2.4. Metode Numerik
Penerapan metode numerik pada persamaan Schrödinger dirumuskan dengan persamaan differensial. Langkah pendahuluan yang ditempuh dalam menerapkan
metode ini adalah memperkirakan persamaan differensial yang bersangkutan beserta syarat-syarat batasnya dengan seperangkat persamaan aljabar. Dengan mengganti
daerah yang kontinu dengan suatu pola titik-titik tersebut. Sistem dibagi menjadi sejumlah subluas yang kecil dan memberi nomor acuan kepada setiap sub luas.
2.5 Sistem Tri-Diagonal
Pemecahan persamaan differensial dengan menggunakan diskretisasi perbedaan hingga finite difference, seringkali melibatkan sistem persamaan linier SPL yang
mempunyai bentuk-bentuk khusus. Contoh berikut memberikan dua kemungkinan bentuk SPL berikut;
2 23
2 22
1 21
1 2
12 1
11
b a
x a
x a
b x
a x
a =
+ +
= +
3 34
3 33
2 32
b a
x a
x a
= +
+ 2.24
4 45
4 44
3 43
b a
x a
x a
= +
+
N N
NN N
NN
b x
a x
a =
+
− −
1 1
Dengan menggunakan notasi matriks, sistem persamaan 2.24 dapat dituliskan
=
− −
− −
− −
− −
N N
N N
NN NN
N N
N N
N N
b b
b b
b
x x
x x
x
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
1 3
2 1
1 3
2 1
1 1
1 1
2 1
34 33
32 23
22 21
12 11
2.25
Universitas Sumatera Utara
Pada sistem tridiagonal tampak bahwa mayoritas dari elemen matriksnya adalah nol. Komputasi dengan komputer dapat menghemat banyak ruang memori
dengan hanya menyimpan elemen yang ada di diagonal mayor dan dua sub diagonal lainnya. Untuk sistem tridiagonal, digunakan tiga vektor a, d dan c untuk menyimpan
nilai elemen yang bukan nol sepanjang diagonal mayor dan subdiagonalnya sehingga 2.25 menjadi:
=
− −
− −
− N
N N
N N
N N
N N
b b
b b
b
x x
x x
x
d a
c d
a c
d a
c d
a c
d
1 3
2 1
1 3
2 1
1 1
1 3
3 3
2 2
2 1
1
2.26
Pemecahan SPL dengan koefisien matriks tridiagonal didasari oleh metode doolittle. Pertama-tama matriks A didekomposisi menjadi LU, yaitu matriks segitiga bawah
dan segitiga atas sesuai algoritma Doolittle. Setelah dekomposisi 2.26 menjadi:
=
− −
N N
N N
N N
b b
b b
x x
x x
c c
c
3 2
1 3
2 1
1 1
2 2
1 1
3 2
1 1
1 1
δ δ
δ δ
α α
α 2.27
L U x b
Setelah perkalian matriks persamaan 2.27 menjadi
=
+ +
+ +
− −
− −
− −
− −
− −
N N
N N
N N
N N
N N
N N
N N
N
b b
b b
b
x x
x x
x
c c
c c
c c
c c
1 3
2 1
1 3
2 1
1 1
1 1
2 1
2 1
3 3
2 3
2 3
2 2
1 2
1 2
1 1
δ α
δ α
δ α
δ α
δ α
δ α
δ α
δ α
δ
2.28
Universitas Sumatera Utara
Inti dari algoritma ini adalah mengubah elemen-elemen pada vektor a, d dan c dengan vektor
α, δ dan c yang merupakan elemen-elemen dari L dan U, Jika dibandingkan
persamaan 2.28 dengan 2.26 maka tampak bahwa:
1 1
2 3
3 3
2 3
1 2
2 2
1 2
1 1
− −
= →
= =
→ =
= →
= →
=
N N
N N
N N
a a
a a
a d
δ α
α δ
α δ
α δ
α δ
α δ
α δ
1 1
2 3
3 3
3 3
2 3
1 2
2 2
2 2
1 2
− −
− =
→ =
+ −
= →
= +
− =
→ =
+
N N
N N
N N
N N
c d
d c
c d
d c
c d
d c
α δ
δ α
α δ
δ α
α δ
δ α
Langkah-langkah di atas dapat dengan mudah diprogram, sebagai ilustrasi, 3 langkah
pertama program tersebut dapat dituliskan sebagai berikut: d1 = d1
a2 = a2 d1 d2 = d2 – a2c1
a3 = a3 d2 d3 = d3 – a3c2
Setelah elemen-elemen pada vektor a dan d dengan α dan δ , persamaan 2.27 dapat
diproses lebih lanjut, jika Ux sebut saja g, maka persamaan 2.27 dapat dituliskan
=
N N
N
b b
b b
g g
g g
3 2
1 3
2 1
3 2
1 1
1 1
α α
α 2.29
L g b
Universitas Sumatera Utara
Dari 2.29 dapat diperoleh:
2 3
3 3
3 3
2 3
1 2
2 2
2 2
1 2
1 1
g b
g b
g g
g b
g b
g g
b g
α α
α α
− =
→ =
+ −
= →
= +
= 2.30
1 1
− −
− =
→ =
+
N N
N N
N N
N N
g b
g b
g g
α α
Dalam proses komputasi g disimpan dalam vektor b, yaitu elemen-elemen awal b diganti dengan yang baru. Tiga langkah pertama dalam program tertulis sebagai
berikut: b1 = b1
b2 = b2 – a2b1 b3 = b3 – a3b2
karena g adalah U x maka:
=
− −
N N
N N
N
g g
g g
x x
x x
c c
c
3 2
1 3
2 1
1 1
2 2
1 1
δ δ
δ δ
2.31
L x g
2 1
2 2
2 2
1 2
2 2
1 1
1 1
1 1
1 1
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− =
→ =
+ −
= →
= +
=
N N
N N
N N
N N
N N
N N
N N
N N
N N
N N
N N
N
x c
g x
g x
c x
x c
g x
g x
c x
g x
δ δ
δ δ
δ 2.32
1 2
1 1
1 1
2 1
1 1
δ δ
x c
g x
g x
c x
− =
→ =
+
Universitas Sumatera Utara
Dalam komputasi, tiga langkah pertama berbentuk: xN = bN dN
xN-1 = [ bN-1-cN-1xN] dN-1 xN-1 = [ bN-2-cN-2xN-1] dN-2
Jika diperhatikan prosedur di atas adalah metode Doolittle yang diterapkan pada sistem tridiagonal. Namun karena elemen dari matriks A kebanyakan nol maka
hanya digunakan tiga vektor dengan ukuran 1 x N untuk menyimpan elemen bukan nol matriks A. Tekhnik ini sangat populer dengan algoritma Thomas, sesuai dengan
nama penemunya Kosasih Buyung, 2006.
2.6 Metode Perbedaan Hingga
Kategori