Partikel bebas Solusi Numerik Persamaan Schrödinger

2.8.1 Partikel bebas

Persamaan Schrödinger pada partikel bebas 2.7 adalah sebagai berikut: 2 2 2 x k x x ψ ψ − = ∂ ∂ Atau 2 2 2 2 = + ∂ ∂ x mE x x ψ ψ  pada persamaan 2.8 Langkah-langkah yang digunakan untuk memecahkan persamaan Schrödinger dalam berbagai potensial ke dalam bentuk numerik sebagai berikut: 1 Persamaan 2.8 2 2 2 2 = + ∂ ∂ x mE x x ψ ψ  dikonversi ke persamaan umum PDB 2.43 2 2 x f x x q x x x p x x = + ∂ ∂ + ∂ ∂ ψ ψ ψ Sehingga diperoleh koefisien dari persamaan 2.8 px = 0 , qx = 2 2  mE dan fx = 0 2 Aproksimasi beda hingga turunan pertama pada persamaan 2.41 h x x x i i i 2 1 1 − + − = ψ ψ ψ dan turunan kedua pada persamaan 2.42 2 1 1 2 h x x x x i i i i − + + − = ψ ψ ψ ψ disubstitusikan ke persamaan 2.43 maka didapatkan: [ ] 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 x f h x x hp x x q h x x hp i i i =     + + − −     − + − ψ ψ ψ 2.47 Atau dapat disederhanakan [ ] 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 x f h x hp x q h x hp i i i =     + + − −     − + − ψ ψ ψ 2.48 Dengan memasukkan nilai px, qx dan fx pada langkah 1 ke persamaan 2.48 maka diperoleh persamaan sebagai berikut: Universitas Sumatera Utara 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 h h mE h h i i i =     + +           − −     − + − ψ ψ ψ  2.49 [ ] [ ] 1 2 2 1 1 2 2 1 = +           − − + − i i i mE h ψ ψ ψ  2.50 2 2 1 2 2 1 = +           − − + − i i i mE h ψ ψ ψ  2.51 Persamaan 2.51 diterapkan pada setiap titik diskresitasi, yaitu i =1, 2,…,N-1 Sehinggga terbentuk sistem persamaan linier SPL dengan bentuk tri-diagonal yang dapat dipecahkan dengan algoritma Thomas. Dari persamaan 2.46 Untuk 1 ≤ i ≤ N-1 diperoleh: i =1: 1 2 2 2 2 ψ           − −  mE h + 2 ψ + 0 + = ψ − i = 2: 1 ψ 2 2 2 2 2 ψ           − −  mE h + 3 ψ + 0 = 0 i = 3: 0 + 2 ψ 3 2 2 2 2 ψ           − −  mE h + 4 ψ = 0 … i =N-1: 0 + 0 + 2 − N ψ 1 2 2 2 2 −           − − N mE h ψ  = N ψ − Dari i=1 hingga i= N-1 persamaan linier diatas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks dimensi NxN Sebagai berikut: Universitas Sumatera Utara Bila diambil: 2 2 2  mE k − = maka bentuk matriksnya menjadi: [ ] [ ] [ ] [ ]                 − − =                 −                 − − − − − − − − − − − − − N N k h k h k h k h ψ ψ ψ ψ ψ ψ      2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2.52 Pemecahan metode numerik menggunakan metode beda hingga pada persamaan 2.52 diatas akan mempermudah pembuatan programnya sehingga akan diperoleh visualisasi dari persamaan Schrodinger pada partikel bebas.

2.8.2 Partikel dalam Kotak