bahwa ABCD belah ketupat. ∠ A
1
= ∠ A
2
diketahui. ∠ A
2
= ∠ C
1
sudut dalam berseberangan. Akibatnya,
∠ A
1
= ∠ C
1
. Karena
∠ A
1
= ∠ C
1
maka ΔABC samakaki.
Akibatnya, AB = BC. Karena AB = BC maka ABCD belah ketupat terbukti.
Gambar 2.10. Jajar genjang yang merupakan belah ketupat 1
A B C
D
1 1
2 2
27
3 Jika dalam suatu jajar genjang diagonal-diagonalnya tegak lurus sesamanya
maka jajar genjang itu suatu belah ketupat. Bukti:
Diketahui: ABCD jajar genjang, dan diagonal-diagonalnya saling tegak lurus AC
⊥ BD. Akan dibuktikan bahwa ABCD belah ketupat.
Lihat ΔOAB dan ΔOCB.
OB = OB berimpit. OA = OC diketahui.
∠ AOB = ∠ COB 90°. Maka
ΔOAB ΔOCB S Sd S. Akibatnya AB = BC.
Karena AB = BC maka ABCD belah ketupat terbukti Kusni dan Kadaruslan, 2001: 16-17.
2.1.6.4 Persegi
Kategori