2.8.1 Partikel bebas
Persamaan Schrödinger pada partikel bebas 2.7 adalah sebagai berikut:
2 2
2
x k
x x
ψ ψ
− =
∂ ∂
Atau 2
2 2
2
= +
∂ ∂
x mE
x x
ψ ψ
pada persamaan 2.8
Langkah-langkah yang digunakan untuk memecahkan persamaan Schrödinger dalam berbagai potensial ke dalam bentuk numerik sebagai berikut:
1 Persamaan 2.8
2
2 2
2
= +
∂ ∂
x mE
x x
ψ ψ
dikonversi ke persamaan umum PDB
2.43
2 2
x f
x x
q x
x x
p x
x =
+ ∂
∂ +
∂ ∂
ψ ψ
ψ Sehingga diperoleh koefisien
dari persamaan 2.8 px = 0 , qx =
2
2
mE
dan fx = 0 2
Aproksimasi beda hingga turunan pertama pada persamaan 2.41 h
x x
x
i i
i
2
1 1
− +
− =
ψ ψ
ψ dan turunan kedua pada persamaan 2.42
2 1
1
2 h
x x
x x
i i
i i
− +
+ −
= ψ
ψ ψ
ψ disubstitusikan ke persamaan 2.43 maka
didapatkan:
[ ]
2 1
1 2
2 1
1
2 1
2 1
x f
h x
x hp
x x
q h
x x
hp
i i
i
=
+ +
− −
−
+ −
ψ ψ
ψ 2.47
Atau dapat disederhanakan
[ ]
2 1
1 2
2 1
1
2 1
2 1
x f
h x
hp x
q h
x hp
i i
i
=
+ +
− −
−
+ −
ψ ψ
ψ 2.48
Dengan memasukkan nilai px, qx dan fx pada langkah 1 ke persamaan 2.48 maka diperoleh persamaan sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
2 1
1 2
2 2
1 1
2 1
2 2
1
h h
mE h
h
i i
i
=
+ +
− −
−
+ −
ψ ψ
ψ
2.49
[ ] [ ]
1 2
2 1
1 2
2 1
= +
− −
+ −
i i
i
mE h
ψ ψ
ψ
2.50
2 2
1 2
2 1
= +
− −
+ −
i i
i
mE h
ψ ψ
ψ
2.51
Persamaan 2.51 diterapkan pada setiap titik diskresitasi, yaitu i =1, 2,…,N-1 Sehinggga terbentuk sistem persamaan linier SPL dengan bentuk tri-diagonal yang
dapat dipecahkan dengan algoritma Thomas.
Dari persamaan 2.46 Untuk 1 ≤ i ≤ N-1 diperoleh:
i =1:
1 2
2
2 2
ψ
−
−
mE h
+
2
ψ + 0 + =
ψ −
i = 2:
1
ψ
2 2
2
2 2
ψ
−
−
mE h
+
3
ψ + 0 = 0
i = 3: 0 +
2
ψ
3 2
2
2 2
ψ
−
−
mE h
+
4
ψ = 0
…
i =N-1: 0 + 0 +
2 −
N
ψ
1 2
2
2 2
−
− −
N
mE h
ψ
=
N
ψ −
Dari i=1 hingga i= N-1 persamaan linier diatas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks dimensi NxN
Sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
Bila diambil:
2 2
2
mE k
− =
maka bentuk matriksnya menjadi:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
− −
=
−
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− N
N
k h
k h
k h
k h
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
2
1 1
2 1
1 2
1 1
2
1 3
2 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2.52
Pemecahan metode numerik menggunakan metode beda hingga pada persamaan 2.52 diatas akan mempermudah pembuatan programnya sehingga akan diperoleh
visualisasi dari persamaan Schrodinger pada partikel bebas.
2.8.2 Partikel dalam Kotak