Dalam komputasi, tiga langkah pertama berbentuk: xN = bN dN
xN-1 = [ bN-1-cN-1xN] dN-1 xN-1 = [ bN-2-cN-2xN-1] dN-2
Jika diperhatikan prosedur di atas adalah metode Doolittle yang diterapkan pada sistem tridiagonal. Namun karena elemen dari matriks A kebanyakan nol maka
hanya digunakan tiga vektor dengan ukuran 1 x N untuk menyimpan elemen bukan nol matriks A. Tekhnik ini sangat populer dengan algoritma Thomas, sesuai dengan
nama penemunya Kosasih Buyung, 2006.
2.6 Metode Perbedaan Hingga
Metode perbedaan hingga adalah metode yang digunakan mengubah problem PDB nilai batas dari sebuah problem kalkulus menjadi sebuah aljabar. Dengan metode ini
persamaan differensial ψ dan
ψ akan diaproksimasikan dengan menggunakan deret Taylor.
Deret Taylor adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu
titik. Bentuk deret taylor dapat dituliskan sebagai berikut:
n k
n k
k
R k
h x
h x
+ =
+
∑
=
ψ ψ
2.33
Dengan: 1
. ,
+ =
θ θ
ψ dengan
h x
n h
R
n n
n
Jika: ,
→ ∞
→
n
R n
Maka deret Taylor dapat dituliskan dalam bentuk:
2.34
Universitas Sumatera Utara
Atau dapat dituliskan dalam bentuk:
... 2
2
+ +
+ =
+ x
h x
h x
h x
ψ ψ
ψ ψ
2.35
... 2
2
+ −
− =
− x
h x
h x
h x
ψ ψ
ψ ψ
2.36
Jika dikurangi 2.35 dengan 2.36 dan nilai setelah pangkat 2 diabaikan atau dianggap sangat kecil atau sama dengan nol karena pada persoalan ini kita hanya
membutuhkan turunan pertama dan kedua sesuai dengan persamaan diffrensial orde dua pada persamaan Schrodinger partikel bebas dan dalam kotak lihat persamaan
2.8 dan 2.12 maka akan didapat:
h h
x h
x x
2 −
− +
=
ψ ψ
ψ
2.37
Apabila 2.35 ditambah dengan 2.36 akan diperoleh:
2
2 h
h x
x h
x x
− +
− +
=
ψ ψ
ψ ψ
2.38
Persamaan 2.37 – 2.38 dapat diterapkan dengan membagi [
N
x x ,
] lihat gambar 2.4 menjadi N bagian dengan interval h:
N x
x h
N
− =
2.39
i=1 i=2 i=3 i=N-1 i=N
Gambar 2.4. Pembagian Interval antara [
N
x x ,
].
Universitas Sumatera Utara
Dengan metode perbedaan hingga yang dicari adalah ψ pada x tertentu:
h x
x
i i
+ =
+1
2.40 Jika i = 0 maka
h x
x +
=
1
dengan menggunakan notasi ini persamaan 2.37 dan 2.38 dapat dituliskan:
h x
x x
i i
i
2
1 1
− +
− =
ψ ψ
ψ 2.41
2 1
1
2 h
x x
x x
i i
i i
− +
+ −
= ψ
ψ ψ
ψ 2.42
Persamaan 2.41 dan 2.42 dikenal dengan aproksimasi perbedaan hingga.
2.7. Persamaan Differensial Biasa PDB dengan Nilai Batas
Pada persoalan engineering lebih sering dijumpai PDB tingkat 2 dengan kondisi batas yang diberikan pada dua titik. Umumnya kedua titik ini ada pada batas-batas domain
permasalahan. Karena solusi yang dicari berada pada dua batas yang tertutup, maka problem ini dikenal sebagai problem domain tertutup atau PDB dengan nilai batas.
Bentuk umum dari PDB dengan nilai batas adalah:
2 2
x f
x q
dx d
x p
dx d
= +
+ ψ
ψ ψ
n
x x
x ≤
≤ 2.43
Dengan nilai-nilai batas: α
ψ ψ
= +
1 1
x dx
d B
x A
2.44
β ψ
ψ
= +
2 2
n n
x dx
d B
x A
2.45
Dimana :
1 1
≠ + B
A dan
2 2
≠ + B
A 2.46
Universitas Sumatera Utara
Dari kondisi batas 2.44 dan 2.45, ada 3 kemungkinan jenis kondisi batas yang mungkin diterapkan dalam PDB ini
1. Nilai batas konstan Tipe Dirichlet
Nilai batas diberikan sebagai sebuah konstan. Contoh, jika 1
1
= A
dan
1
= B
maka α
ψ =
x 2.
Nilai batas Derivatif Tipe Neuman Nilai batas yang diberikan sebagai sebuah nilai derivatif. Contoh, jika
1
= A
dan 1
1
= B
maka α
ψ
= x
3. Nilai batas campuran Tipe Robin
Nilai batas terdiri dari nilai konstan derivatif. Contoh, jika 1
1
= A
dan 1
1
= B
maka α
ψ ψ
= +
x x
Tergantung dari koefisien-koefisien px,y dan qx,y, PDB 2.38 dapat diklasifikasikan sebagai berikut:
1. PDB linier , jika px,y dan qx,y berupa fungsi dari x saja atau berupa sebuah
bilangan konstan px,y = px atau px,y = konstan 2.
PDB non linier, jika px,ydan qx,y merupakan fungsi dari x dan y.
2.8 Solusi Numerik Persamaan Schrödinger
