semua perhitungan yang mempunyai makna fisika. Jika normalisasinya telah dilakukan secara tepat, maka persamaan 2.4 akan selalu menghasilkan suatu
probabilitas yang terletak antara 0 dan 1. Setiap pemecahan persamaan Schrödinger yang menghasilkan |
ψx|
2
bernilai tak hingga, harus dikesampingkan. Karena tidak pernah terdapat probabilitas tak
hingga untuk menemukan partikel pada
titik manapun. Maka harus mengesampingkan suatu pemecahan dengan mengembalikan faktor pengalinya
sama dengan nol. Sebagai contoh, jika pemecahan matematika bagi persamaan differensial menghasilkan
ψx = A + B
bagi seluruh daerah x 0 , maka syaratnya A = 0 agar pemecahannnya mempunyai makna fisika. Jika tidak |
ψx| akan menjadi tak hingga untuk x menuju tak hingga Tetapi jika pemecahannya
dibatasi dalam selang 0 x L, maka A tidak boleh sama dengan nol. Tetapi jika pemecahannya berlaku pada seluruh daerah negatif sumbu x 0, maka B = 0.
Kedudukan suatu partikel tidak dapat dipastikan,dalam hal ini tidak dapat menjamin kepastian hasil suatu kali pengukuran suatu besaran fisika yang bergantung
pada kedudukannnya. Namun jika menghitung probabilitas yang berkaitan dengan setiap kooordinat, maka ditemukan hasil yang mungkin dari pengukuran satu kali atau
rata-rata hasil dari sejumlah besar pengukuran berkali-kali Eisberg,1970.
2.3 Penerapan Persamaan Schrödinger
Persamaan Schrödinger dapat diterapkan dalam berbagai persoalan fisika. Dimana pemecahan persamaan Schrödinger, yang disebut fungsi gelombang, memberikan
informasi tentang perilaku gelombang dari partikel.
2.3.1. Pada partikel Bebas
Yang dimaksud dengan “Partikel Bebas” adalah sebuah partikel yang bergerak tanpa dipengaruhi gaya apapun dalam suatu bagian ruang, yaitu,
F = - dVx dx = 0 sehingga menempuh lintasan lurus dengan kelajuan konstan. Dalam hal ini, bebas memilih tetapan potensial sama dengan nol.
Universitas Sumatera Utara
Partikel bebas dalam mekanika klasik bergerak dengan momentum konstan P, yang mengakibatkan energi totalnya jadi konstan. Tetapi partikel bebas dalam
mekanika kuantum dapat dipecahkan dengan persamaan Schrödinger tidak bergantung waktu. Persamaan Schrodinger pada partikel bebas dapat diperoleh dari
persamaan 2.2 berikut:
2
2 2
2
x E
x V
x x
m ψ
ψ ψ
= +
∂ ∂
−
2.6 Untuk partikel bebas V = 0, maka persamaannya menjadi
2
2 2
2
x E
x x
m ψ
ψ =
∂ ∂
−
2.7 Atau:
2
2 2
2
= +
∂ ∂
x mE
x x
ψ ψ
2.8
Karena:
2 2
2
mE k
=
atau m
k E
2
2 2
=
2.9 Dengan demikian diperoleh:
2 2
2
x k
x x
ψ ψ
− =
∂ ∂
2.10 Persamaan 2.8 adalah bentuk umum dari persamaan differensial biasa berorde dua,
dengan k
2
adalah positif, dimana ψx merupakan kuantitas kompleks yang memiliki
bagian real nyata dan bagian imajiner, sehingga pemecahannnya adalah: ψx=Asinkx+ B cos kx 2.11
Pemecahan ini tidak memberikan batasan pada k, maka partikel yang diperkenankan memiliki semua nilai dalam istilah kuantum, bahwa energinya tidak terkuantisasi.
Sedangkan penentuan nilai A dan B mengalami beberapa kesulitan, karena integral
Universitas Sumatera Utara
normalisasi tidak dapat dihitung dari - ∞ hingga +∞ , bagi fungsi gelombang itu.
Krane, 1992.
2.3.2. Partikel dalam kotak
Untuk meninjau sebuah partikel yang bergerak bebas dalam sebuah kotak dalam dimensi yang panjangnya L, dimana partikelnya benar-benar terperangkap dalam
kotak. Misalnya, sebuah manik-manik yang meluncur tanpa gesekan sepanjang kawat yang ditegangkan antara dua dinding tegar dan bertumbukan secara eksak dengan
kedua dinding. Potensial ini dapat dinyatakan Vx = 0,
≤ x ≤ L Vx =
∞, x 0, x L,
V x= ∞ Vx=0 Vx= ∞
0 L x Gambar.2.1.Sumur Potensial yang bersesuaian dengan sebuak kotak yang dindingnya
keras tak berhingga. Kita dapat memberi spesifikasi pada gerak partikel dengan mengatakan bahwa
gerak itu terbatas pada gerak sepanjang sumbu-x antara x = 0 dan x = L disebabkan oleh dinding keras tak berhingga. Sebuah partikel tidak akan kehilangan Energinya
jika bertumbukan dengan dinding, energi totalnya tetap konstan. Dari perbandingan Mekanika Kuantum,energi potensial V dari partikel itu
menjadi tak hingga di kedua sisi kotak, sedangkan V konstan di dalam kotak, dapat dikatakan V = 0 seperti yang terlihat pada gambar 2.1 di atas. Karena partikel tidak
bisa memiliki Energi tak hingga, maka partikel tidak mungkin ditemukan di luar kotak, sehingga fungsi gelombang
ψ = 0 untuk 0 ≤ x ≤ L. Maka yang perlu dicari
Universitas Sumatera Utara
adalah nilai ψ di dalam kotak, yaitu antara x = 0 dan x = L . Persamaan Schrodinger
menjadi: 2
2 2
2
=
+
∂ ∂
x E
m x
ψ ψ
2.12
Berdasarkan pembuktian persamaan Diatas, didapat pemecahan sebagai berikut: ψx=Asinkx+B coskx
2.13 ψ =0 dan x = 0
Dari persamaan 2.13 diperoleh B = 0, maka: ψx =Asinkx= 0 2.14
Pemecahan ini belum lengkap, karena belum ditentukan nilai A dan B, juga belum menghitung nilai energi E yang diperkenankan. Untuk menghitungnya, akan
diterapkan persyaratan bahwa ψx harus kontinu pada setiap batas dua bagian ruang.
Dalam hal ini, akan dibuat syarat bahwa pemecahan untuk x 0 dan x 0 bernilai sama di x = 0. Begitu pula pemecahan untuk x L dan x L haruslah bernilai sama
di x = L. Jika x = 0, Untuk x 0 Jadi harus mengambil ψx = 0 pada x = 0.
ψ0 =Asin 0 + B sin 0 ψ0 = 0 + B.1 = 0
2.15 Jadi,didapat B = 0. Karena
ψ =0 untuk x L, maka haruslah berlaku ψL = 0, ΨL = AsinkL + Bcos kL = 0
2.16 Karena telah didapatkan bahwa B = 0,maka haruslah berlaku:
AsinkL = 0 2.17
Disini ada dua pemecahan yaitu A = 0, yang memberikan ψx = 0 dan
ψ
2
x = 0, yang berarti bahwa dalam kotak tidak terdapat partikel Pemecahan tidak masuk akal atau sin kL = 0, maka yang benar jika:
kL = π,2π,3π,…… 2.18
Universitas Sumatera Utara
Dengan: 2.19
Dari persamaan 2.18 dan persamaaan 2.19 diperoleh bahwa energi partikel mempunyai harga tertentu yaitu harga eigen. Harga eigen ini membentuk tingkat
energisitas yaitu: 2.20
Fungsi gelombang sebuah partikel didalam kotak yang berenergi E
n
ialah: 2.21
Untuk memudahkan E =
ħ
2
π
2
2mL
2
, yang mana tampak bahwa unit energi ini ditentukan oleh massa partikel dan panjang kotak. Maka E = n
2
E dan demikian
partikelnya hanya dapat ditemukan dengan energi E , 4 E
, 9 E , 16 E
dan seterusnya. Karena dalam kasus ini energi yang diperoleh hanya pada laju tertentu
yang diperkenankan dimiliki partikel. Ini sangat berbeda dengan kasus klasik, misalnya manik-manik yang meluncur tanpa gesekan sepanjang kawat dan
menumbuk kedua dinding secara secara elastik dapat diberi sembarang kecepatan awal dan akan bergerak selamanya, bolak-balik, dengan laju tersebut.
Dalam kasus kuantum, hal ini tidaklah mungkin, karena hanya laju awal tertentu yang dapat memberikan keadaan gerak tetap, keadaan gerak khusus ini disebut
keadaan stasioner Disebut keadaan”stasioner”karena ketergantungan pada waktu yang dilibatkan untuk membuat
2
, ,
, t
x t
x
ψ ψ
tidak bergantung waktu. Hasil pengukuran energi sebuah partikel dalam sebuah sumur potensial harus berada pada
salah satu keadaan stasioner, hasil yang lain tidaklah mungkin. Pemecahan bagi
x
ψ belum lengkap, karena belum ditentukan tetapan A. Untuk menentukannya, ditinjau
2 2
2 2
2mL n
E
n
π
=
x mE
A
n n
2
sin =
ψ k
mE =
2
Universitas Sumatera Utara
kembali persyaratan normalisasi, yaitu
1
2
=
∫
+∞ ∞
−
dx x
ψ . Karena
ψx=0, kecuali untuk ≤ x ≤ Lsehingga berlaku:
1 2
sin
2 2
2
=
∫
L n
xdx mE
A
2.22
Karena pada persamaan 2.20
Maka diperoleh A = L
2 . Dengan demikian, Pemecahan lengkap bagi fungsi
gelombang untuk 0 ≤ x ≤ L adalah:
L x
n L
n
π ψ
sin 2
= n=1,2,3,…
2.23
Dalam gambar 2.2 akan dilukiskan berbagai tingkat energi, fungsi gelombang dan rapat probabilitas
2
ψ yang mugkin untuk beberapa keadaan terendah. Keadaan energi terendah, yaitu pada n =1 , dikenal sebagai keadaan dasar dan keadaan dengan
energi yang lebih tinggi n 1 dikenal sebagai keadaan eksitasi.
n=1
ψ n=3
n=2 x =0 x = a
Gambar.2.2. Fungsi gelombang sebuah partikel sumur potensial yang dibatasi x0 = 0 menuju x = a dengan orde berbeda.
2 2
2 2
2mL n
E
n
π
=
Universitas Sumatera Utara
Partikel itu memiliki peluang untuk didapatkan di luar sumur. Jika sebuah partikel dengan energi E
dalam suatu daerah “kawat” untuk manik-manik dan kemudian akan diukur kedudukannnya dengan pengukuran dilakukan berulang kali.
Maka akan ditemukan distribusi hasil pengukuran yang sama seperti
2
x ψ
untuk kasus n=1 hingga probabilitas terbesar x=L2 dan berangsur-angsur berkurang saat
menjauhi pusatnya yang akhirnya menuju nol pada ujung-ujungnya jika menggunakan fisika partikel klasik, takkuantum, maka probabilitasnya tetap pada
semua titik di dalam kotak. Jika pengukuran diulangi kembali, dengan pengecualian bahwa partikelnya
diberi energi sebesar 4E . Bila diulangi semua pengukuran terhadap kedudukannnya ,
akan didapati bahwa distribusi ini sesuai dengan
2
x ψ
untuk n = 2. Maksimum probabilitas pada x = L4 dan x = 3L4, sedangkan probabilitas nol terjadi pada
x = L2. Dengan demikian partikelnya harus bergerak sedemikian rupa sehinggga suatu waktu dapat ditemukan di x = L4 dan x = 3L4 tanpa menemukan di x = L2.
Ini merupakan ilustrasi grafis mengenai perbedaan antara fisika klasik dan kuantum. Tetapi bagaimana mungkin terjadi suatu partikel mencapai 3L4 dari L4 tanpa
melewati L2 ? Ini adalah hal yang sulit dijawab jika adanya kecenderungan hanya pada partikel, karena fisika kuantum cenderung pada pandangan gelombang.
Berbicara tentang kedudukan, fokusnya pada partikel dan berbicara tentang gerak dari L4 ke 3L4 fokusnya pada gelombang. Untuk lebih jelasnya dapat
memperhatikan gambar 2.3 tentang beberapa tingkat energi terendah yang diperkenankan dari partikel yang terbatas geraknya dalam kotak.
20 n=4
15 n
2
E 10 n=3
5 n=2 0 n=1
Gambar.2.3. Tingkat energi dalam kotak secara konstan Raymond,2006.
Universitas Sumatera Utara
2.4. Metode Numerik
