Površinski integral

4.2.3 Definicija površinskog integrala skalarne funkcije

Neka je f : D ! → R, D 1 ⊆R 3 skalarno polje i S ⊂ D 1 glatka površ,ograničena po delovima glatkom krivom, data parametrizacijom

~r = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D tj. x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) ∈ D.

Matematika 3

4.2. POVRŠINSKI INTEGRAL

Površinski integral funkcije f po površi S (prve vrste ili po projekciji), u oznaci R Rf (x, y, z)dS, je definisan sa

f (~r)dS =

f (~r(u, v))

Ako je S = ∪ k i=1 po delovima glatka površ sa glatkim delovima S 1 ,...,S k , tada je Z Z

f (~r)dS =

f (~r)dS +

f (~r)dS . . .

f (~r)dS.

4.2.4 Osobine površinskog integrala skalarne funkcije

Površinski integral prve vrste je linearan tj. važi Z Z

Z (αf (~r) + βg(~r))dS = α Z

f (~r)dS + β

g (~r)dS, α, β ∈ R.

Za površinu ∆S glatke površi S ⊂ R 3 ograničene po delovima glatkom krivom važi

Z ∆S = Z dS.

Ako je ρ(x, y, z) površinska gustina mase m rasporedjene neprekidno po glatkoj površi S onda je

ρ (x, y, z)dS.

Težište T (x t ,y t ,z t ) glatke površi S ograničene po delovima glatkom krivom ima ko- ordinate

xρ (x, y, z)dS, y t = yρ (x, y, z)dS, z t = zρ (x, y, z)dS. m

Neka je S po delovima glatka površ koja se izdvajanjem konačnog broja tačaka i

k , i neka je f : S → R, S ⊂ R , ograničena nad S. Tada je, po definiciji,

krivih svodi na uniju glatkih površi S 1 ,S 2 ,...,S

f (~r)dS =

f (~r)dS.

i=1 S i

CHAPTER 4. KRIVOLINIJSKI I POVRŠINSKI INTEGRAL Matematika 3

4.2.5 Definicija površinskog integrala vektorske funkcije

Neka je ~ F = (P, Q, R) vektorska funkcija definisana i ograničena nad D 1 iS⊂D 1 glatka orijentisana površ data parametrizacijom

~r = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D tj. x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) ∈ D.

Ako je ~n 0 = (cos α, cos β, cos γ) jedinični vektor normale na površ, onda je površinski

integral vektorskog polja ~ F po površi S definisan sa

F ~ (~r)d~ S =

(~r(u, v)) · ∂~r

Ako je S = S 1 ∪...∪S k po delovima glatka orijentisana površ, onda je Z Z

F ~ (~r)d~ S =

F ~ (~r)d~ S +...+

F ~ (~r)d~ S.

4.2.6 Osobine

Neka je data glatka površ S jednačinom z = z(x, y), (x, y) ∈ σ ⊂ R 2 , gde je z neprekidno diferencijabilna funkcija na σ. Pretpostavimo da vršimo integraciju po

onoj strani površi kod koje vektor normale, povučen u proizvoljnoj tački površi, zaklapa oštar ugao sa pozitivnim delom z-ose. Neka je na površi S definisana neprekidna funkcija f (x, y, z). Tada je

f (x, y, z)dxdy =

f (x, y, z(x, y))dxdy.

Ako se integracija vrši po onoj strani površi kod koje je ugao izmed—u normale u proizvoljnoj tački površi i z-ose tup onda je

f (x, y, z)dxdy = −

f (x, y, z(x, y))dxdy.

Protok (fluks) vektora ~ R F kroz orijentisanu površ S je površinski integral R F ~ · ~n 0 dS.

4.2.7 Formula Stoksa

Neka je S po delovima glatka orijentisana površ ograničena zatvorenom putanjom L. Kriva i površ su orijentisane tako da prilikom obilaženja površi S po krivoj L tačke površi ostaju sa leve strane gledano sa kraja vektora normale na površ.

Matematika 3

4.2. POVRŠINSKI INTEGRAL

Skalarni oblik. Neka su funkcije P(x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) neprekidne i imaju neprekidne prve parcijalne izvode u nekoj okolini površi S. Tada važi jednakost

Pdx + Qdy + Rdz = (R y −Q z )dydz + (P z −R x )dxdz + (Q x −P y )dxdy

R Vektorski oblik. Ako je vektorska funkcija ~ F = (P, Q, R) neprekidno diferencijabilna

na S, tada važi

F ~ · d~r =

(∇ × ~F)d~S.

4.2.8 Formula Gausa

Pretpostavimo da je zatvorena oblast V ⊂ R 3 ograničena po delovima glatkom površi S koja sebe ne preseca. Skalarni oblik. Neka su u oblasti V definisane neprekidne funkcije P, Q, i R, koje

imaju neprekidne prve parcijalne izvode P x ,Q y , iR z . Ako je površinski integral po spoljašnjoj strani površi S onda je

Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = (P x +Q y +R z )dxdydz .

ZZ Z

V Vektorski oblik. Ako je vektorska funkcija ~ F = (P, Q, R) neprekidno diferencijabilna

i ~n 0 jedinični vektor normale na S, tada je

ZZ Z

∇·~ F dV =

~ S. F d~

CHAPTER 4. KRIVOLINIJSKI I POVRŠINSKI INTEGRAL Matematika 3