Osobine Laplasovih transformacija
6.3 Osobine Laplasovih transformacija
Neka je L {f(t)} = F(s) i L {g(t)} = G(s).
6.3.1 Linearnost
Teorema 6.3.1 L je linearna transformacija, tj. za proizvoljne realne brojeve a i b važi
L {af(t) + bg(t)} = aL {f(t)} + bL {g(t)} , a, b ∈ R. Dokaz.
L {af(t) + bg(t)} =
e −st (af (t) + bg(t))dt
Z ∞ =a e −st f (t) + b g (t)dt
= aL {f(t)} + bL {g(t)}
2t − 2 sin t .
Rešenje.
L 2t 5 + 4t + 3e − 2 sin t − 2L {sin t}
6.3.2 Sličnost
Teorema 6.3.2
L {f(at} = 1
Dokaz. Uvodjenjem smene u = at dobijamo du = adt i važi
cLf (at) =
e −st
f (at)dt =
− a e s u f (u)du
Matematika 3
6.3. OSOBINE LAPLASOVIH TRANSFORMACIJA
Posledica 6.3.1
F (as) = L f
Primer 6.3.2 Naći Laplasovu transformaciju funkcije L {sin(at)} . Rešenje. Neka je F (s) = L {sin t} , tj. F(s) = 1
1+s 2 . Tada je
L {sin(at)} = F =
a a a 1+( s ) 2 a s 2 +a 2
6.3.3 Translacija
Teorema 6.3.3 Neka je h(t) = f (t − a) , t ≥ a Tada je
0 , t < a.
L {h(t)} = e −as F (s), a > 0.
Dokaz. Uvodjenjem smene u = t − a, dobijamo
Z a Z ∞ L {h(t)} =
e −st h (t)dt =
e −st h (t)dt + e −st h (t)dt
e −st f (t − a)dt
e −s(u+a) f (u)du = e −sa e −su f (u)du
=e −sa F (s).
Primer 6.3.3 Odrediti Laplasovu transformaciju funkcije f (t) = (t − 3) 2 .
Rešenje.
F 2 =e −3s L 2 =e −3s
CHAPTER 6. LAPLASOVE TRANSFORMACIJE Matematika 3
6.3.4 Prigušenje
Teorema 6.3.4
(6.2) Dokaz.
L {e at f (t)} = F(s − a), b ∈ R
L at f (t) =
e −st e at f (t)dt
e −(s−a)t f (t)dt = F (s − a)
Primer 6.3.4 Odrediti Laplasovu transformaciju funkcije f (t) = e −2t sin 3t. Rešenje. Kako za f (t) = sin 3t važi
F (s) = L {sin 3t} =
6.3.5 Diferenciranje originala
Teorema 6.3.5 (a) L {f ′ (t)} = sF(s) − f(0+) (b)
L {f ′′ (t)} = s 2 F (s) − sf(0+) − f ′ (0+) (c)
(n) =s n F n −1 f L n (s) − s (0+) − s −2 f ′ (0+) − . . . − f (n−1) (0+) za svako n ∈ N. Dokaz.
(a) Z ∞
L ′ (t) =
e −st f ′ (t)dt = lim
e −st f ′ (t)dt
T →∞
(t)| 0
= lim e −st f T +s e −st f
T →∞
Matematika 3
6.3. OSOBINE LAPLASOVIH TRANSFORMACIJA
= lim (e −sT f (T ) − f(0) + s lim −st e f (t)dt
T →∞
T →∞
= sf (s) − f(0) (b) L ′′
(t) − f ′ (0) = s(sL {f(t)} − f(0)) − f (0) =s 2 F (s) − sf(0) − f ′ (0)
(c) Primeniti matematičku indukciju. Primer 6.3.5 Odrediti Laplasovu transformaciju funkcije f (t) = cos at.
Rešenje.
F (s) = L {cos at} = L ( sin at) ′
a L (sin at) a ′
s 2 +a 2 −0 a = s 2 +a 2
6.3.6 Diferenciranje slike
Teorema 6.3.6 (a) L {tf(t)} = −F ′ (s),
(b) L {t n f (t)} = (−1) n F (n) (s) za svaki prirodan broj n. Dokaz.
(a)
F ′ (s) =
e −st f (t)dt =
e −st f (t)dt
∂s
∂s
= −te −st f (t)dt = − e −st tf (t)dt = −L {tf(t)}
(b) Primeniti matematičku indukciju. Primer 6.3.6 Odrediti Laplasovu transformaciju funkcije f (t) = te t .
Rešenje. t F t ) 1 ′
=− s
CHAPTER 6. LAPLASOVE TRANSFORMACIJE Matematika 3
6.3.7 Integracija originala
Teorema 6.3.7
f (x)dx = 1 s F (s)
Dokaz. Neka je h(t) = f (x)dx. Tada je h ′ (t) = f (t) i h(0) = 0. Primenjujući
Laplasovu transformaciju, dobijamo
L ′ (t) = sL {h(t)} − h(0) = sL {h(t)} = F(s).
Odatle je
F (s)
L {h(t)} =
odnosno
F (s)
f (x)dx =
R t Primer 6.3.7 Odrediti Laplasovu transformaciju funkcije f (t) = sin udu.
Rešenje. t
F (s) = L sin udu =
s L {sin t} = s (s 2 + 1)
6.3.8 Konvolucija
Konvolucija funkcija f (t) i g(t) je funkcija definisana sa
(f ∗ g)(t) = f (u) · g(t − u)du
Jednačinu 6.3 nazivamo jednostranom konvolucijom u intervalu (0, t). Teorema 6.3.8 Neka je L {f(t)} = F(s) i L {g(t)} = G(s). Tada je L {f ∗ g} = L {f(t)} · L {g(t)}
Dokaz. Vidi Zadatak 6.
Matematika 3
6.4. HEAVISIDEOV RAZVOJ
Primer 6.3.8 Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije F (s) = 2 (s 1 +a 2 ) 2 . Rešenje. Kako je
1 1 1 1 1 (s 2 +a 2 )) 2 = s 2 +a 2 · s 2 2 +a −1 iL s 2 +a 2 = a sin(at), dobijamo
f (t) = L −1
(s 2 +a 2 ) 2
a 2 sin(au) sin(a(t − u))du
a 2 sin(au)(sin(at) cos(au) − cos(at) sin(au))du
2 sin(at) sin(au) cos(au)du − 2 cos(at) sin 2 a (au)du a
Z 1 T sin(2au) 1
1 − cos(2au)
= sin(at)
du
cos(at)
2 2 − a 2 a du 2
1 1 sin(at) cos(at) =
1 sin 2 (at)
sin(at)
cos(at)(
2a
2a t −
(sin 3 (at) − at cos(at) + sin(at) cos (at))
2a 3
1 = 2a 3 (sin(at) − at cos(at))